數(shù)字電路教學(xué)第二章

1數(shù)字電路第二章、邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2第二章習(xí)題第五版2.1-(7)；2.15-(2,8)2.20-(c,d)；2.26-(2,5)不用軟件；2.10-(2,4)；

2.11-(4,5)2.18-(6,7)；2.19-(2,5)；2.2-(3)2.12-(1,3)；2.13-(2,3)；2.22-(1,4)3第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1邏輯代數(shù)運算

§2.2邏輯函數(shù)的表示方法及其標(biāo)準(zhǔn)形式§2.3邏輯函數(shù)的化簡4§2.1邏輯代數(shù)運算邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯運算邏輯代數(shù)的公理和基本公式邏輯代數(shù)的基本定理5邏輯代數(shù)1848年GeorgeBoole（愛爾蘭，1815~1864）一種符號邏輯（數(shù)理邏輯）又被稱為：布爾代數(shù)、開關(guān)代數(shù)邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量用字母A、B、C、…表示只能有兩種可能的取值：真或假習(xí)慣上，把真記作“1”，假記作“0”邏輯變量表示數(shù)字邏輯的狀態(tài)邏輯變量輸入輸出之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系6例：指示燈Y是否點亮取決于開關(guān)A是否接通定義Y=1表示燈亮，Y=0表示燈滅

A=1表示開關(guān)接通，A=0表示開關(guān)斷開

Y是A的函數(shù)，邏輯函數(shù)表達(dá)式

Y=A

Y和A都稱為邏輯變量

A稱為輸入邏輯變量（簡稱邏輯變量）

Y稱為輸出邏輯變量（簡稱邏輯函數(shù)）AY7邏輯運算通過邏輯變量的運算得到邏輯函數(shù)的值基本邏輯運算：邏輯與邏輯或邏輯非復(fù)合邏輯運算8基本邏輯運算

與運算

邏輯表達(dá)式：其中，“”為邏輯與運算符，也可以被省略用真值表描述AYBABY000110110001真值表真值表：描述各個變量取值組合和函數(shù)取值之間對應(yīng)關(guān)系。9邏輯“與”的含義：只有當(dāng)決定一件事情的所有條件都全部具備時，這件事情才會發(fā)生；與門：在邏輯電路中，能夠?qū)崿F(xiàn)“與”運算的基本單元邏輯符號ABY&國標(biāo)ABY美標(biāo)10

或運算邏輯表達(dá)式：

Y=A＋B其中，“＋”為或運算符真值表AYBABY000110110111真值表11邏輯“或”的含義：在決定一件事情的各條件中，只要有一個或一個以上條件具備，這件事情就發(fā)生?；蜷T在邏輯電路中，能夠?qū)崿F(xiàn)“或”運算的基本單元。邏輯符號ABY美標(biāo)ABY國標(biāo)≥112非運算邏輯表達(dá)式：或

讀作“A非”或“非A”

真值表AY真值表AY011013邏輯“非”的含義：當(dāng)條件不具備時，事情才會發(fā)生非門在邏輯電路中，實現(xiàn)非運算的基本單元邏輯符號：AY1國標(biāo)AY美國14復(fù)合邏輯運算與非運算或非運算與或非運算&≥1&≥1YYYABCABCABCD15復(fù)合邏輯運算邏輯運算的優(yōu)先順序：（1）圓括號（2）非運算（3）與運算（4）或運算16Exclusive-ORandCoincidence-OR異或邏輯（異或運算）真值表表達(dá)式：同或邏輯異或邏輯的非表達(dá)式：ABY000110110110AB模2加法兩種重要的復(fù)合邏輯-異或/同或17邏輯符號運算規(guī)則和基本公式交換律反演律：互補(bǔ)律：國標(biāo)美國可進(jìn)一步挖掘異/同或邏輯的規(guī)律！18邏輯電平正邏輯與負(fù)邏輯對于一個邏輯電路，通常規(guī)定高電平為邏輯1，低電平為邏輯0，這就是正邏輯。如果規(guī)定高電平為邏輯0，低電平為邏輯1，則稱為負(fù)邏輯。同一個邏輯電路，在不同的邏輯假定下，其邏輯功能是否相同？19邏輯代數(shù)的公理和基本公式邏輯代數(shù)的公理(1)(2)(3)(4)(5)如則，如則20邏輯代數(shù)的基本公式組名稱常用公式備注(1)01律1+A=1變量與常量0+A=A(2)重疊律A+A=A同一個變量(3)互補(bǔ)律原變量與反變量之間的關(guān)系(4)還原律--(5)交換律A+B=B+A(6)結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)

(7)分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)(8)反演律DeMorgan21定律的證明方法公理和法則真值表對于邏輯變量的所有可能的組合求邏輯函數(shù)的值。例如：證明反演律AB001111011100101100110000得證：得證：22邏輯代數(shù)的基本定理代入定理反演定理

——inversiontheorem對偶定理

——dualtheorem代入定理在任何一個包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中的所有A的位置，則等式依然成立23代入定理（續(xù)）可以用來擴(kuò)大定律和公式的應(yīng)用范圍例如：24反演定理將函數(shù)Y式中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”“0”換成“1”，“1”換成“0”原變量換成反變量，反變量換成原變量則所得到的表達(dá)式是的表達(dá)式。注意：變換時要保持原式中邏輯運算的優(yōu)先順序不屬于單個變量上的反號應(yīng)保持不變25反演定理（續(xù)）例：DeMorgan定理是反演定理的一個特例，故被稱之為“反演律”已知，求已知，求26對偶定理若兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。對偶式的定義對于一個邏輯式Y(jié)，將其中所有：

“·”換成“+”，“+”換成“·”“1”換成“0”

，“0”換成“1”變量保持不變原表達(dá)式中的運算優(yōu)先順序保持不變27對偶定理（續(xù)）如果兩個邏輯表達(dá)式相等，那么它們的對偶式也相等。例如：AB+AC=A(B+C)對偶式

(A+B)(A+C)=A+BC邏輯代數(shù)中常用公式的對偶擴(kuò)展28第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1邏輯代數(shù)運算§2.2邏輯函數(shù)的表示方法及其標(biāo)準(zhǔn)形式

§2.3邏輯函數(shù)的化簡29邏輯函數(shù)的表示方法如何描述邏輯函數(shù)？有幾種方法？

ABC

Y00000011010001111000101011011111§2.2邏輯函數(shù)的表示和標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)表達(dá)式組成：邏輯變量、邏輯常量，邏輯運算符號。例：真值表30邏輯圖用邏輯門符號構(gòu)成的邏輯函數(shù)關(guān)系圖形；物理實現(xiàn)的原理圖卡諾圖一種特殊的真值表波形圖輸入變量的取值與對應(yīng)的輸出取值按時間順序排列描畫出來也稱為時序圖31由邏輯表達(dá)式列出真值表將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式求出函數(shù)值，列成表，即得真值表；輸入變量取值的組合一般按自然二進(jìn)制數(shù)遞增的順序排列。表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換32例：ABC000001010011100101110111為了避免差錯，可以將表達(dá)式中部分的項算出，再最終計算邏輯函數(shù)的值Y

1

1

1

0

00000

00

00000

11

1111

0

0

33由真值表寫出邏輯表達(dá)式找出使邏輯函數(shù)Y為1的變量取值組合；每個使函數(shù)Y為1的變量取值組合對應(yīng)一個乘積項（即：“與項”），其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量；將這些乘積項相或，即得到Y(jié)的邏輯表達(dá)式。ABCY0000001101000110100010111100111034由邏輯式畫出邏輯圖用圖形符號代替邏輯式中的運算符號，并按運算的優(yōu)先順序?qū)⑺鼈冞B接起來。35由邏輯圖寫出邏輯式從輸入端到輸出端逐級寫出圖形符號對應(yīng)的邏輯式36§2.2.2邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

標(biāo)準(zhǔn)“與或”表達(dá)式（最小項之和）標(biāo)準(zhǔn)“或與”表達(dá)式（最大項之積）37函數(shù)的最小項及其性質(zhì)

最小項在一個有n個變量的邏輯函數(shù)中，包含全部n個變量的乘積項稱為最小項，其中每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次最小項有時也稱為全積項或者標(biāo)準(zhǔn)乘積項38三變量最小項及其編號最小項使最小項為1的變量取值十進(jìn)制編號ABC0000001101020113100410151106111739最小項的性質(zhì)每一個最小項與變量的一組取值相對應(yīng)，只有該組取值才使其為1例如：全體最小項之和恒為1即：任意兩個不同的最小項的乘積恒為0例如：40標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式每個與項都是最小項的“與或”表達(dá)式，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項之和表達(dá)式從真值表求標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式找出使邏輯函數(shù)Y為1的變量取值組合寫出使函數(shù)Y為1的變量取值組合相對應(yīng)的最小項將這些最小項相“或”，即得到標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式

41從真值表求標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式（續(xù)）ABCY0000001001000111100010111101111142從一般與或表達(dá)式求標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式方法：利用基本公式（互補(bǔ)律）補(bǔ)全與項中的變量。例如：對于任何一個邏輯函數(shù)，它的真值表是唯一的，因而它的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式（不考慮順序）也是唯一的43函數(shù)的最大項及其性質(zhì)

最大項在一個有n個變量的邏輯函數(shù)中，包含全部n個變量的和項（確切地說，是“或項”）

稱為最大項，其中每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次最大項有時也稱為全和項或者標(biāo)準(zhǔn)和項44三變量最大項及其編號最大項使最大項為0的變量取值十進(jìn)制編號ABC0000001101020113100410151106111745最大項的性質(zhì)每一個最大項與變量的一組取值對應(yīng)，即只有這一組取值才使該最大項為0。全體最大項之積恒為0。任意兩個不同的最大項之和恒為1。最大項和最小項之間的關(guān)系：例如：例如：例如：46標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式每個或項都是最大項的或與表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式，也稱為最大項之積表達(dá)式從函數(shù)真值表求標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式在真值表中找出使邏輯函數(shù)Y為0的行對于Y=0的行，寫出對應(yīng)的最大項將所得到的最大項相與47標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式每個或項都是最大項的或與表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式，也稱為最大項之積表達(dá)式從函數(shù)真值表求標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式在真值表中找出使邏輯函數(shù)Y為0的行；對于Y=0的行，由變量取值“0”、“1”對應(yīng)最大項“原”、“反”變量的關(guān)系，寫出標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式；根據(jù)“或項”確定最大項的編號，可寫成的形式。48§2.2.2邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式如果函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式為：函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式則為：例如：ABCY00000010010001111000101111011111為什么？49第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1邏輯代數(shù)運算§2.2邏輯函數(shù)的表示方法及其標(biāo)準(zhǔn)形式§2.3邏輯函數(shù)的化簡50§2.3邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的最簡形式公式法化簡邏輯函數(shù)卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)卡諾圖卡諾圖化簡法（化簡為最簡與或表達(dá)式）用卡諾圖化簡法求最簡或與表達(dá)式具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)形式的轉(zhuǎn)換51同一個邏輯函數(shù)可以寫成各種不同形式的表達(dá)式表達(dá)式越簡單，所表示的邏輯關(guān)系越明顯表達(dá)式越簡單，一般說來，就可以用最少的電子器件來實現(xiàn)注意：確切地說，不同形式的邏輯器件對應(yīng)著不同形式的最簡邏輯表達(dá)式需要通過化簡的方法找出邏輯函數(shù)的最簡形式52§2.3.1邏輯函數(shù)的最簡形式最簡與或表達(dá)式最常用的是與或表達(dá)式，由它容易推導(dǎo)出其它表達(dá)形式判別與或表達(dá)式是否為最簡的條件：乘積項（與項）最少每個乘積項中因子（邏輯變量）最少53§2.3.2公式法化簡邏輯函數(shù)公式法化簡根據(jù)邏輯代數(shù)的公理、定律、定理、公式等，消去邏輯函數(shù)式中多余的乘積項和多余的因子，進(jìn)行化簡公式法化簡沒有固定的步驟，而要根據(jù)具體問題具體應(yīng)用不同的方法有并項法、吸收法、消因子法、消項法、配項法等等化簡的方法不是唯一的54

并項法利用互補(bǔ)律：，將兩項合并為一項，合并時消去一個邏輯變量（一個原變量、一個反變量）例：55吸收法利用公式：，吸收掉冗余的乘積項例：56

消因子法利用公式：，消去多余的因子例：57消項法利用常用公式：

消去多余的乘積項例：

58

配項法根據(jù)重疊律A+A=A

，在式中重復(fù)某項，再化簡根據(jù)互補(bǔ)率，式中某項乘以，再化簡公式法：無一定之規(guī)，強(qiáng)調(diào)試，結(jié)果有一定靈活性59§2.3.3卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)提綱卡諾圖卡諾圖化簡法具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡60§2.3.3.1卡諾圖（KarnaughMap）卡諾圖是由美國工程師卡諾（Karnaugh,M）首先提出的一種用來描述邏輯函數(shù)的特殊方格圖*在這個方格圖中每一個小方格代表邏輯函數(shù)的一個最小項*而且?guī)缀挝恢谩跋噜彙钡男》礁窬哂羞壿嬒噜徯约矗簝蓚€相鄰的小方格所代表的最小項只有一個變量取值不同61§2.3.3.1卡諾圖卡諾圖的構(gòu)成62517340ABC00011110011014629135111157384120ABCD0001111000011110m3m1m2m0BA0101ABBA0101四變量三變量0ABCDE000111100000100010111100101110111010011000001234567891011121314151617181920212223242526272829303162卡諾圖的特點卡諾圖中的小方格數(shù)等于最小項總數(shù)，若邏輯函數(shù)的變量數(shù)為n，則小方格數(shù)為2n個最小項的卡諾圖縱橫兩列標(biāo)注的“0”、“1”取值組合表示使方格對應(yīng)內(nèi)最小項為1的變量取值變量取值組合“0”、“1”的自然二進(jìn)制數(shù)值就是對應(yīng)最小項的編號任何一個n變量邏輯函數(shù)可以用n變量最小項卡諾圖表示邏輯函數(shù)等于在卡諾圖中填入“1”的小格（“1格”）所對應(yīng)的最小項之和卡諾圖是“鄰接真值表”在卡諾圖中，變量的取值按循環(huán)碼（格雷碼）排列幾何位置“相鄰”的最小項具有邏輯相鄰性63卡諾圖的特點（續(xù)）卡諾圖幾何位置“相鄰”的方格之間的邏輯關(guān)系：邏輯相鄰性；閉合（上下或左右）對于五個變量，僅僅用二維空間的相鄰性已經(jīng)不夠

——（軸）對稱位置的邏輯相鄰性變量應(yīng)按最小項編碼的順序分組

1×1，1×2，2×2，2×364根據(jù)邏輯函數(shù)填寫卡諾圖得到標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式若已知邏輯函數(shù)的表達(dá)式，可首先把函數(shù)寫成最小項之和的形式填寫卡諾圖在卡諾圖上與這些最小項對應(yīng)的位置上填入1，在其余位置上填入0，這樣就可得到表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖例：

65例：62517340ABC00011110011111ABC000111100110101100ABC0001111001=m3+m5+m6+m766例：與或表達(dá)式熟練后，亦可根據(jù)與或表達(dá)式直接填入1111ABC000111100167根據(jù)與或表達(dá)式直接填入，又例：ABCD0001111000011110

68§2.3.3.2卡諾圖化簡法用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的依據(jù)由于卡諾圖上幾何位置的相鄰性與邏輯上的相鄰性是一致的，因而從卡諾圖上能直觀地找出那些具有相鄰性的最小項，并將其合并化簡幾何相鄰的兩個方格（包括“閉合”與“軸對稱”）所代表的最小項只有一個變量不同根據(jù)互補(bǔ)律，當(dāng)方格為1（簡稱“1格”

），且兩個“1格”相鄰時，對應(yīng)的最小項就可以加以合并，消去一對原變量與反變量，合并后只剩公共因子例如：69如何“直觀地”找到可以合并的最小項呢？最小項卡諾圖邏輯化簡規(guī)則規(guī)則1：卡諾圖中兩個相鄰“1格”的最小項可以合并成一個與項，并消去一個變量卡諾圈11ABC000111100111ABCD000111100001111070規(guī)則1：

（續(xù)）11ABC000111100111ABCD000111100001111071規(guī)則2：卡諾圖中四個相鄰“1格”的最小項可以合并成一個與項，并消去兩個變量1111ABC00011110011111ABC00011110011111ABCD00011110000111101111ABCD000111100001111072規(guī)則3：卡諾圖中八個相鄰“1格”的最小項可以合并成一個與項，并消去三個變量11111111ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111ABCDE0000010110101101111011000001111073用最小項卡諾圖化簡法求最簡與或表達(dá)式步驟：(1)建立邏輯函數(shù)的卡諾圖(2)合并最小項(3)寫出最簡與或表達(dá)式

問題在于：如何選擇可合并的最小項，以達(dá)到最簡？選擇卡諾圈的技巧！74畫卡諾圈和選擇卡諾圈的技巧五個原則：“1格”不能漏圈“1格”允許被一個以上的圈所包圍圈的個數(shù)盡可能少圈的面積盡可能大每個圈至少應(yīng)包含一個新的“1格”

75練習(xí)11111111ABCD000111100001111076練習(xí)11111111ABCD0001111000011110“新的‘1’格”11111111ABCD000111100001111011111111ABCD0001111000011110OK圈的個數(shù)盡可能少77練習(xí)1111111111ABCD00011110000111101111111111ABCD0001111000011110圈的面積盡可能大78練習(xí)11111111ABCD000111100001111011111111ABCD0001111000011110每個圈至少應(yīng)包含一個新的“1格”79注意：卡諾圖化簡得到的最簡式一定是唯一的嗎？11