第6章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

第6章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析?現(xiàn)代技術(shù)中廣泛應(yīng)用的電能大部分是交流電。?如發(fā)電廠提供的電路、生活用電、工廠農(nóng)村用電、科學(xué)實驗用電等都離不開交流電。?正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析，就是研究和討論線性時不變電路在同一個頻率的正弦電源激勵下電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。?本章介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路分析的基礎(chǔ)知識，包括正弦量的特征以及正弦量的相量表示法；基爾霍夫定律的相量形式以及電阻、電感、電容元件在相量法中的特性；阻抗、導(dǎo)納的概念；正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法分析和計算。?在一個周期內(nèi)平均值為零的周期電流叫做交變電流，交變電流中隨時間按正弦函數(shù)變化的叫做正弦電流。?正弦電流、正弦電壓、正弦電動勢統(tǒng)稱為正弦交流電，簡稱交流電（或正弦量）。正弦交流電的基本概念6.1正弦量的相量表示法6.2正弦交流電路中的R、L、C元件6.3相量形式的基爾霍夫定律6.4阻抗、導(dǎo)納及其串聯(lián)、并聯(lián)電路的分析6.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析6.6正弦交流電路的功率6.7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳輸6.86.1正弦交流電的基本概念

6.1.1交流電的概念?如果電流或電壓每經(jīng)過一定時間（T）就重復(fù)變化一次，則此種電流或電壓稱為周期性交流電流或電壓，如正弦波、方波、三角波、鋸齒波等，如圖6-1-1所示，記做：u(t)

=

u(t

+

T)圖6-1-1周期性交流電?如果在電路中電動勢的大小與方向均隨時間按正弦規(guī)律變化，由此產(chǎn)生的電流、電壓大小和方向也是正弦的，這樣的電路稱為正弦交流電路。6.1.2正弦量的三要素?直流電的電壓、電流是穩(wěn)恒的，都不隨時間而改變，要描述直流電，只用電壓和電流這兩個物理量就夠了。?交流電則不然，它的電壓和電流的大小、方向都隨時間作周期性的變化，比直流電復(fù)雜得多，因此要描述交流電，需要的物理量就比較多。?下面討論表征交流電特點的物理量。?正弦量既可以用正弦函數(shù)表示也可以用余弦函數(shù)表示，本書采用余弦函數(shù)表示正弦量，對于不是余弦函數(shù)的要先轉(zhuǎn)換為余弦函數(shù)形式。?圖6-1-2所示正弦交流電在關(guān)聯(lián)參考方向下的數(shù)學(xué)表達(dá)式為式（6-1-1）中的Im、、ψ分別稱為正弦量的幅值、角頻率、初相角。?幅值Im：交流電的最大值，又稱振幅或峰值，用帶下標(biāo)m的小寫字母表示。?它決定正弦量的大小。?角頻率：每秒正弦量轉(zhuǎn)過的弧度，的單位為rad/s（弧度/秒）。?當(dāng)時間由t

=

0變化到T時，相角相當(dāng)于變化2個弧度，故得即T表示正弦交流電變化一周所需的時間，單位是s（秒）。?交流電在1s內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)，叫做交流電的頻率，頻率通常用?表示，單位是赫茲，簡稱赫，用符號Hz表示。?周期和頻率的關(guān)系為?電角度（t

+

ψ）是隨時間變化的，它每增加2，i又重復(fù)原先的變化規(guī)律。?正弦量任一時刻的瞬時值及變化趨勢與電角度(t

+

ψ)有關(guān)，這個電角度稱為正弦量的相位或相位角。?相位是表示正弦量在某一時刻所處的狀態(tài)的物理量，它不僅確定瞬時值的大小和方向，還能表示出正弦量的變化趨勢。?初相角ψ：表示正弦量在t

=

0時的相角。?正弦量的初相確定了正弦量在計時起點的瞬時值（又叫做初值），反映了正弦量在計時起點的狀態(tài)。?規(guī)定|ψ|不超過弧度（180°）。?正弦量的相位和初相都和計時起點的選擇有關(guān)。?計時起點選擇不同，相位和初相都不同。?由于正弦量一個周期中瞬時值兩次為零，所以規(guī)定由負(fù)值向正值變化之間的一個零點叫做正弦量的零值，如取正弦量的零值瞬間為計時起點，則初相ψ

=

0。?圖6-1-3所示為幾種不同計時起點的正弦電流的解析式和波形圖。圖6-1-3幾種不同計時起點的正弦電流?因為正弦量的瞬時值是對應(yīng)于選定的參考方向而言的，所以正弦量的初相、相位以及解析式也都是對應(yīng)于參考方向而言的。?同一正弦量，參考方向選的相反，瞬時值異號，解析式也異號。?由于?所以改變參考方向的結(jié)果是將正弦量的初相加上（減去）180°，而不影響振幅值與角頻率。?因此，確定初相之前既要選定計時起點又要選定參考方向。?通常將幅值、角頻率、初相角稱為正弦量的三要素。6.1.3交流電的有效值?交流電的最大值（Um，Im）是交流電在一個周期內(nèi)所能達(dá)到的最大數(shù)值，可以用來表示交流電的電流強(qiáng)弱或電壓高低，在實際中有重要意義。?但是在研究交流電的功率時，最大值用起來卻不夠方便，它夸大了做功的效果。?因此在實際工作中通常用有效值來表示交流電的大小。?交流電的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)來確定的。?讓交流電和直流電通過同樣阻值的電阻，如果它們在同一時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，就把這一直流電的數(shù)值叫做這一交流電的有效值。則有?交流電動勢和電壓的有效值可以用同樣的方法來確定。?通常用E、U和I分別表示交流電的電動勢、電壓和電流的有效值，則正弦交流電的有效值和最大值之間有如下的關(guān)系?可見，正弦量有效值和最大值之間存在固定的關(guān)系，因此，也可以用有效值代替最大值作為正弦量的三要素之一。6.1.4相位差?在正弦交流電路的分析中，經(jīng)常要比較兩個同頻率正弦量的相位之差，因為相位關(guān)系不同，反應(yīng)的負(fù)載性質(zhì)也不同，因此常用相位差來表示兩個同頻率正弦量的相位關(guān)系。?兩個同頻率正弦量的相位之差，稱為相位差，用φ表示。?例如：相位差?正弦量的相位是隨時間變化的，但同頻率正弦量的相位差是不隨時間改變的，等于它們的初相之差。?對兩個同頻率正弦量的計時起點做同樣的改變時，它們的相位和初相也隨之改變，但兩者之間的相位差始終不變。?一個正弦量比另一個正弦量早到達(dá)零值或振幅值時，稱前者比后者越前，或后者比前者滯后。?如圖6-1-4中i1比i2越前（ψ1?ψ2），或者說i2比i1滯后（ψ1?ψ2）。圖6-1-4兩個同頻率正弦電流波形圖?所以相位差計算式φ12

=

ψ1?ψ2中的φ12是第1個正弦量越前于第2個正弦量的角，它是一個代數(shù)量。?對于越前或滯后的角度，規(guī)定其絕對值不超過180°，如滯后40°，若用越前320°來表示就容易引起混亂。?當(dāng)ψ1

=

ψ2即φ12

=

0時，兩個正弦量將同時到達(dá)零值（或振幅值），我們稱這兩個正弦量為同相。?當(dāng)φ12

=

，即一個正弦量達(dá)到正的最大值時，另一個正弦量到達(dá)負(fù)的最大值，稱這兩個正弦量為反相。

圖6-1-5i1與i2反相

?例6-1-1

試作u1

=

Um1cost，i

=

Imcost，u2

=

Um2cos(t

+

90°)，e

=

Emcos(t?180°)的波形圖，并說明其相位關(guān)系。圖6-1-6例6-1波形圖?結(jié)論：因角頻率（）不變，所以在討論同頻率正弦波時，可不考慮，主要研究幅度與初相的變化。6.2正弦量的相量表示法?一個正弦量可采用幾種不同的方法來表示，目的是便于分析問題和解決問題。?最常用的有正弦量的解析表示法，正弦量的波形圖表示法和正弦量的相量表示法。1．解析式表示法?解析式表示法即瞬時值表達(dá)式，如?如果知道了交流電的有效值（或最大值）、頻率（或周期）和初相，就可以寫出它的解析式，便可算出交流電任何瞬間的瞬時值。2．波形圖表示法?正弦交流電還可用與解析式相對應(yīng)的波形圖，即正弦曲線來表示。?如圖6-1-2所示，圖中的橫坐標(biāo)表示時間t或角度t，縱坐標(biāo)表示隨時間變化的電流的瞬時值，在波形上可以反映出最大值、初相、周期等。3．相量表示法?用復(fù)數(shù)表示的正弦量就叫做相量，用相量表示正弦量進(jìn)行交流電路運算的方法稱為相量法。?前兩種方法不便于運算，下面重點介紹相量表示法。6.2.1復(fù)數(shù)簡介1．復(fù)數(shù)及其表示方法?在數(shù)學(xué)運算中，當(dāng)對負(fù)數(shù)開方時會產(chǎn)生虛數(shù)，如就是一個虛數(shù)。?如果一個數(shù)包含有實數(shù)和虛數(shù)兩個部分，則稱這個數(shù)為復(fù)數(shù)，如3

+

j4，j

=是虛數(shù)單位。?復(fù)數(shù)A的代數(shù)表示法A

=

a1

+

ja2?a1和a2分別為復(fù)數(shù)A的實部和虛部。?復(fù)數(shù)A還可以在復(fù)平面上表示，其在復(fù)平面上是一個點，原點指向復(fù)數(shù)的箭頭稱為它的模，模總是取正值；模a與正向?qū)嵼S之間的夾角稱為復(fù)數(shù)A的幅角；A在實軸上的投影是它的實部；A在虛軸上的投影稱為其虛部。

?由圖6-2-1又可得出復(fù)數(shù)A的模值a和幅角分別為圖6-2-1復(fù)數(shù)的模和輻角?不難看出，復(fù)數(shù)A的模a在實軸上的投影就是復(fù)數(shù)A的實部；在虛軸上的投影就是其虛部。又可得到復(fù)數(shù)A的三角函數(shù)式為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式?實部相同，虛部符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)，如復(fù)數(shù)A，其共軛復(fù)數(shù)記作A′，即2．復(fù)數(shù)的四則運算

（1）復(fù)數(shù)的加減法?復(fù)數(shù)相加或相減時，要先將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式。?設(shè)有兩個復(fù)數(shù)則復(fù)數(shù)相加（或相減）時，將實部和實部相加（或相減），虛部和虛部相加（或相減）。?與復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)矢量，當(dāng)復(fù)數(shù)相加（或相減）時，對應(yīng)的矢量亦相加（減），完全滿足實部和實部相加（或相減），虛部和虛部相加（或相減），如圖6-2-2所示。圖6-2-2復(fù)矢量的加法設(shè)有兩個復(fù)數(shù)分別為則（2）復(fù)數(shù)的乘除法?復(fù)數(shù)相乘或相除時，以指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式較為方便。或?即復(fù)數(shù)相乘時，將模相乘，幅角相加。?復(fù)數(shù)相除時，將模相除，幅角相減。?復(fù)數(shù)相除時，將模相除，幅角相減。?由復(fù)數(shù)相乘（除）的幾何意義可知，任意復(fù)數(shù)乘以等于把復(fù)數(shù)A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，而A的模值不變。?所以，將模等于1而幅角為的復(fù)數(shù)稱為旋轉(zhuǎn)因子。?例6-2-2

已知A

=

4

+

j3，B

=

3?j4求AB和A/B。?下面介紹一下旋轉(zhuǎn)因子。?復(fù)數(shù)ej=1∠是一個模等于1而幅角等于

的復(fù)數(shù)。?任意復(fù)數(shù)A=aej1乘以ej等于?即復(fù)數(shù)的模仍為a，幅角變?yōu)?

+

，即將aej1對應(yīng)的復(fù)矢量由原來位置（幅角1）逆時針旋轉(zhuǎn)了角，旋至幅角為1+。?

ej=1∠的作用是，并不改變aej1的模，只是使其逆時針旋轉(zhuǎn)了角。?所以ej

=

1∠稱為旋轉(zhuǎn)因子。?由此可見，一個復(fù)數(shù)乘以j，就等于把這個復(fù)數(shù)對應(yīng)的矢量在復(fù)平面上逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°（/2，）；乘以?1就等于逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°（即），乘以?j就等于逆時針方向旋轉(zhuǎn)270°（即3/2），或看做順時針方向旋轉(zhuǎn)/2，如圖6-2-3所示。?旋轉(zhuǎn)因子的這個重要性質(zhì)，后面經(jīng)常會用到。圖6-2-3復(fù)數(shù)乘以j的幾何意義6.2.2正弦量的表示法

?對應(yīng)正弦量作一個復(fù)值函數(shù)，它表示復(fù)平面上的一個旋轉(zhuǎn)向量。?根據(jù)歐拉公式令則復(fù)值函數(shù)?其實部正好是正弦量f(t)的表示式，即?式中，。?這是一個復(fù)常數(shù)，稱此復(fù)數(shù)為正弦量f(t)

的相量。?通常寫成如下形式：?由此可以看出，正弦量和復(fù)數(shù)之間存在著對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)用這種對應(yīng)關(guān)系，就可以用復(fù)數(shù)的模表示正弦電壓或電流的有效值，用幅角表示正弦電壓或電流的初相角。?這種與正弦電壓（或電流）相對應(yīng)的復(fù)數(shù)電壓（或電流）稱為相量。?電壓相量和電流相量分別以和表示，符號上面的圓點是用來和普通復(fù)數(shù)加以區(qū)別的。?這樣正弦交流電的瞬時值表達(dá)式和復(fù)數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系可表示為?注意：正弦量并非是復(fù)數(shù)，所以相量不等于正弦量，相量只能表征或代表正弦量。?用相量表示正弦交流電后，正弦交流電路的分析和計算就可以用復(fù)數(shù)來進(jìn)行，本書今后提到用相量表示正弦量時，若未加特殊說明，該相量就是指有效值相量。?相量只能表示出正弦量三要素中的兩個，角頻率需另加說明。?在確定的頻率下，正弦量和相量之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。?給定了正弦量，可以得出表示它的相量；反之，由一已知的相量及其所代表的正弦量的頻率，可以寫出它所代表的正弦量。只有同頻率正弦量的相量才能相互運算。?習(xí)慣上，一般取初相為零的正弦量為參考正弦量。?將參考正弦量轉(zhuǎn)換成相量形式后，稱為參考相量。6.2.3相量圖表示法

?相量在復(fù)平面上的圖示稱為相量圖。?給出一個正弦量?在復(fù)平面上作一矢量，如圖6-2-4所示，矢量長度|OA|按比例等于振幅值Um，矢量的初始位置和橫軸夾角等于初相ψ，矢量以角速度繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)。

圖6-2-4正弦量的相量圖表示法

?當(dāng)t

=

0時，該矢量在實軸上的投影為oa

=

Umcosψ。?經(jīng)過時間t1OA轉(zhuǎn)到OB，在縱軸上投影為。?由此可見，上述的旋轉(zhuǎn)矢量既能反映正弦量的三要素，又能通過它在實軸上的投影反映出正弦量的瞬時值，所以復(fù)平面上一個旋轉(zhuǎn)矢量可完整地表示一個正弦量。?同頻率的幾個正弦量的相量可以畫在同一圖上，這樣的圖叫做相量圖。?例如，有3個同頻率的正弦量為?

它們的相量圖如圖6-2-5所示。圖6-2-5e、u、i的相量圖?例6-2-3已知兩個頻率均為50HZ的電壓，表示它們的相量分別為V，

V，試求這兩個電壓的瞬時值表達(dá)式。6.2.4兩個同頻率正弦量之和?正弦量乘以實常數(shù)、同頻率正弦量的代數(shù)和，以及正弦量的微分、積分運算，其結(jié)果仍然為同頻率的正弦量。?把它們轉(zhuǎn)換成相量形式，采用復(fù)數(shù)計算比較方便。?例如，一條支路上有兩個同頻率的正弦電壓，其解析式為現(xiàn)需求出它們的和u1

+

u2。?若用三角函數(shù)知識計算是很麻煩的，所以一般不用這種方法。?用相量法求和就方便多了。6.2.5正弦量的微分與積分1．正弦量的微分2．正弦量的積分

6.3正弦交流電路中的R、L、C元件?在正弦交流電路中，只含有一個電阻元件R或電感元件L或電容元件C的電路，稱為單一參數(shù)正弦交流電路。?在單一參數(shù)正弦交流電路中，由于支路電壓和支路電流都是隨時間變化的，這樣，就必然使得R、L、C3種元件對電路中的電壓和電流產(chǎn)生相互影響。?為此，本節(jié)著重研究R、L、C在正弦穩(wěn)態(tài)電路中電壓和電流的伏安關(guān)系。6.3.1電阻元件1、電壓與電流的關(guān)系?我們曾經(jīng)在第1章里討論了電阻元件及其服從的規(guī)律，即歐姆定律u

=

Ri，這個關(guān)系在任一瞬間都成立，這也是交流電路中電阻元件的電壓和電流的基本關(guān)系式。?在如圖6-3-1所示的電流和電壓的關(guān)聯(lián)參考方向下，若在電阻兩端加正弦電流圖6-3-1電阻中的正弦電流?則電路中的電壓為?由此式可知電流與電壓成正比變化。?當(dāng)電壓為零時，電流亦為零，當(dāng)電壓正向變化時，電流也隨之正向變化；當(dāng)電壓反向變化時，電流也隨之反向變化。?這就是說電流與電壓一樣按正弦規(guī)律變化而且同相。用波形圖表示如圖6-3-2所示。圖6-3-2電阻元件上u和i的曲線?綜上所述，電壓與電流之間的大小關(guān)系為?雖然上式與直流電路的歐姆定律相似，但內(nèi)容不同，上式只表示有效值的大小關(guān)系，不表示uR、iR方向間的關(guān)系。?電壓與電流之間的相位關(guān)系為同相。2．電阻元件上電壓與電流的相量關(guān)系

?上面我們研究了線性電阻元件上電壓和電流的關(guān)系，這一關(guān)系同樣可以表示成相量形式。?這就是電阻元件上電壓與電流的相量關(guān)系式，也是相量形式的歐姆定律。?

是一個復(fù)數(shù)等式，復(fù)數(shù)相等必定是模和幅角分別相等。?由于相量的模表示有效值，因此在這個復(fù)數(shù)式中，由模與模相等的條件，必然會得到UR

=

RIR。?由于相量的幅角表示初相，該式中電阻R是實數(shù)，因此與的幅角相等，表明了電壓與電流的同相關(guān)系。?由此可見，電壓電流關(guān)系的相量式，即表明了它們的數(shù)量關(guān)系又表明了相位關(guān)系，兩者包含在同一個相量關(guān)系式中。?圖6-3-3（a）所示為電阻元件的相量模型，圖6-3-3（b）所示為電阻元件的電壓、電流的相量圖。圖6-3-3電阻元件的相量模型及相量圖6.3.2電感元件1．電壓與電流的關(guān)系?電感元件上電壓與電流關(guān)系如圖6-3-4所示。圖6-3-4電感元件上電壓與電流關(guān)系?式中Um

=

LIm。?由以上分析可知，uL與iL是同頻率的正弦量，它們之間有如下關(guān)系：在數(shù)值上

Um

=

LIm?等式兩邊同除，則電壓有效值與電流有效值之間的關(guān)系為

UL

=

LIL式中XL稱為電感元件的電抗，簡稱感抗，單位是歐姆。?由此可知，電壓與電流的有效值之間具有歐姆定律的形式。?當(dāng)電壓U一定時，感抗XL越大，電流IL越小，可見它在限制電流大小的作用上和電阻相似。?所以說感抗是表征電感對交流電呈現(xiàn)阻力的一個物理量。?感抗XL與電流的頻率呈正比關(guān)系，在f一定時，L越大，XL越大。?當(dāng)電感值一定時，感抗XL與頻率f呈正比，即電源頻率越高，電流變化也就越快，XL越大。?當(dāng)f

=

0時（即直流），XL

=

0，電感相當(dāng)于短路。?注意：感抗只能代表電壓、電流振幅值或有效值的比，不能代表它們瞬時值的比，而且感抗也只有在正弦交流電路中才有意義。?在相位上：電壓越前電流90°，其相位關(guān)系如圖6-3-4（b）所示。2．相量關(guān)系

圖6-3-5電感元件相量模型圖6-3-6電感元件電壓、電流相量圖6.3.3電容元件1．電壓和電流的關(guān)系?對于如圖6-3-7所示的電容元件的電路，當(dāng)在電容元件兩端加一正弦交流電壓時，在電壓和電流的關(guān)聯(lián)參考方向下，其電流表達(dá)式為圖6-3-7電容電路?設(shè)加在電容兩端的電壓為uC

=

Umcost，則?從上式可以看出，電容元件上電壓和電流為同頻率的正弦量，它們之間具有如下關(guān)系。?XC稱為電容電抗，簡稱容抗。?它是電容在正弦電流情況下阻止電流通過的能力反映。?當(dāng)C的單位為法拉，頻率?的單位為赫茲時，容抗XC的單位為歐姆。?容抗是電容在正弦電路中決定充放電電流大小的體現(xiàn)，它與電容和頻率?成反比，這是因為電容越大，在一定電壓下，能充入的電荷越多，電流就大，容抗就?。涣硪环矫?，頻率越高，則容抗越小，這是因為充放電進(jìn)行的越快，在同樣電壓下單位時間內(nèi)移動的電荷也越多，因而電流越大的緣故。?在電容C一定時，容抗XC與頻率?成反比，即?越高，XC越小。?當(dāng)?→∞時，XC→0，這時電容相當(dāng)于短路，所以說高頻電流容易通過電容器。?反之，?越低，XC越大，低頻電流越不容易通過電容。?當(dāng)?

=

0時，即相當(dāng)于在直流電源情況下，XC→∞，這時電容相當(dāng)于開路，直流電不能通過電容，這是電容器有所謂隔直流通交流作用的原因。?圖6-3-8所示為電容電路中容抗與頻率的關(guān)系曲線。

圖6-3-8電容電路中容抗與頻率的關(guān)系曲線2．相位關(guān)系?由式（6-3-5）可以看出，選定電流iC與電壓uC參考方向一致的情況下，iC比uC越前90°。?圖6-3-9（a）所示為u和i的波形圖。圖6-3-9電容電路中電流和電壓的波形圖和相量圖3．相量關(guān)系?電容元件上電壓與電流的關(guān)系也可表示成相量形式。圖6-3-10受控源的相量表示?例6-3-1

如圖6-3-11所示的電路中，已知uL

=

311cos

(100t?30°)V，L

=

2H。?求電路中電流iL，并畫出相量圖。圖6-3-11例6-3-1圖?例6-3-2

有一電容C

=

2F的電容器，現(xiàn)把它分別接到直流電源、50HZ正弦交流電源和500HZ正弦交流電源3種不同的電源上，若電壓都是220V，試問其容抗和電流有效值各是多大?6.4相量形式的基爾霍夫定律?從電阻元件、電感元件和電容元件的電壓電流關(guān)系的相量形式，我們已經(jīng)得出歐姆定律的相量形式為?由于以相量形式分析電路時，不僅電阻元件的電壓相量和電流相量之間滿足歐姆定律，電感元件和電容元件各自的電壓相量和電流相量之間的關(guān)系也符合歐姆定律的形式，這就為分析電路帶來極大的方便。?基爾霍夫電流定律的根據(jù)是電流的連續(xù)性原理。?在交流電路中，任一瞬間電流總是連續(xù)的，因此基爾霍夫電流定律適用于交流電路的任一瞬間，即任一瞬間流過電路一個節(jié)點（或閉合面）的各電流瞬時值的代數(shù)和等于零，亦即基爾霍夫電流定律的時域表達(dá)式為?正弦交流電路中，各電流都是與電源同頻率的正弦量，把這些同頻率的正弦量用相量表示，即得

Σ?

=

0這就是基爾霍夫電流定律的相量形式。?對任一回路來說，任何時刻，在電路中任一閉合回路內(nèi)各段電壓的代數(shù)和恒等于零，即Σu

=

0?在同一電路中，各段電壓也都是與電源同頻率的正弦量。?則可變換為相量形式

?即任一回路同頻率各段電壓對應(yīng)相量的代數(shù)和為零，這就是基爾霍夫電壓定律的相量形式。?綜上所述，正弦量表示為對應(yīng)的相量形式后，所有電路元件的伏安特性和電路定律的相量形式與直流電阻電路中的表達(dá)形式相似，所以，直流電阻電路的分析方法完全適用于以相量法分析正弦交流電路的情況。?例6-4-1

如圖6-4-1（a）、（b）所示電路，已知電流表A1、A2都是10A，求電路中電流表A的讀數(shù)圖6-4-1例6-4-1圖圖6-4-2例6-4-2圖6.5阻抗、導(dǎo)納及其串聯(lián)、并聯(lián)電路的分析

6.5.1阻抗Z?圖6-5-1（a）所示為一個由線性電阻、電感、電容等元件組成的二端網(wǎng)絡(luò)N0，其中不含獨立源。?在正弦交流電路中，其端口的電壓和電流將是同頻率的正弦量。圖6-5-1二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗?將端口的電壓相量和電流相量之比定義為該網(wǎng)絡(luò)的阻抗Z，即?Z不是正弦量，而是一個復(fù)數(shù)，被稱為復(fù)阻抗，其圖形和符號如圖6-5-1（b）所示。?其幅值|Z|稱為阻抗模，幅角φz稱為阻抗角，如圖6-5-1（c）所示。?

Z的單位為。?如果二端網(wǎng)絡(luò)N0內(nèi)部僅為單個元件R、L或C時，則對應(yīng)的阻抗分別為?如果二端網(wǎng)絡(luò)N0為RLC串聯(lián)電路，如圖6-5-2所示，根據(jù)KVL，可得圖6-5-2R、L、C串聯(lián)電路?其中Z的實部是電路中的電阻R，虛部X稱為RLC串聯(lián)電路的電抗，X

=

XLXC，單位為。?電抗X值的正負(fù)關(guān)系到RLC串聯(lián)電路的性質(zhì)：當(dāng)X

0時，即XL

XC，感抗的作用大于容抗的作用，電路呈感性，由于電流相同，因為UL

=

XLI，UC

=

XCI，所以UL

UC。?此時，

0，電壓比電流超前。?當(dāng)X

0時，即XL

XC，容抗的作用大于感抗的作用，電路呈容性，則UL

UC。?此時，

0，電壓比電流滯后。?當(dāng)X

=

0時，即XL

=

XC，容抗的作用等于感抗的作用，電路呈電阻性，則UL

=

UC。?此時，

=

0，電壓與電流同相。?這是一種特殊情況，叫串聯(lián)諧振。?R、X、∣Z∣構(gòu)成阻抗三角形，如圖6-5-1（c）所示。6.5.2導(dǎo)納?阻抗Z的倒數(shù)定義為導(dǎo)納Y，也可以將電流相量和電壓相量之比定義為該二端網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納Y，即 ?Y被稱為復(fù)導(dǎo)納，其幅值稱為導(dǎo)納模，其幅角φY稱為導(dǎo)納角，Y的單位為西門子（S），如圖6-5-3（b）所示。圖6-5-3RLC并聯(lián)電路的導(dǎo)納顯然?導(dǎo)納還可以用代數(shù)形式Y(jié)

=

G

+

jB表示，其實部為G，稱為“電導(dǎo)”，虛部為B，稱為“電納”。這樣如果二端網(wǎng)絡(luò)N0內(nèi)部僅為單個元件R、L或C，對應(yīng)的導(dǎo)納分別為?如果二端網(wǎng)絡(luò)N0為RLC并聯(lián)電路，則用導(dǎo)納的概念表示比較方便，如圖6-5-3（a）所示，根據(jù)KCL，可得

?式中Y的實部就是電路中的電導(dǎo)G，其虛部即電抗B為

6.5.3阻抗和導(dǎo)納的等效互換?根據(jù)阻抗和導(dǎo)納的定義，任何一個無源二端網(wǎng)絡(luò)，既可以用阻抗表示，也可以用導(dǎo)納表示，并且同一電路的阻抗和導(dǎo)納應(yīng)互為倒數(shù)。?若已知某電路的阻抗為Z

=

R

+

jX，則該電路的導(dǎo)納為圖6-5-4例6-5-1相量圖6.5.4阻抗串聯(lián)的等效阻抗?圖6-5-5所示為多個復(fù)阻抗相串聯(lián)的電路。?選定電流和各電壓的參考方向并標(biāo)于圖上。圖6-5-5多個復(fù)阻抗串聯(lián)電路?其中Z叫做串聯(lián)電路的等效復(fù)阻抗，即

Z

=

Z1

+

Z2

+

Z3

+

…

+

Zn這就是說串聯(lián)電路的等效復(fù)阻抗等于各段復(fù)阻抗之和。6.5.5導(dǎo)納并聯(lián)的等效導(dǎo)納?多支路并聯(lián)電路如圖6-5-6所示，按習(xí)慣選定電壓、電流的參考方向并標(biāo)于圖上。圖6-5-6多支路并聯(lián)電路圖6-5-7例6-5-2圖?例6-5-4

如圖6-5-9所示電路，R1

=

40，R2

=

40，L

=

42.9mH，R3

=

60，C

=

20F，接到電壓u

=

311cos700tV上。?試求總電流及各支路電流。圖6-5-8例6-5-3的相量圖圖6-5-9例6-5-46.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析?由前面介紹的電路元件的相量模型和相量形式的電路定律可知，正弦穩(wěn)態(tài)電路中，當(dāng)所有的正弦量都表示為相量形式以后，適用于直流電路的歐姆定律和基爾霍夫定律仍然適用于交流電路。?列出的電路方程都是線性復(fù)數(shù)代數(shù)方程，和電路中相應(yīng)的方程類似。?所以，原來應(yīng)用于直流電路中的網(wǎng)孔法、節(jié)點法、戴維南定理、疊加定理、電源等效變換等分析方法仍適用于正弦穩(wěn)態(tài)電路。下面舉例介紹這些方法的應(yīng)用。?用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時所采取的一般步驟如下：（1）寫出已知正弦量的相量。（2）作出原電路的相量模型，選擇適當(dāng)?shù)姆治龇椒ɑ蚨ɡ砬蠼獯笙嗔?，求出電路中各相量間的關(guān)系。（3）將求得的相量變換為時域響應(yīng)。?例6-6-1試用網(wǎng)孔法求圖6-6-1所示電路的支路電流。圖6-6-1例6-6-1圖圖6-6-2例6-6-2圖圖6-6-3例6-6-3圖?例6-6-4

如圖6-6-4中，正弦電壓Us=

380V，f

=

50Hz，電容可調(diào)。?當(dāng)C

=

80.95μF時，交流電流表A1的讀數(shù)最小，其值為2.59A，求圖中電流表A2的讀數(shù)。圖6-6-4例6-6-4圖6.7正弦交流電路的功率?正弦交流電路的重要用途之一就是傳輸能量，因此正弦交流電路的功率也是一個很重要的概念。?由于在正弦交流電路中電壓和電流都隨時間按正弦規(guī)律變化，所以正弦交流電路中的功率能量關(guān)系要比直流電路復(fù)雜得多。?為此，我們引入一些新的概念，瞬時功率、有功功率、視在功率、無功功率都是正弦交流電路中的基本概念，下面分別介紹它們的基本概念及分析方法。6.7.1二端網(wǎng)絡(luò)的功率1．瞬時功率?對如圖6-7-1所示正弦系統(tǒng)一端網(wǎng)絡(luò)，任一時刻輸入該二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率為該時刻電壓和電流的乘積，即P

=

ui，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，若二端網(wǎng)絡(luò)端口的正弦電壓和電流分別為圖6-7-1正弦交流二端網(wǎng)絡(luò)?式（6-7-1）表示的功率p是隨時間不斷變化的量，我們將電壓瞬時值u和電流瞬時值i的乘積稱為瞬時功率，用字母p表示，p包括兩項，前一項UIcosφ為常量，后一項UIcos(2t

+

φ)為正弦量，且頻率是電壓或電流的兩倍。?正弦穩(wěn)態(tài)電路的電壓、電流和瞬時功率的波形圖如圖6-7-2所示。?當(dāng)u或i為零的瞬間p

=

0，當(dāng)φ≠0時，在正弦電流電壓參考方向一致時，若p>

0表示二端網(wǎng)絡(luò)吸收或消耗能量，p

<0則表示二端網(wǎng)絡(luò)發(fā)出或產(chǎn)生能量。圖6-7-2壓電流功率波形圖?瞬時功率還可以表示為

U

=

UIcos

+

UIcos(2t)=

UIcos

+

UIcoscos2t+UIsinsin2t=

UIcos(1

+

cos2t)

+

UIsinsin2t（1）純電阻電路的功率（2）電容電路的功率（3）電感電路的功率圖6-7-3電阻電壓電流瞬時功率波形圖圖6-7-4電容電壓電流瞬時功率波形圖2．有功功率?雖然瞬時功率反映了二端網(wǎng)絡(luò)在能量轉(zhuǎn)換過程中的狀態(tài)，并為工程測量和全面反映正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率提供了理論依據(jù)，但是由于瞬時功率不便于測量，所以瞬時功率在正弦穩(wěn)態(tài)電路中的實用意義不大。?通常所說的正弦電流電路的功率指的是平均功率，即瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值，平均功率被稱為有功功率，用大寫字母P表示。?對于電阻元件來說，其平均功率為?若二端網(wǎng)絡(luò)中有N個電阻，網(wǎng)絡(luò)吸收的