知識(shí)點(diǎn)54 方案設(shè)計(jì)題2020

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D．6種{答案}B{解析}設(shè)可以購買x支康乃馨，y支百合，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為正整數(shù)即可得出小明有4種購買方案．設(shè)可以購買x支康乃馨，y支百合，依題意，得：2x+3y＝30，∴y＝10﹣EQ\F(2,3)x．∵x，y均為正整數(shù)，∴EQ\B\lc\{(\a\al(x＝3,y＝8))，EQ\B\lc\{(\a\al(x＝6,y＝6))，EQ\B\lc\{(\a\al(x＝9,y＝4))，EQ\B\lc\{(\a\al(x＝12,y＝2))，∴小明有4種購買方案．故選：B．二、填空題三、解答題22．（2020·嘉興）為了測量一條兩岸平行的河流寬度，三個(gè)數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計(jì)了不同的方案，他們在河南岸的點(diǎn)A處測得河北岸的樹H恰好在A的正北方向．測量方案與數(shù)據(jù)如下表：課題測量河流寬度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量小組第一小組第二小組第三小組測量方案示意圖說明點(diǎn)B，C在點(diǎn)A的正東方向點(diǎn)B，D在點(diǎn)A的正東方向點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正西方向．測量數(shù)據(jù)BC＝60m，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°．BD＝20m，∠ABH＝70°，∠BCD＝35°．BC＝101m，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°．（1）哪個(gè)小組的數(shù)據(jù)無法計(jì)算出河寬？（2）請選擇其中一個(gè)方案及其數(shù)據(jù)求出河寬（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）{解析}本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，（1）第二小組無法計(jì)算出河寬，△ABH和△BDC建立不起聯(lián)系．（2）由∠ACH＝35°，∠ABH＝70°，可知∠BHC＝35°，從而HB＝BC＝60，在Rt△ABH中，sin∠ABH＝,所以AH＝BH×0.94=56.4{答案}解：（1）第二個(gè)小組的數(shù)據(jù)無法計(jì)算河寬．（2）第一個(gè)小組的解法：∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，∴∠BHC＝∠BCH＝35°，∴BC＝BH＝60m，∴AH＝BH?sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．第二個(gè)小組的解法：設(shè)AH＝xm，則CA＝，AB＝，∵CA+AB＝CB，∴＝101，解得x≈56.4．答：河寬為56.4m．22．（2020湖州）某企業(yè)承接了27000件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，計(jì)劃安排甲、乙兩個(gè)車間的共50名工人，合作生產(chǎn)20天完成．已知甲、乙兩個(gè)車間利用現(xiàn)有設(shè)備，工人的工作效率為：甲車間每人每天生產(chǎn)25件，乙車間每人每天生產(chǎn)30件．（1）求甲、乙兩個(gè)車間各有多少名工人參與生產(chǎn)？（2）為了提前完成生產(chǎn)任務(wù)，該企業(yè)設(shè)計(jì)了兩種方案：方案一甲車間租用先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，工人的工作效率可提高20%，乙車間維持不變．方案二乙車間再臨時(shí)招聘若干名工人（工作效率與原工人相同），甲車間維持不變．設(shè)計(jì)的這兩種方案，企業(yè)完成生產(chǎn)任務(wù)的時(shí)間相同．①求乙車間需臨時(shí)招聘的工人數(shù)；②若甲車間租用設(shè)備的租金每天900元，租用期間另需一次性支付運(yùn)輸?shù)荣M(fèi)用1500元；乙車間需支付臨時(shí)招聘的工人每人每天200元．問：從新增加的費(fèi)用考慮，應(yīng)選擇哪種方案能更節(jié)省開支？請說明理由．【分析】（1）設(shè)甲車間有x名工人參與生產(chǎn)，乙車間各有y名工人參與生產(chǎn)，由題意得關(guān)于x和y的方程組，求解即可．（2）①設(shè)方案二中乙車間需臨時(shí)招聘m名工人，由題意，以企業(yè)完成生產(chǎn)任務(wù)的時(shí)間為等量關(guān)系，列出關(guān)于m的分式方程，求解并檢驗(yàn)即可；②用生產(chǎn)任務(wù)數(shù)量27000除以方案一中甲和乙完成的生產(chǎn)任務(wù)之和可得企業(yè)完成生產(chǎn)任務(wù)的時(shí)間，然后分別按方案一和方案二計(jì)算費(fèi)用并比較大小即可．【解答】解：（1）設(shè)甲車間有x名工人參與生產(chǎn)，乙車間各有y名工人參與生產(chǎn)，由題意得：x+y=5020(25x+30y)=27000，解得x=30（2）①設(shè)方案二中乙車間需臨時(shí)招聘m名工人，由題意得：2700030×25×(1+20%)+20×30解得m＝5．經(jīng)檢驗(yàn)，m＝5是原方程的解，且符合題意．∴乙車間需臨時(shí)招聘5名工人．②企業(yè)完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間為：2700030×25×(1+20%)+20×30∴選擇方案一需增加的費(fèi)用為900×18+1500＝17700（元）．選擇方案二需增加的費(fèi)用為5×18×200＝18000（元）．∵17700＜18000，∴選擇方案一能更節(jié)省開支．23．(2020自貢)甲、乙兩家商場平時(shí)以同樣價(jià)格出售相同的商品．新冠疫情期間，為了減少庫存，甲、乙兩家商場打折促銷．甲商場所有商品按9折出售，乙商場對(duì)一次購物中超過100元后的價(jià)格部分打8折．（1）以x（單位：元）表示商品原價(jià)，y（單位：元）表示實(shí)際購物金額，分別就兩家商場的讓利方式寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）新冠疫情期間如何選擇這兩家商場去購物更省錢？{解析}解：（1）由題意可得，y甲＝0.9x，當(dāng)0≤x≤100時(shí)，y乙＝x，當(dāng)x＞100時(shí)，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，由上可得，y乙=x（2）當(dāng)0.9x＜0.8x+20時(shí)，得x＜200，即此時(shí)選擇甲商場購物更省錢；當(dāng)0.9x＝0.8x+20時(shí)，得x＝200，即此時(shí)兩家商場購物一樣；當(dāng)0.9x＞0.8x+200時(shí)，得x＞200，即此時(shí)選擇乙商場購物更省錢．（2020·濟(jì)寧）20.(8分)為加快復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某企業(yè)需運(yùn)輸批物資．據(jù)調(diào)查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸1350箱．（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運(yùn)輸多少箱物資；（2）計(jì)劃用兩種貨車共12輛運(yùn)輸這批物資，每輛大貨車一次需費(fèi)用5000元，每輛小貨車一次需費(fèi)用3000元．若運(yùn)輸物資不少于1500箱，且總費(fèi)用小于54000元．請你列出所有運(yùn)輸方案，并指出哪種方案所需費(fèi)用最少．最少費(fèi)用是多少？{解析}（1）設(shè)1輛大貨車一次運(yùn)輸x箱物資，1輛小貨車一次運(yùn)輸y箱物資，由“2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸1350箱”，可列方程組，即可求解；（2）設(shè)有a輛大貨車，（12﹣a）輛小貨車，由“運(yùn)輸物資不少于1500箱，且總費(fèi)用小于54000元”可列不等式組，可求整數(shù)a的值，即可求解．{答案}解：（1）設(shè)1輛大貨車一次運(yùn)輸x箱物資，1輛小貨車一次運(yùn)輸y箱物資，由題意可得：，解得：，答：1輛大貨車一次運(yùn)輸150箱物資，1輛小貨車一次運(yùn)輸100箱物資，（2）設(shè)有a輛大貨車，（12﹣a）輛小貨車，由題意可得：，∴6≤a＜9，∴整數(shù)a＝6，7，8；當(dāng)有6輛大貨車，6輛小貨車時(shí)，費(fèi)用＝5000×6+3000×6＝48000元，當(dāng)有7輛大貨車，5輛小貨車時(shí)，費(fèi)用＝5000×7+3000×5＝50000元，當(dāng)有8輛大貨車，4輛小貨車時(shí)，費(fèi)用＝5000×8+3000×4＝52000元，∵48000＜50000＜52000，∴當(dāng)有6輛大貨車，6輛小貨車時(shí)，費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為48000元．23．（2020·青島）實(shí)際問題：某商場為鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中(面值為整數(shù))一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額.某顧客獲得了次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？問題建模：從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥3)這n個(gè)整數(shù)中任取a(1<a<n)個(gè)整數(shù)，這a個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？橫型探究：我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問題的方法.探究一：(1)從1，2，3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？如表①，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是5，所以共有3種不同的結(jié)果.(2)從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？如表②，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是7，所以共有5種不同的結(jié)果.(3)從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.(4)從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n=3)這n個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.探究二：(1)從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.(2)從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥4)這n個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.探究三：從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥5)這n個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.歸納結(jié)論：從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥3)這n個(gè)整數(shù)中任取a(1<a<n)個(gè)整數(shù)，這a個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.問題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中(面值為整數(shù))，一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，共有種不同的優(yōu)惠金額.拓展延伸：(1)從1，2，3，…，36這36個(gè)整數(shù)中任取多少個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果？(寫出解答過程)(2)從3，4，5，…，n+3(n為整數(shù)，且n≥2)這(n+1)個(gè)整數(shù)中任取a(1<a<n+1)個(gè)整數(shù)，這a個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.{答案}解：探究一：（3）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，8，9，也就是從3到9的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是9，所以共有7種不同的結(jié)果.答案：7（4）從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n=3)這n個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，8，n+n-1=2n-1，也就是從3到2n-1的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是2n-1，所以共有2n-1-2=2n-3（種）不同的結(jié)果.答案：2n-3探究二：(1)從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，所取的3個(gè)整數(shù)之和可以為6，7，8，9，也就是從6到9的連續(xù)整數(shù)，其中最小是6，最大是9，所以共有4種不同的結(jié)果.答案：4(2)從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n=3)這n個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，所取的3個(gè)整數(shù)之和可以為6，7，8，…，n+n-1+n-2=3n-3，也就是從6到3n-3的連續(xù)整數(shù)，其中最小是6，最大是3n-3，所以共有3n-3-8=3n-8（種）不同的結(jié)果.答案：3n-8探究三：從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥5)這n個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n=3)這n個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，所取的4個(gè)整數(shù)之和可以為10，11，12，…，n+n-1+n-2+n-3=4n-6，也就是從10到4n-6的連續(xù)整數(shù)，其中最小是10，最大是4n-6，所以共有4n-6-9=4n-15（種）不同的結(jié)果.答案：4n-15歸納結(jié)論：從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥3)這n個(gè)整數(shù)中任取a(1<a<n)個(gè)整數(shù)，所取的a個(gè)整數(shù)之和最小是1+2+3+…+a=，最大是n+n-1+n-2+…+n-（a-1)=，所以共有不同的結(jié)果數(shù)為：===.答案：問題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中(面值為整數(shù))，一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，共有不同優(yōu)惠金額的種類為：=476（種）.答案：476拓展延伸：(1)設(shè)從1，2，3，…，36這36個(gè)整數(shù)中任取a個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果，則，即，∴a=7或29.答：從1，2，3，…，36這36個(gè)整數(shù)中任取7個(gè)或29個(gè)整數(shù)，可以使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果.(2)從3，4，5，…，n+3(n為整數(shù)，且n≥2)這(n+1)個(gè)整數(shù)中任取a(1<a<n+1)個(gè)整數(shù)，所取的a個(gè)整數(shù)之和最小是3+4+5+…+（3+a-1）=，最大是n+3+n+2+n+1+…+[n+3-（a-1)]=，所以共有不同的結(jié)果數(shù)為：======.答案：24.(2020·湘潭)習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某校為提高學(xué)生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得第十屆矛盾文學(xué)獎(jiǎng)的《北上》（徐則臣著）和《牽風(fēng)記》（徐懷中著）兩種書共50本．已知購買2本《北上》和1本《牽風(fēng)記》需100元；購買6本《北上》與購買7本《牽風(fēng)記》的價(jià)格相同．（1）求這兩種書的單價(jià)；（2）若購買《北上》的數(shù)量不少于所購買《牽風(fēng)記》數(shù)量的一半，且購買兩種書的總價(jià)不超過1600元．請問有哪幾種購買方案？哪種購買方案的費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少元？{解析}（1）設(shè)購買《北上》和《牽風(fēng)記》的單價(jià)分別為x、y，根據(jù)“購買2本《北上》和1本