高中數(shù)學(xué)排列組合

關(guān)于高中數(shù)學(xué)排列組合第1頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日一、排列與排列數(shù)第2頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日

什么是分類計數(shù)原理？

什么是分步計數(shù)原理？

應(yīng)用這兩個原理時應(yīng)注意什么問題？第3頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日排列第4頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第5頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第6頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第7頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第8頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第9頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第10頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日

排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”．“一定順序”就是與位置有關(guān)，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標(biāo)志．

根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同．1、排列定義

如果兩個排列所含的元素不完全一樣，那么就可以肯定是不同的排列；如果兩個排列所含的元素完全一樣，但擺的順序不同，那么也是不同的排列．

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.第11頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日對“n取m的一個排列”的認(rèn)識：1、元素不能重復(fù)。n個中不能重復(fù)，m個中也不能重復(fù)。2、“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個問題是否是排列問題的關(guān)鍵。3、兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。4、m＜n時的排列叫選排列，m＝n時的排列叫全排列。5、為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用“樹形圖”。第12頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日2、排列數(shù)第13頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第14頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第15頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第16頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第17頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第18頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第19頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第20頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日1.排列數(shù)公式的特點：第一個因數(shù)是n,后面每一個因數(shù)比它前面一個因數(shù)少1,最后一個因數(shù)是n－m＋1,共有m個因數(shù)．3、排列數(shù)公式第21頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例1.下列問題中哪些是排列問題？（1）10名學(xué)生中抽2名學(xué)生開會（2）10名學(xué)生中選2名做正、副組長（3）從2,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相乘（4）從2,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相除例題選講第22頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日（5）20位同學(xué)互通一次電話（6）20位同學(xué)互通一封信（7）以圓上的10個點為端點作弦（8）以圓上的10個點中的某一點為起點，作過另一個點的射線（9）有10個車站，共需要多少種車票？（10）有10個車站，共需要多少種不同的票價？第23頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第24頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第25頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日()().算步乘法計數(shù)原理進(jìn)行計只能用分,條件符合使用排列數(shù)公式的因此不,可能相同由于不同的人得到的書,中2而;屬于求排列數(shù)問題,到的書的書各人得,名同學(xué)3本送3不同的書同的書本5是從1:中兩兩個問題的區(qū)別在3例第26頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第27頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第28頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第29頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日第30頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例5.計算：（1）（2）（3）例6.解方程：例7.求證：例8.求的個位數(shù)字例9.求的值第31頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日排列及排列數(shù)公式的應(yīng)用1、排列定義一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，簡稱“n取m的一個排列”。知識回顧第32頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日2、排列數(shù)公式乘積式階乘式第33頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日能力要求1、能分清楚排列和非排列問題2、能靈活應(yīng)用排列數(shù)公式3、能用排列知識解決簡單的排列問題第34頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例題講解1、排列的判斷例1.下列問題中哪些是排列問題？若是，請用排列數(shù)公式寫出答案。（1）從高二(9)班50名同學(xué)中選出3人去參加勞動，有多少種選法？（2）從高二(9)班50名同學(xué)中選出3人去參加3項不同的勞動，有多少種選法？第35頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日（3）從0,1,2,3，…，9共10個數(shù)字中選出兩個作為元素組成集合，有多少個不同的集合？（4）從0,1,2,3，…，9共10個數(shù)字中選出兩個分別作為橫縱坐標(biāo)(x,y),有多少個不同的坐標(biāo)？第36頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日（5）5名同學(xué)爭奪3個項目的冠軍，有多少種不同的情況？（6）5名同學(xué)坐3個座位，有多少種不同的情況？（7）5名同學(xué)坐8個座位，有多少種不同的情況？第37頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日（8）中國足球甲級聯(lián)賽實雙循環(huán)賽制，每兩只球隊都要分別在主場、客場打一場，若有16支球隊，一共要打多少場比賽？（9）中國足協(xié)杯比賽實行淘汰制，兩支球隊打一場，勝者晉級，最后決出冠軍。若有16支球隊，一共要打多少場比賽？（10）中國象棋甲級聯(lián)賽實行單循環(huán)制，每兩個隊員比賽一場，最后按積分定出名次。若有16個隊員，一共要進(jìn)行多少場比賽？第38頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日2、排列數(shù)公式例2.求的值例3.解下列方程：（1）（2）第39頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日2、排列的應(yīng)用例4.用0,1,2,3,4,5共6個數(shù)字選4個組成五重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。(1)共有多少個不同的四位數(shù)；(2)共有多少個不同的四位偶數(shù)；(3)共有多少個比2041大的四位數(shù)。第40頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例5.在7名運(yùn)動員中選出4名組成接力隊參加4×100米比賽，那么甲、乙都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？第41頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例6.5人站成一排，（1）其中甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不同的排法？

（2）其中甲、乙兩人不能相鄰，有多少種不同的排法？

（3）其中甲不站排頭，有多少種不同的排法？

（4）其中甲不站排頭、乙不站排尾，有多少種不同的排法？第42頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日1.若從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，則選派的方案有多少種？2.從若干個元素中選出2個進(jìn)行排列，可得210種不同的排列，那么這些元素共有多少個？3.5個班，有5名語文老師、5名數(shù)學(xué)老師、5名英語老師，每班配一名語文老師、一名數(shù)學(xué)老師、一名英語老師，問有多少種不同的搭配方法？跟蹤練習(xí)第43頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日4.計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，那么不同的陳列方式有多少種？5.（1）將18個人排成一排，不同的排法有多少種？

（2）將18個人排成兩排，每排9人，不同的排法有多少種？

（3）將18個人排成三排，每排6人，不同的排法有多少種？第44頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日6.5名學(xué)生和1名老師照相，老師不能站排頭，也不能站排尾，共有多少種不同的站法？7.4名學(xué)生和3名老師排成一排照相，老師不能排兩端，且老師必須要排在一起的不同排法有多少種？8.停車場有7個停車位，現(xiàn)在有4輛車要停放，若要使3個空位連在一起，則停放的方法有多少種？第45頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日9.一條鐵路原有n個車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要增加例m(m>1)個車站,車票增加了62種，問原有多少個車站？10.某天要排語文，數(shù)學(xué)，英語，物理，化學(xué)，體育6節(jié)課，其中上午4節(jié)，下午2節(jié)。（1）若第1節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，有多少排法？（2）若第1節(jié)不排體育，下午不排數(shù)學(xué)，有多少排法？（3）若語文、數(shù)學(xué)排相鄰，有多少排法？第46頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日二、組合與組合數(shù)第47頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日問題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙3組合第48頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,并成一組問題二從已知的3

個不同元素中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一列.問題一排列組合有順序無順序第49頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

排列與組合的概念有什么共同點與不同點？

1、組合定義第50頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日組合定義:

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．排列定義:一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從

n

個不同元素中取出m個元素的一個排列.共同點:都要“從n個不同元素中任取m個元素”不同點:

排列與元素的順序有關(guān)—改變順序不相同，組合與元素的順序無關(guān)—無順序，或唯一順序。對“排列、組合”的認(rèn)識：第51頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日思考一:aB與Ba是相同的排列，還是相同的組合?為什么?思考二:兩個相同的排列有什么特點?兩個相同的組合呢?１）元素相同；２）元素排列順序相同.元素相同構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；構(gòu)造組合就是其中一個步驟.思考三:組合與排列有聯(lián)系嗎?第52頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例1.判斷下列問題是組合問題還是排列問題?(1)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票?有多少種不同的火車票價？組合(3)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候,共需握手多少次?組合組合組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果.排列第53頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例2.從a,b,c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合分別是:ab,ac,bc

例3.已知4個元素a,b,c,d,寫出每次取出兩個元素的所有組合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3個)(6個)第54頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日

從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.如:從a,b,c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合個數(shù)是:如:已知4個元素a、b、c、d,寫出每次取出兩個元素的所有組合個數(shù)是：注意：

是一個數(shù)，應(yīng)該把它與“組合”區(qū)別開來．2、組合數(shù)第55頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日寫出從a,b,c,d四個元素中任取三個元素的所有組合和排列，并探究二者的關(guān)系。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd探究第56頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日組合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb（三個元素的）1個組合，對應(yīng)著6個排列你發(fā)現(xiàn)了什么?第57頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日對于，我們可以按照以下步驟進(jìn)行第58頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日

排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系．

一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，可以分為以下2步：

第1步，先求出從這n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)．第2步，求每一個組合中m個元素的全排列數(shù)．根據(jù)分步計數(shù)原理，得到：因此：

這里m,n是自然數(shù)，且mn，這個公式叫做組合數(shù)公式．3、組合數(shù)公式第59頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日組合數(shù)公式:從n個不同元中取出m個元素的排列數(shù)第60頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日組合數(shù)公式:排列數(shù)公式：規(guī)定：第61頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例1.計算：⑴

⑵

例2.甲、乙、丙、丁4支足球隊舉行單循環(huán)賽，（1）列出所有各場比賽的雙方；（2）列出所有冠亞軍的可能情況.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙（1）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：（3）已知：，求n的值。第62頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例3.第63頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日3.10名學(xué)生，7人掃地，3人灑水，那么不同的分工方法有

種；1.用m、n表示2.從8名乒乓球選手中選出3名打團(tuán)體賽，共有

種不同的選法；如果這三個選手又按照不同順序安排，有

種方法.練習(xí)第64頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例1.在產(chǎn)品檢驗中，常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查.現(xiàn)有100件產(chǎn)品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件進(jìn)行檢查，根據(jù)下列各種要求，各有多少種不同的抽法？(1)無任何限制條件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.解答：（1）（2）（3）（4），或（5）（6）第65頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日1.有10道試題，從中選答8道，共有

種選法、又若其中6道必答，共有

不同的種選法.2.某班有54位同學(xué)，正、副班長各1名，現(xiàn)選派6名同學(xué)參加某科課外小組，在下列各種情況中，各有多少種不同的選法？（1）無任何限制條件；（2）正、副班長必須入選；（3）正、副班長只有一人入選；（4）正、副班長都不入選；（5）正、副班長至少有一人入選；（6）正、副班長至多有一人入選；練習(xí)第66頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例2.從數(shù)字1,2,5,7中任選兩個

有不同的英文書5本,不同的中文書7本,從中選出兩本書.(1)若其中一本為中文書,一本為英文書.

問共有多少種選法?(1)可以得到多少個不同的和?(2)可以得到多少個不同的差?(2)若不限條件,問共有多少種選法?6個12個35種66種練習(xí)第67頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例3.有12名劃船運(yùn)動員,其中3人只會劃左舷,4人只會劃右舷,其它5人既會劃左舷,又會劃右舷,現(xiàn)要從這12名運(yùn)動員中選出6人平均分在左右舷參加劃船比賽,有多少種不同的選法?有10名同學(xué)，5名會唱歌，7名會跳舞，現(xiàn)選唱歌和跳舞的各一名，有多少種選法？練習(xí)第68頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例4.在∠MON的邊ON上有5個異于O點的點,OM上有4個異于O點的點,以這十個點(含O)為頂點,可以得到多少個三角形?NOMABCDEFGHI·········第69頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日1、如圖,在以AB為直徑的半圓周上有異于A,B的六個點C1,C2,C3,

C4,C5,C6,

AB上有異于A,B的四個點D1,D2,D3,D4,問

(1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形?(2)以圖中12個點(包括A,B)中的四個為頂點,可作多少個四邊形?ABD1D2D3D4﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒C1C2C3C4C5C6練習(xí)第70頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日2、如圖兩組平行直線有12個交點，平行線間距離相等

(1)以這些平行線為邊能組成多少個平行四邊形?(2)以這些交點為頂點能組成多少個三角形?第71頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日3、平面M//N,M內(nèi)有5個點，N內(nèi)有4個點，任3點不共線，無其他四點共面.（1）能組成多少條直線?（2）三棱錐？（3）四棱錐？MN第72頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例題（1）求的值

（2）求滿足的x值（3）求證：①②（4）求的值1617005或2511兩個組合數(shù)性質(zhì)：第73頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日701,或3（5）求的值。（1）（2）（3）（4）練習(xí)第74頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日三、排列與組合綜合應(yīng)用第75頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日求證：證明：因為左邊=注意階乘的變形形式：=左邊，評注：所以等式成立例1、一、公式的應(yīng)用第76頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日（1）（2）練習(xí)第77頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例1、7個高矮不同的人站成一排，分別求下列的不同站法數(shù)。（1）甲必須站中間；（2）甲站左端，乙站右端；（3）甲站乙的左邊；（4）甲不站左端，乙不站右端；（5）甲、乙中間至少隔二人；（6）最高的同學(xué)站中間，兩邊依次降低；二、捆綁法、插空法、組合法、比例法第78頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日（7）甲、乙要相鄰；（8）甲、乙不相鄰；（9）甲、乙、丙都不鄰；（10）甲、乙要相鄰，而與丙都不鄰；（11）甲、乙要相鄰，甲與丙都不鄰；（12)甲、乙、丙順序只能從左到右；（13）甲乙丙順序從左到右，丁在戊的左邊。第79頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例2、如圖，每個小矩形全等，只能沿著矩形的邊沿行走，則從A到B的最短路徑有多少條？ABEFGH若菱形EFGH為一個水池，只能沿著其邊緣沿行走，則從A到B的最短路徑有多少條？第80頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例1、將如圖的5個區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域不同色，一個區(qū)域染一色，現(xiàn)有5種不同的顏色，有多少種方法？二、染色問題ABCDE第81頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例2、（重慶卷16)某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如題（16）圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有

種（用數(shù)字作答）.

216第82頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例1、求由0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中（1）偶數(shù)個數(shù)；（2）個位大于十位的個數(shù)；（3）個位大于十位，十位大于百位的個數(shù)；（4）比3021大的個數(shù)。例2、某天排語、數(shù)、外、史、生、體6節(jié)課，上午4節(jié)，下午2節(jié)，求下列條件下的排法數(shù)。（1）第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)；（2）第一節(jié)不排體育，下午不排數(shù)學(xué)；（3）語文、數(shù)學(xué)排相鄰。三、分類法、特殊優(yōu)先法第83頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日1、（遼寧卷9）一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（）A．24種 B．36種C．48D．72種

B練習(xí)第84頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日2、（海南卷9）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（）A.20種 B.30種C.40種D.60種

A第85頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例1、6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；解：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理得到：種四、不同小球分堆分配問題第86頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例1、6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(2)分為三份，每份2本；解析：(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有種方法．根據(jù)分步計數(shù)原理所以．

可得：因此，分為三份，每份兩本一共有15種方法所以．第87頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日點評：本題是分組中的“均勻分組”問題．一般地：將mn個元素均勻分成n組（每組m個元素）,共有種方法第88頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例1、6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）這是“不均勻分組”問題，一共有種方法．（4）在（3）的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有種方法．第89頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例1、6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本。解：（5）可以分為三類情況：①“2、2、2型”的分配情況，有種方法；②“1、2、3型”的分配情況，有種方法；③“1、1、4型”，有種方法，所以，一共有90+360+90＝540種方法．第90頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例2、（1）四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法？（2）四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？解：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理：一共有種方法；（2）（捆綁法）第一步：從四個不同的小球中任取兩個“捆綁”在一起看成一個元素有種方法；第二步：從四個不同的盒中任取三個將球放入有種方法，所以，一共有＝144種方法第91頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日練習(xí)1、6個人分乘2輛車，每車至少坐2個人有多少坐法？2、5個不同的小球裝入編號分別為1,、2、3的三個盒子，每個盒子至少裝1個，有多少裝法？3、10個不同的小球裝入編號分別為1、2、3的三個盒子，每個盒子裝的球數(shù)不少于其編號數(shù)，有多少裝法？第92頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日思考：6本相同的書，（1）分成三堆，每堆至少1本，有多少分法？（2）分給3個人，每人至少1本？五、相同小球分堆分配問題第93頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日規(guī)律：n個相同小球裝入m個不同盒子，（1）不允許空盒，有多少種不同的方法？（2）允許空盒，有多少種不同方法？例1、(1)求x+y+z=10的正整數(shù)解的個數(shù)？(2)求x+y+z=10的自然數(shù)解的個數(shù)？例2、已知字母均為自然數(shù)，求滿足下列條件的有序數(shù)組的個數(shù)。（1）（2）第94頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例3、有10個運(yùn)動員名額，再分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為第95頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例4、（1）10個優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個班級，每個班級至少一個，共有多少種不同的分配方法？（2）10個優(yōu)秀指標(biāo)分配到1、2、3三個班，若名額數(shù)不少于班級序號數(shù)，共有多少種不同的分配方法？分析：（1）這是同種元素的“不平均分組”問題.本小題可構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，用5個隔板插入10個指標(biāo)中的9個空隙，既有種方法。按照第一個隔板前的指標(biāo)數(shù)為1班的指標(biāo)，第一個隔板與第二個隔板之間的指標(biāo)數(shù)為2班的指標(biāo)，以此類推，因此共有種分法.第96頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日（2）先拿3個指標(biāo)分給二班1個，三班2個，然后，問題轉(zhuǎn)化為7個優(yōu)秀指標(biāo)分給三個班，每班至少一個.由（1）可知共有種分法注：第一小題也可以先給每個班一個指標(biāo)，然后，將剩余的4個指標(biāo)按分給一個班、兩個班、三個班、四個班進(jìn)行分類，共有種分法.例題解讀：第97頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日例5、馬路上有編號為1，2，3，…，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？解：（插空法）本題等價于在7只亮著的路燈之間的6個空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數(shù)為種方法第98頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日1．5個人分4張同樣的足球票，每人至多分一張，而且票必須分完，那么不同的分法種數(shù)是

．2．某學(xué)生要邀請10位同學(xué)中的6位參加一項活動，其中有2位同學(xué)要么都請，要么都不請，共有

種邀請方法.3.一個集合有5個元素，則該集合的非空真子集共有

個.4.平面內(nèi)有兩組平行線，一組有m條，另一組有n條，這兩組平行線相交，可以構(gòu)成

個平行四邊形.5．空間有三組平行平面，第一組有m個，第二組有n個，第三組有t個，不同兩組的平面都相交，且交線不都平行，可構(gòu)成

個平行六面體9830練習(xí)第99頁，共106頁，2023年，2月20日，星期日6.高二某班第一小組共有12位同學(xué)，現(xiàn)在要調(diào)換座位，使其中有3個人都不坐自己原來的座位，其他9