高分突破智取壓軸小題04 多元問題的最值問題

15/16多元問題的最值問題一、方法綜述多元函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要概念之一，但隨著新課程的改革，高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)知識的銜接，多元函數(shù)的值域與最值及其衍生問題在高考試題中頻頻出現(xiàn)，因其技巧性強、難度大、方法多、靈活多變而具有挑戰(zhàn)性，成為最值求解中的難點和熱點。解決問題的常見方法有：導(dǎo)數(shù)法、消元法、均值不等式法（“1”代換）、換元法（整體換元三角換元）、數(shù)形結(jié)合法、柯西不等式法、向量法等。二、解題策略類型一導(dǎo)數(shù)法例1．已知函數(shù)，且對于任意的，恒成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】的定義域為，，∴為奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，∴，∴，又，則，，∴恒成立；設(shè)，則，當(dāng)時，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，的最大值為從負數(shù)無限接近于，，∴，，故選：B.【舉一反三】【2020·浙江學(xué)軍中學(xué)高考模擬】）已知不等式對任意實數(shù)恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】原不等式可以化為，設(shè)f(x)=,所以，所以只有a+4>0，才能有恒成立.此時,設(shè)g(x)=，所以所以故選A類型二消元法例2．已知實數(shù)，，滿足，，則的最小值是（）A． B． C． D．【來源】中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2021年3月測試理科數(shù)學(xué)（一卷）試卷【答案】B【解析】由，可得，，由可得所以，由可得即，解得，所以，令，，由可得，由可得或，，，，，所以的最小值為，即的最小值為.故選：B.【舉一反三】【2020重慶高考一模】若實數(shù)a，b，c滿足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，則c的最大值是．【答案】2﹣log23【解析】分析：由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范圍，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表達，利用不等式的性質(zhì)求范圍即可．解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因為t≥4，所以，即，所以故答案為2﹣log23類型三基本不等式法例3．【2020宜昌高考模擬】已知變量滿足，若目標(biāo)函數(shù)取到最大值，則函數(shù)的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】試題分析：因為（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）,所以.則,記,則在上單調(diào)遞增,所以,應(yīng)選D.【易錯點晴】本題以線性規(guī)劃的知識為背景考查的是函數(shù)的最小值的求法問題.求解時充分利用題設(shè)中所提供的有效信息,對線性約束條件進行了巧妙合理的運用,使得本題巧妙獲解.解答本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)中的參數(shù)的值.本題的解答方法是巧妙運用待定系數(shù)法和不等式的可加性,將線性約束條件進行了合理的運用,避免了數(shù)形結(jié)合過程的煩惱,直接求出的最大值,確定了參數(shù)的值.【舉一反三】【2019湖南五市十校12月聯(lián)考】已知正實數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正實數(shù)，，滿足，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最大值，又因為，所以此時，所以，故最大值為1【解題秘籍】在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子特征靈活變形，然后再利用基本不等式，要注意條件：一正二定三相等．【2020·陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高考模擬】已知函數(shù)，若當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若當(dāng)時，恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，設(shè)t=ex，（t＞1），則m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時等號成立，∴m≤﹣．故選B．類型四換元法例4．【2020浙江高考模擬】已知，則的最大值是__________．【答案】【解析】∵∴令，則.∵∴，∴又∵在上為單調(diào)遞增,∴∴的最大值是，故答案為.【點睛】解答本題的關(guān)鍵是將等式化簡到，再通過換元將其形式進行等價轉(zhuǎn)化，最后運用對勾函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最值，從而使得問題獲解.形如的函數(shù)稱為對勾函數(shù)，其單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為，.【舉一反三】【2020阜陽市三中調(diào)研】已知實數(shù)滿足,則有（）A．最小值和最大值1B．最小值和最大值1C．最小值和最大值D．最小值1,無最大值【答案】B【解析】由,可設(shè),則=,故選B【2019山東濟南期末考】已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，其中，則的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象，由圖像可知：函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，即，由函數(shù)在R上單調(diào)遞減，可得：，變量分離可得：，令，則，又，∴，∴，故選B．三、強化訓(xùn)練1．已知函數(shù)對，總有，使成立，則的范圍是（）A． B． C． D．【來源】天津市第一中學(xué)2021屆高三下學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)試題【答案】B【解析】由題意可知：，成立，即，又對，，所以，又可看作與在橫坐標(biāo)相等時，縱坐標(biāo)的豎直距離，由，，可取，所以的直線方程為，設(shè)與平行且與相切于，所以，所以，所以切線為，當(dāng)與平行且與兩條直線的距離相等時，即恰好在的中間，此時與在縱坐標(biāo)的豎直距離中取得最大值中的最小值，此時，則，又因為，所以，所以，此時或或，所以的范圍是，故選：B.2．設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，.若對任意的，均有，則實數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，若對任意的，均有即為，由于,當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，又∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴等價于，即（∵）,由區(qū)間的定義可知,若，于是,即，由于的最大值為，故顯然不可能恒成立；,即,∴,即,故的最大值為,故選：B.3．已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（﹣1）＝﹣1，當(dāng)a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0時，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1對任意的t∈[﹣1，1]恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）【答案】B【解析】因為f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0時，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，所以將換為，可得，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以f（x）＜m2﹣2tm+1對任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等價于，即對任意的t∈[﹣1，1]恒成立，令，則，即，解得或，故選：B4．已知實數(shù)，不等式對任意恒成立，則的最大值是（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】令，原不等式整理得，即，∴，即，兩邊除以得：，所以，因為，故，故為增函數(shù).又，因此在上遞減，上遞增，又，，且，故.則.故選：B.5．已知函數(shù)，當(dāng)時設(shè)的最大值為，則當(dāng)取到最小值時（）A．0 B．1 C．2 D．【來源】浙江省寧波市華茂外國語學(xué)校2020屆高三下學(xué)期3月高考模擬數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】，當(dāng)時設(shè)的最大值，在端點處或最低點處取得，最小值為2，最小值為，最小值為4.5，最小值綜上可得，取到最小值時0.故選：A6．已知函數(shù)，其中，記為的最小值，則當(dāng)時，的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，因此滿足題意；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減因此⑴當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，或或⑵當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；綜上，的取值范圍為，故選：D7．函數(shù)．若存在，使得，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，，因此，可化為，即存在，使成立，由于的對稱軸為，所以，當(dāng)單調(diào)遞增，因此只要，即，解得，又因，所以，當(dāng)時，，，滿足題意，綜上，．故選：．8．若存在實數(shù)，對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】對任意，不等式恒成立，等價于不等式恒成立，等價于恒成立，等價于恒成立，等價于函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象分別位于直線的兩側(cè)在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象如圖所示，由解得,所以兩個函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)較小的交點坐標(biāo)為，由圖易得當(dāng)時，取得最大值，令，解得，所以的取值范圍為，故選：B9．已知函數(shù)的定義域為，，若存在實數(shù)，，，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的定義域為，由，解得，的定義域為，，令，，，則,當(dāng)時為增函數(shù),，，存在實數(shù),使得，即，解得故選：D10．已知函數(shù)若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當(dāng)時，不符合題意，只須考慮的情形，當(dāng)與圖象相切于時，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此時，故.故選：D11．設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．【來源】河南省鶴壁市高級中學(xué)2020屆高三下學(xué)期線上第四次模擬數(shù)學(xué)（文）試題【答案】B【解析】由已知，當(dāng)時，恒成立，可得當(dāng)時，，恒成立；當(dāng)時，，.畫出函數(shù)草圖，令，化簡得，解得，，由圖可知，當(dāng)時，不等式恒成立.故選：B.12．函數(shù)、分別是定義