高等數(shù)學之一階線性微分方程

高等數(shù)學之一階線性微分方程第一頁，共二十三頁，2022年，8月28日一階線性微分方程的解法1.線性齊次方程(使用分離變量法)齊次方程的通解為第二頁，共二十三頁，2022年，8月28日2.線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比第三頁，共二十三頁，2022年，8月28日常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實質:

未知函數(shù)的變量代換.作變換第四頁，共二十三頁，2022年，8月28日積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對應齊次方程通解非齊次方程特解第五頁，共二十三頁，2022年，8月28日非齊次線性方程的通解相應齊方程的通解等于與非齊次方程的一個特解之和即非齊通解=齊通解+非齊特解——線性微分方程解的結構，是很優(yōu)良的性質。例1解第六頁，共二十三頁，2022年，8月28日解方程解相應齊方程解得令例2第七頁，共二十三頁，2022年，8月28日代入非齊方程解得故非齊次方程的通解為第八頁，共二十三頁，2022年，8月28日例3解方程解這是一個二階線性方程由于其中不含變量

y

若令化成一階線性方程其通解為即再積分即為原二階方程的通解第九頁，共二十三頁，2022年，8月28日例4

如圖所示，平行與軸的動直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.解兩邊求導得解此微分方程第十頁，共二十三頁，2022年，8月28日所求曲線為第十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日一階線性微分方程的通解也可寫成方程令即化為一階線性微分方程注第十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日二、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的標準形式方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法:

需經過變量代換化為線性微分方程.第十三頁，共二十三頁，2022年，8月28日代入上式求出通解后，將代入即得第十四頁，共二十三頁，2022年，8月28日例5解第十五頁，共二十三頁，2022年，8月28日例6

用適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為第十六頁，共二十三頁，2022年，8月28日解分離變量法得所求通解為第十七頁，共二十三頁，2022年，8月28日解代入原式分離變量法得所求通解為另解第十八頁，共二十三頁，2022年，8月28日

注

利用變量代換將一個微分方程化為變量可分離的方程或化為已知其求解步驟的方程是求解微分方程的一種最常用的思想方法如

齊次型、可化為齊次型、一階線性方程、Bernoulli方程等都是通過變量代換來求解方程的。將變換為也是經常可以考慮的第十九頁，共二十三頁，2022年，8月28日三、小結1.齊次方程2.線性非齊次方程3.伯努利方程思考題求微分方程的通解.第二十頁，共二十三頁，2022年，8月28日思考題解答第二