九年級數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題-將軍飲馬專題1

專題一利用軸對稱解決兩條線短之和最小值問題一：問題的背景古希臘一位將軍要從人地出發(fā)到河邊（如下圖MN）去飲馬，然后再回到駐地8。間怎樣選擇飲馬地點(diǎn)，才能使路程最短？EAA,BPMEAA,BPM分析：在河邊飲馬的地點(diǎn)有許多處，把這些地點(diǎn)與A、8連接起來的兩條線段的長度之和，就是從人地到飲馬地點(diǎn)（口，再回到8地的路程之和?，F(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的那個點(diǎn)來。具體操作：在圖上過A點(diǎn)作河邊MN的垂線，垂足為C,延長AC到A',A'是地對于河邊MN的對稱點(diǎn)；連結(jié)A凸，交河邊MN于P,那么P點(diǎn)就是題目所求的飲馬地點(diǎn)。原因：為什么飲馬的地點(diǎn)選擇在P點(diǎn)能使路程最短呢？因?yàn)锳C=AC,AP與BP的長度之和就是AP與BP的長度之和，即是AB的長度；而選擇河邊的任何其他點(diǎn)，如E,路程AE+EB=AE+BE>AB,故P點(diǎn)就是符合要求的點(diǎn)。二：基本模型（K型）（等腰三角形）（菱形）等腰梯形）（（等腰三角形）（菱形）等腰梯形）（基礎(chǔ)訓(xùn)練1、如圖，正方形邊長為8,M在CD上，且DM=2,N是AC上一動點(diǎn)，則ND+NM的最小值為多少？2、如圖,菱形ABCD中,/BAD=60°,M是AB的中點(diǎn),P是對角線AC上的一個動點(diǎn),若AB長是3,則PM+PB的最小值為多少？3、如圖,已知點(diǎn)P是邊長為2的正三角形ABC的中線AD上的動點(diǎn),E是AC邊的中點(diǎn)，則PC+PE的最小值是多少？4、如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2,/ACB=90。，D是BC中點(diǎn)，E是AB邊上一動點(diǎn)，則EC+ED的最小值是多少？5、如圖，正三角形ABC的邊長為2,M為BC中點(diǎn)，P為AC上一動點(diǎn)，則PB+PM的最小值為多少？6、等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊人8的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動點(diǎn)，則PB+PE的最小值為。7、在三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別為AB,AC邊上的中點(diǎn)，BC=6,BC邊上的高為4,若點(diǎn)P為BC邊上一個動點(diǎn)，則三角形PDE周長的最小值是多少？8、如圖，在矩形ABCD中，AD=3,/CAB=30°、點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段CD上的動點(diǎn)，則AQ+PQ的最小值是多少？0Q

提高訓(xùn)練1、如圖，在直角三角形ABC中、/ACB=90°,AC=6,BC=8,AD為/BAC的平分線。若P、Q分別是AD和AC上的動點(diǎn)，貝UPC+PQ的最小值為（2個動點(diǎn)）2、如圖，在銳角△ABC中，AB=4二/BAC=45°./BAC的平分線交BC于點(diǎn)D、M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 .（2個動點(diǎn)）3、如圖，4ABC中，AB=4,/BAC=30°,若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小，則這個最小值為.

4、如圖，/AOB=45°,P是/AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10,點(diǎn)Q,R分別是OA,OB上的動點(diǎn)（均不同于點(diǎn)O）,則三角形PQR周長的最小值為（2個動點(diǎn)）5、如圖，在等腰三角形ABC中，/ABC=120°,點(diǎn)P是底邊AC上一動點(diǎn)，M,N為AB,BC中點(diǎn)，若PM+PN的最小值為2,則三角形ABC的腰長為6、如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊上的一點(diǎn)，且DF=1。若M,N分別是線段八〃人￡上的動點(diǎn)，則MN+MF的最小值為（2個動點(diǎn)）BEC7、如圖，在矩形ABCD中，AD=6,AE,BD,垂足為E,ED=3BE,點(diǎn)P,Q分別在BD,AD上，則AP+PQ的最小值為（2個動點(diǎn)）

8、如圖，正方形ABCD的邊長是4,/DAC的平分線交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為。（2個動點(diǎn)）9、如圖，AB,CD是半徑為5的?0的兩條弦，AB=8,CD=6,MN是直徑，AB^MN于E,CD±MN于F,點(diǎn)P為EF上任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值為10、如圖，MN是半徑為1的?0直徑，點(diǎn)A在@0上，/AMN=30°,點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一動點(diǎn)，貝UPA+PB的最小值為經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在求兩條線段之和的最小值時，我們經(jīng)常“轉(zhuǎn)化”河同側(cè)的一個點(diǎn)到河的另一側(cè)，從而使一條線段同時“移”到了河的異側(cè)，我們稱之為“轉(zhuǎn)點(diǎn)移線”，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題。上面的練習(xí)中，主要包括了四類大的具體操作類型：1、原圖中直接轉(zhuǎn)化點(diǎn)的。2、需要補(bǔ)成特殊圖形轉(zhuǎn)化點(diǎn)