專題1平面向量的概念及其線性運算精講原卷版

專題6.1 平面向量的概念及其線性運算【考綱要求】.平面向量的實際背景及基本概念：理解平面向量及幾何意義，理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角的概念..向量的線性運算：掌握向量加法、減法、數(shù)乘的概念，并理解其幾何意義.本節(jié)涉及所有的數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等【知識清單】知識點1.向量的概念.向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模..零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的..單位向量：長度等于1個單位的向量..平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線..相等向量：長度相等且方向相同的向量..相反向量：長度相等且方向相反的向量.知識點2.平面向量的線性運算一.向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算巴a三角形法則a平行四邊形法則(1)交換律：a+b=b+a；(2)結合律：(a+b)+c=a+(b^c)減法求a與b的相反向量—b的和的運算叫做a與b的差2ya三角形法則\二.向量的數(shù)乘運算及其幾何意義.定義：實數(shù)力與向量0的積是一個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作相，它的長度與方向規(guī)定如下:①|加=|川|a|；②當丸＞0時，丸a的方向與a的方向相同；當丸＜0時，丸a的方向與a的方向相反；當丸=0時，丸a=0..運算律：設A,^是兩個實數(shù)，則：

②(②(九+旦)a='a+旦a③X(a^b)=^a+入b.知識點3.共線向量共線向量定理：向量比"0）與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)九使得b=居.【考點梳理】考點一向量的有關概念【典例1】（2020?新泰市第二中學高一期中）下列命題中正確的個數(shù)有（）①向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.A.0 B.1 C.2 D.3【典例2】（2020?衡水市第十四中學高一月考）下列說法錯誤的是（）a.向量6r的長度與向量AO的長度相等B.零向量與任意非零向量平行C.長度相等方向相反的向量共線 D.方向相反的向量可能相等【易錯提醒】1.有關平面向量概念的注意點⑴相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.⑵共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.⑶向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混淆.（4）兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點和終點.⑸零向量和單位向量是兩個特殊的向量.它們的模確定，但方向不確定.【變式探究】1,給出下列命題：①兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；②若AB,C,D是不共線的四點，則AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a與b同向，且|a|>|b|,則a>b；④入,為實數(shù)，若"=〃b，則a與b共線.其中假命題的個數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.4（2019?重慶高二期末）下列命題中，正確的個數(shù)是（）①單位向量都相等；②模相等的兩個平行向量是相等向量；③若a,b滿足同>b且a與b同向，則a>b；④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；⑤若a〃b,b//。，則a〃c.人?0個 B.1個 0.2個 D.3個【總結提升】,、,_,.一》a-一a一”. a 一〉 （1）非零向量a與E的關系：刀是與a同方向的單位向量，一|「是與a反方向的單位向量.⑵兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小.⑶兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件.（4）幾個重要結論①向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性;②向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.考點二平面向量的線性運算【典例3】（2020?湖南衡陽?三模（文））在平行四邊形ABCD中，若CE=4ED，則BE=（）a—3Ab+Ad b4Ab-Ad c-Ab+4AD d-4Ab+AdTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".4 B5 C, 5 D. 5【典例4】（2018年新課標I卷理）在△48。中，AD為BC邊上的中線，E為4。的中點，則EB=（ ）A.348-14。B.148-34。4 4 4 4C.3AB+14。D.148+34。4 4 4 4【規(guī)律方法】.常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則..找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解.【變式探究】（2018?廣東高三會考）如圖，o是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，則下列等式正確的是I1B CA.DA-DC=AC b,DA+DC=DOC.OA-OB+AD=DB d,AO+OB+BC=AC(2019?廣東高考模擬(理))已知A,B,C三點不共線，且點O滿足16OA-12OB-3OC二。，則( )a.OA=12AB+3AC b.OA=12Ab-3AcC.OA=-12Ab+3AC D.OA=-12AB-3Ac【總結提升】平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解.(2)含圖形的情況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解.考點三利用向量線性運算求參數(shù)【典例5(2020?全國高一課時練習)已知X,y是實數(shù),向量W,b不共線，若(%+y-1)a+(%-y)b=0,則％=,y=.【典例6】(2020?三亞華僑學校高一開學考試)已知四邊形ABCD為正方形，BP=3CP,AP與CD交于點E，若PE=mPC+nPD，則m-n=.【總結提升】利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路⑴沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置.⑵利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉化，轉化為要求的向量形式.⑶比較、觀察可知所求.【變式探究】

1.（2019?山東高考模擬（文））在正方形ABCD中，E為DC的中點，若AE=九AB+四AC，則九十N的值為（）A.1BA.1B.2D.12.（2019?北京高考模擬（文））設E為，ABC的邊AC的中點，BE=mAB+nAC，則m，n的值分別為（）2.A.-1，22,A.-1，22,-1-2，1d1，2考點四共線向量及其應用【典例7】設兩個非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),求證：A,B,口三點共線;⑵試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.【典例8】（2020?上海高三專題練習）設￡,b是不共線的兩個向量，已知AB=2a+kb,BC=a+b,CD=a—2b若A、B、D三點共線，求k的值.【規(guī)律方法】1.平面向量共線定理的三個應用證明向量共線對于非零向量q,伍若存在實效人使a=Ab,則口與辦共線證明三點共線若存在實數(shù)九使％至=4就.施與就有公共點A,則三點共線求參數(shù)的值利用向量共線定理及向量相等的條件列方程（組）求參數(shù)的值2.求解向量共線問題的注意事項⑴向量共線的充票條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定⑴向量共線的充票條件中，當兩向量共線時，系數(shù)法和方程思想的運用.⑵證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線⑵證明三點共線問題，可用向量共線來解決，且有公共點時，才能得到三點共線.⑶直線的向量式參數(shù)方程：A,P,⑶直線的向量式參數(shù)方程：A,P,8三點共線OP=(1—t)?OA+tOB(O為平面內(nèi)任一點,t￡R).【變式探究】.設卷3是不共線的兩個向量，已知前=五+2江瓦^袤一跖，麗=-五+2譏則()A. 4、B、。三點共線 B. B、C、。三點共線C. 4、B、^三點共線 D. 4、C、。三點共線2.已知A,B,P三點共線，O為