圖形的運(yùn)動(dòng)在函數(shù)中的應(yīng)用

/圖形的運(yùn)動(dòng)在函數(shù)中的應(yīng)用如圖1,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),以相同的速度分別沿折線B→A→C、射線BC運(yùn)動(dòng),連接PQ．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BQ=x,△BPQ與△ABC重疊部分的面積為S．如圖2是S關(guān)于x的函數(shù)圖象〔其中0≤x≤8,8＜x≤m,m＜x≤16時(shí),函數(shù)的解析式不同．〔1填空：m的值為；〔2求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍；〔3請(qǐng)直接寫出△PCQ為等腰三角形時(shí)x的值．如圖1,矩形ABCD,動(dòng)點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)勻速沿著邊BA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),另一動(dòng)點(diǎn)F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿著邊BC﹣CD﹣DA運(yùn)動(dòng),到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x〔s,△BEF的面積為y〔cm2．y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示．〔1BC=3cm,AB=3cm,點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s；〔2求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系及其自變量取值范圍；〔3當(dāng)∠DFE=90°時(shí),請(qǐng)直接寫出x的取值．〔2015?XX如圖1,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,點(diǎn)D在AC上,且CD＞DA,DA=2,點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā),以相同的速度分別沿射線DC、射線DA運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)Q作AC的垂線段QR,使QR=PQ,連接PR,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P,Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PQ=x,△PQR與△ABC重疊部分的面積為S,S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示〔其中0＜x≤n,n＜x≤m時(shí),函數(shù)的解析式不同．〔1填空：n的值為__________〔2求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍．如圖,Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為8cm和2cm,C點(diǎn)和M點(diǎn)重合,BC和MN在一條直線上．令Rt△PMN不動(dòng),矩形ABCD沿MN所在直線向右以每秒1cm的速度移動(dòng)〔如圖2,直到C點(diǎn)與N點(diǎn)重合為止．設(shè)移動(dòng)x秒后,矩形ABCD與△PMN重疊部分的面積為ycm2．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．如圖1,矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔8,3,定點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔12,0,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng),相遇時(shí)停止,在運(yùn)動(dòng)過程中,以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S,S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示〔其中0≤x≤m,m＜x≤h時(shí),函數(shù)的解析式不同〔1當(dāng)t=1時(shí),△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B；〔2求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍．26.如圖1,在矩形ABCD中,∠DAC=60°,在Rt△EFG中,∠EFG=90°,∠G=30°.線段EF在對(duì)角線AC上,Rt△EFG從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC運(yùn)動(dòng),開始時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)AE=2,△EFG與△ABC的重疊部分的面積為S,S關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示,〔其中,,時(shí),函數(shù)的解析式不同.〔1填空：EF的長(zhǎng)為_____________；〔2求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍.〔第26題圖1〔第26題圖1〔第26題圖2如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是菱形,∠AOC=60°,垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移,設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M,N〔點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方,若△OMN的面積為S,直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,S與t的部分圖像如圖2所示〔其中0≦t≦2,2<t≦m時(shí),函數(shù)的解析式不同〔1填空：m的值為_________;點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____________〔2求出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖像24．〔2013秋?XX區(qū)期末如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=6,點(diǎn)P是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn),作PD⊥AC,垂足為P,交AB于點(diǎn)D,設(shè)AP=t〔0＜t＜6．設(shè)△APD關(guān)于直線PD的對(duì)稱的圖形與四邊形BCPD重疊部分的面積為S．〔1點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合時(shí),t=3；〔2求S與t的函數(shù)關(guān)系式．如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā),以相同的速度分別沿射線CA、射線CB運(yùn)動(dòng),作△CPQ關(guān)于直線PQ的軸對(duì)稱圖形〔記為△C′PQ當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PC=x．△C′PQ與△ABC重疊部分的面積為S,S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示〔其中0＜x≤m,m＜x≤n時(shí),函數(shù)的解析式不同且當(dāng)x=m時(shí),S=．〔1填空：n的值為3+；〔2求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍．含相似如圖,在△ABC中,∠C=90°,正方形CDEF的頂點(diǎn)D在邊AC上,點(diǎn)F在射線CB上．設(shè)CD=x,正方形CDEF與△ABC重疊部分的面積為S,S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示〔其中0＜x≤m,m＜x≤2,2＜x≤n,函數(shù)的解析式不同〔1填空：m的值為；〔2求S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍；〔3S的值能否為5？若能,求出此時(shí)x的值；若不能,說明理由．〔2015?XX如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā),以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),過線段MN的中點(diǎn)G作邊AB的垂線,垂足為點(diǎn)G,交△ABC的另一邊于點(diǎn)P,連接PM,PN,當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),M,N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．〔1當(dāng)t=2.5秒時(shí),動(dòng)點(diǎn)M,N相遇；〔2設(shè)△PMN的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3取線段PM的中點(diǎn)K,連接KA,KC,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,△KAC的面積是否變化？若變化,直接寫出它的最大值和最小值；若不變化,請(qǐng)說明理由．如圖1,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,正方形CDEF從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CA勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)停止,正方形CDEF運(yùn)動(dòng)的速度為v,與△ABC重疊部分的面積為S,S關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的部分圖象如圖2所示．〔1填空：CD=3,v=1．〔2求S關(guān)于t的函數(shù)解析式,并寫出t的取值范圍；〔3當(dāng)S的值為6時(shí),求出相應(yīng)的t的值．1．〔2015秋?沙河口區(qū)期末Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,如圖1,點(diǎn)P從C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)R是射線PB上一點(diǎn),PR=3CP,過點(diǎn)R作QR⊥BC,且QR=aCP,連接PQ,當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)CP=x,△ABC與△PQR重合部分的面積為S,S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示〔其中0＜x≤,＜x≤m,m＜x≤n時(shí),函數(shù)的解析式不同．〔1a的值為4；〔2求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍．[分析]〔1由圖2可知當(dāng)x=時(shí)S=,且此時(shí)Q點(diǎn)在線段AB上,利用三角形面積公式即可求出a的值；〔2由Q點(diǎn)和R點(diǎn)的位置,可將整個(gè)移動(dòng)過程分成三部分,借用三角形相似,找個(gè)各邊的關(guān)系,分割圖形,既能找出S和x之間的關(guān)系式．[解答]解：〔1由圖2可知,當(dāng)x=時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上,且此時(shí)的S=,PR=3CP=,QR=aCP=a,∵QR⊥BC,∴S=PR?QR=××a=,即27a=108,解得a=4．故答案為4．〔2當(dāng)x=時(shí),Q點(diǎn)在線段AB上,如圖3,∵AC⊥BC,QR⊥BC,∴AC∥QR,∴△ABC∽△QBR,∴=．QR=4CP=,PR=3CP=,BR=BC﹣CP﹣PR=,AC=?QR=?=3．①當(dāng)點(diǎn)Q在△ACB內(nèi)時(shí),即0＜x≤時(shí),如圖1,PR=3x,QR=4x,S=PR?QR=6x2．②當(dāng)點(diǎn)Q在△ACB外且R點(diǎn)在線段CB上時(shí),如圖4,此時(shí)x＞,且CR≤BC,∵CR=CP+PR=4x,∴＜x≤1．∵==,∴△PQR∽△ABC,∴∠Q=∠B,∵∠DEQ=∠REB〔對(duì)頂角,∴△DEQ∽△REB．在Rt△ACB中,由勾股定理可知AB==5,∵AC∥QR,∴△EBR∽△ABC,∴=,RB=BC﹣CP﹣PR=4﹣4x,AC=3,BC=4,∴RE=3﹣3x．QE=QR﹣RE=4x﹣〔3﹣3x=7x﹣3．∵△DEQ∽△REB,△EBR∽△ABC,且AC=3,BC=4,AB=5,∴DE=QE,QD=QE,QD⊥DE．S=PR?QR﹣QD?DE=﹣x2+x﹣．③當(dāng)點(diǎn)R在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖5,此時(shí)CR=4x＞BC=4,得x＞1；CP=x≤BC=4．即1＜x≤4．∵△ABC∽△PQR,∴∠QPR=∠A,∵∠PBM=∠ABC,∴△PBM∽△ABC,∴PM=PB,MB=PB．∵PB=BC﹣CP=4﹣x,∴S=PM?MB=〔4﹣x2=x2﹣x+．綜合①②③可得：S=．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象,解題的關(guān)鍵是：〔1由圖2找出S的面積,套入三角形面積公式；〔2畫出圖形,結(jié)合三角形相似,找到邊角關(guān)系,分割圖形即可．2．〔2016?XX模擬如圖1,兩個(gè)全等的△ABC和△DEF中,∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE,其中點(diǎn)B和點(diǎn)D重合,點(diǎn)F在BC上,將△DEF沿射線BC平移,設(shè)平移的距離為x,平移后的圖形與△ABC重合部分的面積為y,y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示〔其中0≤x≤m,m＜x≤3,3＜x≤4時(shí),函數(shù)的解析式不同〔1填空：BC的長(zhǎng)為4；〔2求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍．[分析]〔1通過圖2觀察可知y=0時(shí)x=4,即D點(diǎn)從B運(yùn)動(dòng)到C平移的距離為4；〔2當(dāng)△DEF在平移過程中,與△ABC的重合部分有三種情況,將三種圖形分別畫出,通過作輔助線構(gòu)造相似三角形,通過相似三角形對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系,將各邊用x表示出來,即可以列出y與x的函數(shù)關(guān)系式．[解答]解：〔1由圖2得當(dāng)x=4時(shí),y=0,說明此時(shí)△DEF與△ABC無重合部分,則點(diǎn)D從B到C運(yùn)動(dòng)的距離為4,即BC=4；故答案為：4．〔2當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)〔如圖1,BD=3,CD=1,∵△ABC≌△DEF．∴∠EDF=∠BAC．∵∠ACD=∠BCA∴△ADC∽△BAC．∴,即．AC=2∴n=2當(dāng)0≤x≤2時(shí)〔如圖2,設(shè)ED、EF與AB分別相交于點(diǎn)M,G,作MN⊥BC,垂足為N．則∠MNB=90°=∠EFD=∠C．∵∠MDN=∠EDF．∴△DMN∽△DEF．∴,即．∴MN=2DN．設(shè)DN=n,則MN=2n．同理△BMN∽△BAC．∴．即,∴BN=4n,即x+n=4n．∴n=x．∴S△BDM=?BD?MN=2同理△BGF∽△BAC∴,即．∴GF=,∴y=S△BGF﹣S△BDM=2=﹣x2+x+1．當(dāng)2＜x≤3時(shí)〔如圖3,由①知,S△BDM=x2．∴y=S△ABC﹣S△BDM=2=﹣x2+4當(dāng)3＜x≤4時(shí)〔如圖4,設(shè)DE與AB相交于點(diǎn)H．同理△DHC∽△DEF．∴,即∴HC=24﹣x．∴y==x2﹣8x+16∴y=．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了平移的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì),解題的關(guān)鍵是要找到△DEF運(yùn)動(dòng)過程中與△ABC重疊面積的不同情況,通過輔助線構(gòu)造相似三角形,要注意分類討論畫出對(duì)應(yīng)的圖象．3．如圖,等腰直角三角形ABC以2cm/s的速度沿直線m勻速向正方形CDEF移動(dòng),直到AB與EF重合,設(shè)移動(dòng)xs后,三角形與正方形重合部分的面積為ycm2〔1當(dāng)x=2,7時(shí),y的值分別為多少？〔2求從開始移動(dòng)時(shí)到AB與EF重合時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出x的取值范圍．[分析]〔1根據(jù)題意可知,當(dāng)0＜x≤5時(shí),三角形與正方形重合部分是個(gè)等腰直角三角形,且直角邊都是2x,根據(jù)三角形的面積公式得到y(tǒng)=×2x×2x=2x2,當(dāng)5＜x≤10時(shí),y=S△ABC﹣〔2x﹣102=﹣2x2+20x,據(jù)此可得出y、x的函數(shù)關(guān)系式,可將x的值,代入函數(shù)關(guān)系式中,即可求得y的值；〔2由題意可知在移動(dòng)過程中△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為y,是等腰直角三角形ABC的面積和等腰直角三角形MFC的面積差問題得解．[解答]解：〔1當(dāng)0＜x≤5時(shí),∵三角形與正方形重合部分是個(gè)等腰直角三角形,且直角邊都是2x,∴y=×2x×2x=2x2,在y=2x2中,當(dāng)x=2時(shí),y=8cm2；當(dāng)5＜x≤10時(shí),y=S△ABC﹣〔2x﹣102=﹣2x2+20x,在y=﹣2x2+20x中,當(dāng)x=7時(shí),y=42cm2；〔2當(dāng)0＜x≤5時(shí),y=×2x×2x=2x2,當(dāng)5＜x≤10時(shí),y=S△ABC﹣〔2x﹣102=﹣2x2+20x．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．對(duì)綜合運(yùn)用能力提出了一定的要求．4．〔2014?XX校級(jí)三模兩個(gè)直角邊為6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中,按圖1所示的位置放置,A與C重合,O與E重合．〔1求圖1中A,B,D三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．〔2Rt△AOB固定不動(dòng),Rt△CED沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到與B點(diǎn)重合時(shí)停止,設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后Rt△AOB和Rt△CED的重疊部分面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．〔3當(dāng)Rt△CED以〔2中的速度和方向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間x=4秒時(shí),Rt△CED運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置,求經(jīng)過A,G,C三點(diǎn)的拋物線的解析式．[分析]〔1Rt△AOB≌Rt△CED且直角邊為6,所以有A〔0,6,B〔6,0,D〔﹣6,0,〔2Rt△CED沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向右運(yùn)動(dòng),且DE=6,所以在運(yùn)動(dòng)過程中有兩種情況,即D點(diǎn)仍停留在y軸左側(cè)和D在y軸右側(cè),需分情況討論．在第一種情況中,重合部分為兩個(gè)全等的直角梯形,在第二種情況中,重合部分為一個(gè)等腰直角三角形,面積易求出．〔3當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí),即為〔2中第二種情況,此時(shí)A、G、C坐標(biāo)均可求出,可利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解．[解答]解：〔1因?yàn)閮蓚€(gè)直角邊為6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中,可得：A〔0,6,B〔6,0,D〔﹣6,0．〔2當(dāng)0≤x＜3時(shí),位置如圖A所示,作GH⊥DB,垂足為H,可知：OE=2x,EH=x,DO=6﹣2x,DH=6﹣x,∴y=2S梯形IOHG=2〔S△GHD﹣S△IOD=2[〔6﹣x2﹣〔6﹣2x2]=2〔x2+6x=﹣3x2+12x當(dāng)3≤x≤6時(shí),位置如圖B所示．可知：DB=12﹣2x∴y=S△DGB==〔12﹣2x]2=x2﹣12x+36∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：；〔3圖B中,作GH