《高等數(shù)學(xué)》線性代數(shù)課件

1.8線性代數(shù)一、行列式二、矩陣三、n維向量四、線性方程組五、矩陣的特征值和特征向量六、二次型把個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)元素的全排列（或排列）．個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示，且．1.階行列式概念1.8.1行列式全排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．在一個(gè)排列中，若數(shù)，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序．一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．逆序數(shù)n階行列式的定義余子式與代數(shù)余子式2.n階行列式的性質(zhì)3.克拉默法則定理定理4.行列式計(jì)算二階、三階行列式用對(duì)角線法利用行列式性質(zhì)化為上下三角利用展開定理降階P54例1-49,1-50例1解方程左端例2計(jì)算下列排列的逆逆序數(shù)，并討論它它們的奇偶性.解此排列為偶排列.例31.8.2矩矩陣1.矩陣的概念記作簡(jiǎn)記為2）兩個(gè)矩陣為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作同型矩陣與矩陣相相等1）兩個(gè)矩陣的行行數(shù)相等,列數(shù)相相等時(shí),稱為同型矩陣.2.幾種特殊矩陣陣(2)只有一行的的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).稱為對(duì)角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0記作

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣陣是不相等的.例如(5)單位陣：對(duì)角線上全為為1的對(duì)角陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1(6)對(duì)稱矩陣定義設(shè)為階方陣，如果A的元素滿足那末稱為對(duì)稱陣.對(duì)稱陣的元素以主主對(duì)角線為對(duì)稱軸軸對(duì)應(yīng)相等等.說(shuō)明定義行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)稱為矩陣的伴隨矩陣.(7）伴隨矩陣1)加法設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為3.矩陣的運(yùn)算2)數(shù)與矩陣相相乘矩陣相加與數(shù)乘矩矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱稱為矩陣的線性運(yùn)算.并把此乘積記作3)矩陣與矩陣陣相乘設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣陣的列數(shù)等于第二二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩矩陣才能相乘.例4注：（1）矩陣乘法一般不滿足交換律；（其中為數(shù)）;

若A是階方陣，則為A的次冪，即并且（注：?jiǎn)挝痪仃嘐在矩矩陣乘法中的作用用類似于數(shù)1）定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例4）矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性性質(zhì)注：若A為對(duì)稱陣，則5）方陣的行列式式定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)6）逆矩陣定義

對(duì)于階方陣，如果有一個(gè)階方陣

則說(shuō)方陣是可逆的，并把方陣稱為的逆矩陣.使得定理1

方陣可逆的充要條件是，且

二階矩陣的逆矩陣陣用該公式求，三三階及以上矩陣的的逆矩陣用初等變變換求。逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)質(zhì)解：P57例例1-51定義1下面三種變換稱為為矩陣的初等行變變換:5.矩陣的初等變變換定義2矩矩陣的初等行變換換與初等列變換統(tǒng)統(tǒng)稱為初等變換．初等變換的逆變換換仍為初等變換,且變換類型相相同．同理可定義矩陣的的初等列變換(所用記號(hào)是把““r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換初等變換的作用1)求逆矩陣2)求矩陣和向量量組的秩3)解線性方程組組6.矩陣的秩求矩陣秩的方法：：把矩陣用初等行變變換變成為行階梯梯形矩陣，行階梯梯形矩陣中非零行行的行數(shù)就是矩陣陣的秩.例6解由階梯形矩陣有三三個(gè)非零行可知1.8.3n維向量若干個(gè)同維數(shù)的列列向量（或同維數(shù)數(shù)的行向量）所組組成的集合叫做向向量組．1.向量及向向量組的概念2.向量組的線性性相關(guān)性1)線性組合合2)一個(gè)向量能能由一個(gè)向量組線線性表示3)兩個(gè)向量量組等價(jià)定理1解：考慮定義則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)．由定義可得：1、任一向量組不不是線性相關(guān)就是是線性無(wú)關(guān)。2、含零向量的向量組組一定線性相關(guān)。。3、單個(gè)非零向量量一定是線性無(wú)關(guān)關(guān)。4、兩個(gè)向量線性性相關(guān)的充分必要要條件是對(duì)應(yīng)分量量成比例。定理2解例8定理（1）部分相關(guān)整整體相關(guān)。（2）線性無(wú)關(guān)的的向量組，將分量量延長(zhǎng)后仍然線性無(wú)無(wú)關(guān)。（3）m個(gè)n維向量，當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān)。。3.最大無(wú)關(guān)組組與向量組的秩定義注：只含零向量的向量量組沒(méi)有最大無(wú)關(guān)關(guān)組，規(guī)定它的秩秩為0.推論1推論21.8.4線線性方程組1.線性方程組組有解的判定條件件基礎(chǔ)解系的定義2.線性方程組組解的結(jié)構(gòu)其中為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解.非齊次線性方程組組的通解非齊次線性方程組組Ax=b的通解為齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行行最簡(jiǎn)形矩陣，便便可寫出其通解；；非齊次線性方程組組：增廣矩陣化成行階階梯形矩陣，便可可判斷其是否有解解．若有解，化成成行最簡(jiǎn)形矩陣，，便可寫出其通解解；3.線性方程組組的解法例9求解齊次線性方程程組解即得與原方程組同同解的方程組由此即得例10求解非齊次方程組