矩陣相關(guān)知識-考研資料

第六章特征值及其應(yīng)用

本章內(nèi)容所涉及的矩陣若無特別說明均為〃階復(fù)方陣.

6.1特征值特征向量的一般知識

A是〃階方陣，若存在復(fù)數(shù)4以及〃維非零列向量x,使Ax=/h,即（/lE-A）x=O,

則稱4是A的特征值，x是4的屬于2的特征向量.

由線性方程組的知識可知：九是A的特征值04是A的特征多項式-川=0的根.

特征多項式的性質(zhì)：

（1）相似矩陣有相同的特征多項式；（反之不然）

（2）設(shè)/（㈤是A的特征多項式，貝Ij/（A）=O.（Hamilton-Cayley定理）

（3）設(shè)A=（%J“，則|羔—A|=犬—+0矛-2_…+（-1）?-'+（—1）"an,

其中火是A的所有i階主子式之和，即6=￡

\<k]<k2<---<ki<n

（3）的證明：將A和E按列分塊A=（%，%，…，%），^=（%,￡?，…，*），利用行列式

按列拆開”的性質(zhì)可得

a

|荏一川=|（丸￡]"n）|

=|（丸￡],422—二2，一'，丸￡“-an）|+|（—一二2，一'，丸￡〃-a“）|

=|（^|,^2,2^3—二3???，丸￡〃-々〃）|+|（丸￡1，一°2，丸￡3_。3,,\丸￡〃一?！埃﹟

+|（—2^2,2^—???，九￡〃—二〃）|+|（一41，一。2,4￡3-'??，九￡〃—an）|

+2|（4￡1'1.'4￡月一|，一，2￡m+1，-.，4￡匕一1'一，'42+1+

+Z,丸￡川，_&1t7，???，_a*,i)|+1(-?|,-?2,-

1%?2<Y及“-|V”

/—獷ZA+(-1)2尸ZA蜉

31\<ki<k<n心/2

UJ2

_\kk??,kI

+(T)fZA」：5+(f"叫

17小〈…%-臼lKlK2…鼠”-1J

注：①在(3)中，=。11+。22~*----1~anntrA,an=|A|.

②若4,42,…是|zf-A|=o的全部根,則=(4—4)(4—%…—4])?由

根與系數(shù)的關(guān)系可得%=4+%+…+4”，〃”=44…4f.于是4+與■+—F4=trA，

4幾2,-4,=|A].由此可見A可逆=A的特征值均不為o.

特征值、特征向量的性質(zhì)：

設(shè)/I是〃階方陣A的特征值，J是A的屬于4的特征向量.

(1)/(/I)是/(A)的特征值，4是/(A)的屬于/(為的特征向量.

(2)A可逆時，且才|是Ai的特征值，J是A"的屬于的特征向量.

(3)丸是尸一飛尸的特征值，P-2是P-"P的屬于/I的特征向量.

國*.|A|

(4)當(dāng)A可逆時，□是A的伴隨矩陣A的特征值，自是A的屬于□的特征向量；

當(dāng)A不可逆時：若秩A<〃-1,A*的特征值只有0,任意非零向量是他的特征向

量；

若秩4=〃-1,A*的特征值為。和m4*=A“+&2+…+4”，

其中0至少是A*的重特征值.

(5)A'與A有相同的特征多項式，從而有相同的特征值.

(6)若存在正整數(shù)k,使4人=0,則A的特征值只能為0.

(7)若存在正整數(shù)人也22),使A*=A,則A的特征值只能為0和％—1次單位根.

(8)若a是A的特征向量，則a所屬于的特征值為空區(qū).

aa

證明⑴由=可得，A匕=2笛==

設(shè)/(x)=a1nxM+…++&,則/(A)=a,“4"+—I-atA+anE.所以

m

/(A)&=(amA+-+atA+a0E)^=amA'^+…+qAJ+a0E^

m

=amr^+-+al^+a^=(amA+-+alA+a0^=f(A^.

可見/(2)是/(A)的特征值，f是/(A)的屬于/(2)的特征向量.

(2)在AJ=/ig兩邊左乘AT得歲=為4一2,即4一(=’4,可見J是AT的屬于萬1

A

的特征向量.

(3)v{P-'AP\P-'^=P-'A^=P-'A^=2(P-'^),所以P-Z是P-AP的屬于丸

的特征向量.

(4)當(dāng)A可逆時，因為牙：工人*,而AT&='J,即工=亦即

|A|2|A|A

A*J=，J,可見J是A*的屬于耳的特征向量.

當(dāng)秩A<〃—1時，A*=0,所以對任意非零向量￡,有A/=0=0￡.可見A”的特

征值只有0,任意非零向量是他的特征向量.

當(dāng)秩4=〃一1時，秩A*=l,所以A*的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的秩為1,可知A"的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形1/

的主對角線上至少有〃一1個0,因此I/IE-A*l=pl￡—=—a).

又：—A*|=/—.%1+…+(—I)",].與上式比較得a="A".

(5)\AE-Af|=|(AE-A)z|=\AE-A|.

(6)Ag=/l匕，但屋=0,r.A匕=0,即無<=0,而JwO,所以4=0.

(7)由4"=A,得X匕=/LJ,所以(九一見豬=0.而JHO,所以無一之=0,即

(才-i—1)4=0,可見4為0和人—1次單位根.

(8)設(shè)a所屬于的特征值為4,則Aa=4)a,兩邊同時左乘優(yōu)，得aAa=4)a'。,

a'Aa

所以4)

a'a

例1〃階實矩陣A=(%)的主對角元全為1,且其特征值全是非負數(shù)，證明：|A|41.

\V/〃x〃II

證明設(shè)A的〃個特征值是4,4，…",，則

i=li=l

又44"2…4?-~(A+4-1—1■4])，

n

??.同二人辦…兒=々4%…%)4=i"=i.

\nr=lJ

例2設(shè)〃階實矩陣A的特征值全是實數(shù)，并且A的所有1階主子式之和、所有2階主

子式之和全是0,證明:A"=0.

證明有特征多項式性質(zhì)(3)

|2E-A|=Z-a.X'-'+的齊-…+(-］嚴(yán)

其中火是A的所有，階主子式之和.結(jié)合已知有為=0=。2-

設(shè)A的〃個特征值是4,%，…，4,由根與系數(shù)的關(guān)系，有為=名4，?2=X44，

/=1l<i<j<n

所以￡下=(‘4)2-2Z44=a；_2%=0.

i=li=l14i<j"

而4,4,…,4全是實數(shù)，可得％=4=…=4=o.于是A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形形如：

’00???0、

*0:

'=一.,..0'

、*…*0,

即存在可逆矩陣P,使A=pT〃\所以A"=pTj"P=pT()P=0(?.??/"=()).

例3A是〃階實矩陣，如果對任意〃維實列向量X，恒有XAX>0,證明：|A|>0.

注：當(dāng)A對稱時，A即為正定矩陣.

證明先證明：A的任意一個特征值的實部大于0.

設(shè)幾=。+萬是A的?個特征值，a是屬于2的特征向量，則Aa=/la.

用萬和/分別表示a分量的實部和虛部系數(shù)構(gòu)成的列向量，則a=，+iy(注：都

是實列向量).于是4,+iy)=(a+4)(￡+沙)，比較等號兩端的實部和虛部得

AJ3=a(3-by,Ay=ay+b/3.

用"，/分別左乘.匕兩式得

B'Af3=破0-b/3'y=破/3-by'f3,yAry=ay'y+by'P,

兩式相加得P'AP+y'Ay=〃(/萬+力).

由已知夕4〃>0,74/>0,又夕“至少有一個不等于0(???aw0),所以

+7，>0,從而有a>0.

—是實系數(shù)多項式，的特征值成對出現(xiàn).設(shè)4=。+4，4=。一方為A的

特征值，則4%=/+/>0(va>0).由于|A|等于A的特征值之乘積，而A的實特

征值全大于0,每?對共甄的復(fù)特征值的乘積大于0,故|A|〉O.

6.2特征多項式的降階定理

定理1設(shè)4,3分別是〃?x〃和〃xm矩陣，m>n,則

n

|2Em-AB\=r-\XEn-BA\.

E0、

證明設(shè)秩A=r,則存在m階可逆矩陣P和〃階可逆矩陣。，使PAQ=r

00,

令。-男人=2之］(其中與為「'廠矩陣)，則

3B_J

OVfi,伊

PABP-'=(PAQ)(Q-'BP-')=ojN

3,0oj

BiB2>(Er0］」B］0、

Q-'BAQ=(Q-'BP-')(PAQ)14乩八。。「N°,

因為相似矩陣有相同的特征多項式，所以

,,I.I(B,A.Er~B,~.

|殂-A3卜k&-PABpT卜陽"-'_=nJ=獷［犯—圖,

..,,?(B,0"|AE-B.0..

四,一網(wǎng)=四「如必。卜羽-［星.卜:B、流二h1狙_閔.

當(dāng)2=0時，由上兩式得

\AEm-AB|=0,\AEn-BA|=0,顯然\ZEm-AB\=產(chǎn)"阻-BA\.

當(dāng)4ko時，由上兩式得

+,nr

X'\AEm-AB\=X'-\AEr-B,|=r\AE?-BA\,

所以阻-AB\=尸陽-BA|

推論1設(shè)A,B分別是機x〃和〃x〃?矩陣，則AB與84的非零特征值相同.

推論2設(shè)A,8是同階方陣，則A8與54有相同的特征多項式，從而有相同的特征值

和跡.

例4A是〃階可逆矩陣，a,￡是〃維非零列向量，證明：|/L4-矽［的根是0（n-1

重）和夕4%.

證明由行列式的乘法規(guī)則及特征多項式降階定理

-必=|川四,_（A"）夕卜郎1（2-夕年勿），

可見膽-a0的根是0（〃-1重）和必Ta.

在例4中，取4=紇，則有勾夕有〃—1個特征根是0,另一個特征根是夕a.例如,

向7X/\

'aaxb2a/“a{

a2blab2cirba,/

2=.（仇為???切x），則A有〃—1個特征根是0,另

...

1%,

、明々a也

一個特征根是（db2

'01

10

例5求〃階矩陣4=的特征值及行列式.

,110>

’111]（1

..11=\pE-aa'\,其中〃=2+1,a=1

解v|/lE-?l|=（Z+l）E-

,11

由以上討論|〃￡一二。'|的根是4=0（〃一1重）和〃=a'a=”.于是A的特征值中

有”—1個滿足2+1=0,另一個滿足4+1=〃.所以A的特征值為4=-=4i=T和

2?=n-1.又間=44…4,=（一1嚴(yán)（〃T）?

對秩為r的n階方陣A,設(shè)A=是他的滿秩分解，利用特征多項式降階定理

r

|2￡一A|=\XEn-”4=^-\AEr-LH\

可見0一定是秩為r的n階方陣(r<n)的特征值，且其重數(shù)為n-r(注：因為LH是秩

為r的廠階方陣，故可逆，所以它的特征值均不為0).

例6設(shè)C是〃階方陣，如果矩陣方程AX-X4=C有解，則行。=0.

注：由此例可知，當(dāng)。的跡不為零時，AX-XA=C無解.

證明因為AX—X4=C有解，所以存在矩陣8,使AB—8A=C.于是

trC=tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA),有推論2,tr(AB)=tr(BA),所以frC=O.

特征多項式是一種特殊的行列式，有時也要借助行列式的性質(zhì)進行計算.

/

a-b-c-d、

ha-dc

例7設(shè)是實數(shù)，求4階矩陣A=,,的特征值.

Caa-b

、d-cbaj

解?/|2￡-A|2=|2E-A||(/LE-A)[=|(2￡-A)(2E-A)[

%一。bcd、，丸—a-b-c.d

-bA-ad-cbA-a-dc

-c-clA-ClbcdA-a一b

、一dc-h4-a)、d-cbA-a

^000

=尸，其中5=(/1—。)2+。2+〃2.

0030

000b

|AE-A|=±^2,但是plE—A|的首項系數(shù)為1,所以

—A|=U=[(2-a)2+b2+c2+d2]2=(Z2-2aA+a2+b2+c2+d2)2,

而萬—2。4+。2+/>2+。2+12=。的根為

2a+J4a~-4(a~+b+c~+d~)ri---;---7

2=--------------------------^a±iylb-+c+d-,所以A的特征值為

2

222222

A]=A.2=a+iyjb+c+d,=a—i^Jb+c+d.

6.3特征值的區(qū)域估計

要求出一個〃階方陣的特征值，一般來說是非常困難的，有時甚至是不可能的.另一方

面，在工程技術(shù)或理論研究的許多問題中，往往只要知道特征值的近似值，甚至只要知道特

征值所在的區(qū)域（復(fù)平面上的區(qū)域）就足夠了.因此，研究特征值的近似求法或估計特征值

所在的區(qū)域就是非常有意義的工作了.本節(jié)就對特征值所在區(qū)域的估計問題作簡單介紹.關(guān)

于這個問題，最經(jīng)典的結(jié)果要算蓋爾許戈林（蘇）的圓盤定理了，在介紹這一定理之前，先

做一些準(zhǔn)備工作.

一、對角占優(yōu)矩陣

對”階方陣A=“,令E=Z|%|'Qi^H\au\7=1,2,-,n.

詞

六1

注：《（處）即A的第，行（/列）中除主:對角元之外的其它元素的絕對值之和.

如果=Ei=則稱A為行對角占優(yōu)矩陣；

網(wǎng)

六1

如果㈤>Z同=《i=l,2,……則稱A為嚴(yán)格行對角占優(yōu)矩陣；

j=i

如果卜/2支同=0i=l,2,-,n,則稱A為列對角占優(yōu)矩陣；

曾

如果%,i=l,2,…，〃，則稱A為嚴(yán)格列對角占優(yōu)矩陣.

i司

1=1

行對角占優(yōu)矩陣和列對角占優(yōu)矩陣統(tǒng)稱為對角占優(yōu)矩陣；嚴(yán)格行對角占優(yōu)矩陣和嚴(yán)格列

對角占優(yōu)矩陣統(tǒng)稱為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.

定理2嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣必為非奇異的.

證明以嚴(yán)格行對角占優(yōu)矩陣為例證明.

設(shè)A=（即）為嚴(yán)格行對角占優(yōu)矩陣，如果A為奇異的，則齊次線性方程組Ax=0有

\V/nx/i

非零解x=:*0.設(shè)同=maxkbM，…，上』｝，顯然同>0.

/、

修

將x=；代入Ax=0的第r個方程得

aHx,+---+arr_lxr_l+arrxr+arr+lxr+l+---+arnxn=0

由此得kJk」=*xJ=|一（a“X]+…+。療_/一|+%，+|X,+i+---+arnx?）\

-EK；kl-kEKI=klp，＞從而推出*l",，與定理條件矛盾?！?/p>

j=l六】

)4加

二、特征值的區(qū)域估計

定理3(6€/801411,1931)設(shè)4=(%),,則A的特征值都落在復(fù)平面上的〃個圓盤

。,(4)=傣-％|＜耳}i=1,2,--,n

的并集(jO,(A)上.(3(A)稱為由A確定的蓋氏圓盤)

/=1

證明對A的任一特征值乙，有%E-A|=0,根據(jù)定理2,4/-A一定不是嚴(yán)格

對角占優(yōu)矩陣，即必存在一個主對角元%一%,使

|%-%|<為%|=3

這表明為e2(A)u[j0(A).|

/=1

注意定理3只說明A的〃個特征值一-定落在〃個圓盤的并集上，并不能保證每個

圓盤都含有A的特征值.例如：

矩陣4=(-4-10］的特征值為1士而，他們都包含在圓盤Q(A)={z|z+4|wl0}

16J

匕而圓盤02(A)=上上一6K1}上則不含有A的特征值.

值得注意的是，此例中的兩個蓋氏圓盤3(A)與。2缶)是相交區(qū)域，因此構(gòu)成了復(fù)平

面上的一個連通區(qū)域.于是自然會想到：如果A的〃個蓋氏圓盤的并集構(gòu)成復(fù)平面上的〃個

互不相交的連通區(qū)域，是否每個連通區(qū)域都含有A的特征值？下邊的定理回答了這個問題.

定理4(Gersgorin,1931)設(shè)A=(%)“*“的〃個蓋氏圓盤中有s個圓盤構(gòu)成了復(fù)平面上的

一個連通區(qū)域G,且A的其余個圓盤與G都不相交，則G中有且僅有A的，個特征

值.

證明令A(yù)=B+C,其中

???

0…0、'0ai24“'

?.

0a22,?fl2l0

B二,C=

0a,I”

、0???0???>、見“???。J

作參數(shù)矩陣AQ)=8+C,則A(0)=6,4⑴=A.當(dāng)f由0變到1時，A⑺由B變到

A.另外，B的幾個蓋氏圓盤為：

。(8)=Hz—%|wo}={z|z=%}/=1,2,…，〃,

可見8的〃個蓋氏圓盤恰是A的"個蓋氏圓盤的圓心.

對任意的f(0<f<l),A(f)的蓋氏圓盤為

0"(。］=上1一%卬(￡同)}u{z|z-a?J<Z同}=3(A)i=1,2,,

、片i，j=lJj/i，j=l,

即：AQ)的每個蓋氏圓盤都落在A的一個相應(yīng)的蓋氏圓盤之內(nèi)，且都以%3=1,2,…，")

為圓心.

現(xiàn)在考慮A")的任一特征值4(f),他顯然是t的連續(xù)函數(shù)，所以當(dāng)f由。變到1時，

4(f)在復(fù)平面上由圓心如出發(fā)畫出一條連續(xù)曲線.于是當(dāng)f由0變到1時，4。)的〃個特

征值4(f),4(f),…,4(f)在復(fù)平面上分別由各自的圓心心,出2,…，明”出發(fā)畫出〃條連續(xù)

曲線，且曲線的終點為A的〃個特征值4,4,…,4,?(參看下邊的示意圖)

下邊證明：這〃條連續(xù)曲線的每?條，要么全落在G上，要么全落在A的其余個

圓盤的并集上.

否則，這〃條曲線中必有一條4(。既落在G上，又落在其余〃-s個圓盤的并集上.山

于G與這"—S個圓盤的并集不相交，而4(f)連續(xù)，所以4⑺上必有一點4(%)

(0<Z0<1),它落在A的"個圓盤之外(參看下述示意圖).但是4(%)是AQo)的特征

值，由前面所述，他應(yīng)落在A。。）的"個圓盤的并集之上，從而落在A的〃個圓盤之并集上,

得矛盾.

根據(jù)以上證明的結(jié)果即得，山G的s個圓盤的圓心出發(fā)的連續(xù)曲線，當(dāng)fe[0,1]時，應(yīng)

全部落在G上，所以G上至少有A的s個特征值.類似地可以證明，A的其余n-s個圓

盤上至少含有A的〃-s個特征值，總之G〃個圓盤上恰有A的s個特征值.■

推論1如果〃階方陣A的〃個蓋氏圓盤兩兩不相交，則每個圓盤上恰含A的一個特征

值，從而A有〃個不同的特征值.

推論2如果〃階實方陣A的〃個蓋氏圓盤兩兩不相交，則A的特征值為實數(shù).

證明因為A的特征多項式是實系數(shù)多項式，所以A的特征值要么是實數(shù)，要么是成對

出現(xiàn)的共施復(fù)數(shù).如果有一對共輒復(fù)數(shù)a和是A的特征值（a=2）,不妨設(shè)a位于復(fù)

平面的上半平面，則2必位于下半平面，且a與￡關(guān)于實軸對稱.

由定理3,a必落在A的某個蓋氏圓盤4（4）={#一”,。歸紇}上.因為此圓盤的圓

心。帆是實數(shù)A是實矩陣），即圓心在實軸上，因此圓盤，。（A）關(guān)于實軸對稱，所以a

關(guān)于實軸的對稱點￡也落在°（A）中.但因為A的〃個蓋氏圓盤兩兩不相交，山推論1,

A的每個圓盤上恰含A的一個特征值，得矛盾.■

注意：矩陣的特征值有可能落在其蓋氏圓盤的邊界上.例如：

,1100、

1100（）

矩陣A=00]]的四個蓋氏圓盤重合，均為上上一1|41），它是一個以（1,0）為

、0011,

圓心，以1為半徑的圓.易求得4的四個特征值是4=%=0,4=4=2,顯然他們

都落在4的蓋氏圓盤的邊界上.

有了以上討論，我們可以從另一個角度來分析理解蓋氏圓盤定理：在復(fù)平面上畫出各蓋

氏圓盤的中心點。”,。22,…，*“，A的任一個特征值乙與離它最近的中心點為,?間的距離

不超過￡,而且這個最大距離有時可以達到.因而有理山認(rèn)為，如果不改變圓盤中心點的

取法，便不可能對蓋氏圓盤定理做出實質(zhì)上的改進.這為此一問題的進一步研究指出了一條

思路.

6.4Hamilton-Cayley定理的應(yīng)用

Hamilton-Cayley定理在理論和計算方法上的作用從下述例子中可見斑.

"1ab、

例8設(shè)A=0。c，其中。力,。是任意復(fù)數(shù)，。是三次單位根，求400及7T.

、00%

解A的特征多項式為/(乃=(4—1)(4—0)(丸—蘇)=矛一1,由Hamilton-Cayley

定理，0=/(A)=A3-E,得A3=E,所以A"=A2,又

A'00=(Ai)33A=E33A=A.

例9當(dāng)〃階方陣A可逆時，證明：Ai必可以表示成A的〃-1次多項式.

證明4的特征多項式為-A|=元,一/兄1+…+(-!)?->氏4+(_1)?*其中

an=|A|0.由Hamilton-Cayley定理

-1n

A"_%A'T+-??+(-I)"an_xA+(-l)a?E=0

由此得，，)G4"T_qA_2+...+(_］產(chǎn)％⑷A=E,所以

%

4T=eil(A"T_邛"-2+…+(_］尸明⑸,

an

可見人7是A的”-1次多項式(上式首相系數(shù)不為0).

401、

例10設(shè)4=0-12，計算2A8+A’-7A6—A5+5A4—A3+A2-4A+3E.

、。io>

解A的特征多項式為八為二萬-3/1+2.

由Hamilton-Cayley定理，A3-371+2E1=0.由帶余除法

228+27-726-25+524-Z3+22-42+3

=(23-3Z+2)(2/l5+A4-A3+1)+(22-2+1),

所以248+4-7屋一A5+5A4-A3+A2-44+3E

3432

(A-3A+2E)(2A$+A-A+E)+(A-A+E)

‘312、

=A2-A+E=030.

、003,

’100、

例11設(shè)力=101,證明：A"^An-2+A2-E(n>3),并求川°°°.

、。io,

解A.的特征多項式為f(2)=A3—A2—A+l.由Hamilton-Cayley定理，

A3-A2-A+E=0,得屋孑+人一石.

可見當(dāng)〃=3時，結(jié)論成立.

假設(shè)A"T=4"3+42一七成立，貝|J

4"=『A=(A7,-3+1-E)A=A'-2+-A

An-2+(A2+A-E)-AA1'-2+A2-E.由歸納原理，等式成立.

反復(fù)利用A"^A-2+A2-E,有

99629942

Aiooo=4998+42一E=A+2(A-￡)=A+3(A-￡)

‘100、

=……=A2+499(A2-E)=500A2-499E=50010.

、50001,

例12設(shè)4=@匕，記g(/L)=，plE+A|—|/IE—川)，證明：如果g(A)非奇異,

'A+aE

[{anE-■%』、

a2\^A4-aE-aE

則〃2階矩陣G=22?in也非奇異.

<**?A+an?E,

y的代數(shù)余子式為A(2)(這里%=1°if,

證明設(shè)|花+川的(i,/)元+a

1i=i

記〃/l)=plE+A|.由行列式按一列展開公式，有

白(7(㈤j=k

2(/13+%)/*(乃={.=匹./(為(j,k=1,2,???.n),

/=1[U/Wk

于是￡(A%+4E)￡*(A)=bj"(A)(),k=1,2,….凡).

i=\

將上式用分塊矩陣的乘積表達，即

aE

%⑷…/,I1(A)YA+?11￡anE\n

九(A)/22(A)???/02(A)a”EA+aEE

22a2n

J“(A)%⑷…九(A)人an]Ean2E4+%，E

'/⑷、

/(A)

、/(電

兩邊取行列式得h(A))"J|G|=|/(A)|\由此可見，若能證明/(A)非奇異，則G非

奇異.

令/?(A)=\XE—川，由Hamilton-Cayley定理，h(A)=0.由g(4)=；[/(丸)-/?(2)]可

得/(/l)=2g(/l)+力(外，所以/(A)=2g(A)+/i(A)=2g(A)^0(;g(4)非奇異),即

/(A)非奇異，從而G非奇異.

應(yīng)用Hamilton-Cayley定理可得下述求特征多項式的克雷洛夫(蘇1863—1945)方法：

對〃階方陣A,若存在九維列向量a,使(A"-%...人。a)非奇異，取

'瓦、

“=_仙1二An~2a…Aaa)'A"a

色,

則A的特征多項式為\AE—A|=2'+仇兄-+???+5_/+bn.

l

以下是此結(jié)果的證明:設(shè)A的特征多項式為/(2)=+b^-+-+bn_xk+bn.

nl

由Hamilton-Cayley定理/(A)=A"+b[A~T---f-bn_}A+hnE=0,

,lnl

兩邊右乘a得Aa+h}A~a+…+/?〃_】Aa+/?〃a=0,

nln

由此得b}A~aH--\-hn_}Aa+hna=-Aa,

'瓦、

即A"-2a…Aaa)%=-A"a,

也)

由于(A"T&A"-2a…Aaa)可逆，所以

3、

"z__^A"~'aA"~2a???Aaa)'A"a.

3，”

第七章方陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型

7.1基本概念與基本結(jié)論

本節(jié)討論在某固定數(shù)域P上進行.

A,8是數(shù)域尸上的〃階方陣，若存在P上的可逆矩陣T,使TTAT=B,則稱4,B在

數(shù)域尸上相似.

討論矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形問題的一個重要思路是利用其特征矩陣的等價，溝通兩者的橋梁

是下邊熟知的定理.

定理1數(shù)字矩陣4與8相似o/lE—A與/IE—8等價.

欲利用此定理研究數(shù)字矩陣相似的問題，就必須對4-矩陣的等價有足夠的認(rèn)識，所以

先介紹/I-矩陣的相關(guān)知識.

以數(shù)域P上丸的多項式為元素的矩陣叫;I-矩陣.

/I-矩陣的相等、加法、乘法、數(shù)乘以及〃x〃％-矩陣的行列式等概念與數(shù)字矩陣的相應(yīng)

概念相仿，而且有完全相同的性質(zhì)和運算規(guī)律.

/I-矩陣的秩

若2-矩陣A(2)有一個r階子式不為0,而所有的r+1階子式全為0，則稱A(A)的秩

為r.零矩陣的秩位0.

注：數(shù)字矩陣的秩與該矩陣的許多性質(zhì)本質(zhì)地聯(lián)系在一起，如：秩相同則等價：滿秩則可逆.相比之

下，對于4-矩陣來說，秩的作用就弱得多，兩個4-矩陣秩相同未必等價；滿秩也未必可逆.4-矩陣與

數(shù)字矩陣的差別主要是由于P[A]中除法不是普遍可行所引起的.

對任意〃階方陣A,秩(花一4)=〃.(v|2E-A|*O)

可逆幾-矩陣

對〃x刀4-矩陣44)，若存在2-矩陣8(/1),使4/l?(/l)=8(/l)A(/l)=E,則稱

A(4)可逆,8(4)叫做A(4)的逆矩陣,記為4+(4).

可逆的等價命題：

對〃xn4-矩陣4(為下述命題等價

(1)4/)可逆；

(2)|4丸)|是非零常數(shù)；

(3)4九)與E等價；

(4)A(/l)可表成初等X-矩陣的乘積.

當(dāng)A(/l)可逆時，47(/1)=1二4*(/1)(A*(/l)是4/L)的伴隨矩陣).

|A(2)|

4-矩陣的初等變換和初等Z-矩陣

1、初等變換

以下三種變換稱為力_矩陣的初等行(列)變換：

(1)交換兩行(列)的位置；

(2)某以行(列)乘以非零常數(shù)；

(3)將某以行(列)的磯㈤倍加于另以行(列).

注：為保證變換的可逆性，第2種初等變換必須用非零常數(shù)去乘.

2、初等4-矩陣

單位矩陣E經(jīng)過一次4-矩陣的初等變換所得到的矩陣叫初等丸-矩陣.

/I-矩陣的初等變換與初等4-矩陣之間的關(guān)系與數(shù)字矩陣的相應(yīng)關(guān)系類似.

/I-矩陣的等價和標(biāo)準(zhǔn)形

1、4-矩陣的等價

若4(4)可以經(jīng)過初等變換化為5(4),則稱4(4)與8(4)等價.

X一矩陣等價的等價命題：

(I)A(/l)與3(/1)等價；

(2)8(/l)=P「?記A(/l)Q「-Q,其中，Q,是初等九一矩陣；

(3)5(2)=,其中一(2),0(%)可逆;

(4)A(2)與B(2)有相同的行列式因子；

(5)71(/1)與B(為有相同的不變因子；

(6)A(2)與B(2)有相同的秩和相同的初等因子.

注：對〃階數(shù)字矩陣A和8,由于秩(2E—A)=九=秩(4E—8),所以⑴=⑹就簡化

成：2E-A與/IE-8等價=他們有相同的初等因子.

2、標(biāo)準(zhǔn)形

任意一個非零的/I-矩陣A(2)等價于形如

’4(0'

d2W

drw

0

、0,

的4一矩陣，其中4(/1)的首相系數(shù)為1,且4。)14中(/1)/=1次矩陣叫做

4(2)的標(biāo)準(zhǔn)形.

幾-矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子

行列式因子

設(shè)秩A(/l)=r,對滿足14kWr的正整數(shù)左，A(/l)中所有不為0的左階子式的首項

系數(shù)為1的最大公因式叫做4(4)的左階行列式因子.

秩為r的2-矩陣共有r個行列式因子：3(㈤,2(㈤，…，2(㈤?

不變因子

A(A)標(biāo)準(zhǔn)形主對角線上的非零元叫A(2)的不變因子.

秩為r的，-矩陣共有r個不變因子:4(70,4(4),…,4(乃?

初等因子

將4-矩陣4/1)的不變因子分解為互不相同的(數(shù)域P上的)不可約因式方幕的乘積，

所有這些不可約因式方幕叫4(2)的初等因子.

注：高等代數(shù)課本上初等因子的概念只是針對AE-A這種特殊的A-矩陣定義的.

對〃階數(shù)字方陣A,把他的特征矩陣/IE-A的行列式因子、不變因子和初等因子分別

叫做A的行列式因子、不變因子和初等因子.

上三種因子之間的性質(zhì)和關(guān)系：

(1)。(丸)=4(丸雙(團…4(丸)'=1,2,???,r:

或4(4)=3。),40)=^^i=2,3,…，r.

2T(4)

(2)同一個不可約因式方嘉的初等因子中，次數(shù)最高的必出現(xiàn)在最后一個不變因子

乙(團中，次數(shù)次高的必出現(xiàn)在(㈤中，以此類推.

(3)所有初等因子的乘積等于所有不變因子的乘積等于最后一個行列式因子.特別地，

對?〃階數(shù)字方陣A,由于。,(乃=|/1后-川，所以A的所有初等因子的乘積、所有不變因

子的乘積都等于4的特征多項式.由此可知，”階數(shù)字方陣的所有初等因子的次數(shù)之和等

于所有不變因子的次數(shù)之和等于〃.

利用定理1及以上討論可得

定理2〃階數(shù)字方陣A與B相似=A與B有相同的行列式因子=A與8有相同

的不變因子OA與8有相同的初等因子.

7.2矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形

從?般意義上講，矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形問題就是尋找一種與〃階方陣相似的并且具有某種

特殊形狀的矩陣的問題，這個問題有著十分重要的理論和實際意義.定理2為解決這個問題

提供了一種方法：

對?個〃階方陣A,設(shè)其次數(shù)大于0的不變因子為4(4),4(團,…，認(rèn)(團(注：〃階

方陣共有〃個不變因子，所以A還有〃-s個不變因子是1),他們次數(shù)分別是〃1,々，…，〃*，

則如果對每一個4(丸)，能設(shè)計出一個〃，階方陣4，使4的不變因子為

i=l

1,???,1,<(2)(i=l,2,…,s),利用A,構(gòu)造分塊對角矩陣

4-1

I

容易證明QB的不變因子恰是4，42,…,A的不變因子的全體，即：

1,1,???,1,d^),da),---,dW-

\V__/2s

n-s

可見8與A有相同的不變因子，所以他們相似.這樣就設(shè)計構(gòu)造出了A的一種形式的標(biāo)準(zhǔn)

形3.

同樣的思路用于初等因子就是：

設(shè)”階方陣A的初等因子是1(2),%(㈤，…，見(㈤，其次數(shù)分別是〃”〃2,…，為，則

=n.如果對每一個/（/I）,能設(shè)計出一個〃”介方陣A,,使A,的初等因子為名（團，

/=1

利用A,4,A構(gòu)造分塊對角矩陣

’4、

A

C=2

、4,

容易證明②：c的初等因子恰是A”A2,…,4的初等因子的全體，即：

%（/1）,%（乃，…,/（為.

可見C與4有相同的初等因子，所以他們相似.這樣就設(shè)計構(gòu)造出了A的另一種形式的標(biāo)

準(zhǔn)形C.

Frobenius標(biāo)準(zhǔn)形和Jordan標(biāo)準(zhǔn)