高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)第九講數(shù)列與遞進

第九講數(shù)列與遞進知識、方法、技術(shù)數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個重要的課題，也是數(shù)學(xué)比賽中常常出現(xiàn)的問題.所謂數(shù)列就是按必定序次擺列的一列數(shù).數(shù)列的一般形式是a1,a2,,an,往常簡記為{an}.假如數(shù)列{an}的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可用一個公式來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.從函數(shù)的角度看，數(shù)列能夠看做是一個函數(shù)，定義域是自然數(shù)集或自然數(shù)集的一個有限子集，函數(shù)表達式就是數(shù)列的通項公式.關(guān)于數(shù)列{an}，把Sn=a1+a2++an叫做數(shù)列{an}的前n項和，則有．等差數(shù)列與等比數(shù)列1．等差數(shù)列（1）定義：an1and(常量)或an1anan2.22）通項公式：an=a1+(n－1)d.（3）前n項和公式：Snn(a1an)na1n(n1)d.22（4）等差中項：an1anan2.25）隨意兩項：an=am+(n－m)d.6）性質(zhì)：①公差為非零的等差數(shù)列的充要條件是通項公式為n的一次函數(shù)；②公差為非零的等差數(shù)列的充要條件是前n項和公式為n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)；③設(shè){an}是等差數(shù)列，假如m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq;④設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，則Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,,Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、p∈N*)仍成等差數(shù)列；⑤設(shè)S是等差數(shù)列{a}的前n項和，則{Sn}是等差數(shù)列；nnn⑥設(shè){an}是等差數(shù)列，則{λan+b}(λ,b是常數(shù))是等差數(shù)列；⑦設(shè){a}與是等差數(shù)列，則{λa+λb}（λ，λ是常數(shù)）也是等差數(shù)列；nn1n2n12⑧設(shè){a}與是等差數(shù)列，且b∈N*，則{abn}也是等差數(shù)列（即等差數(shù)列中等距離分nnn離出的子數(shù)列仍為等差數(shù)列）；⑨設(shè){an}是等差數(shù)列，則{Can}（c>0,c≠1）是等比數(shù)列.2．等比數(shù)列（1）定義：an1q(常量),或an2an1anan1an（2）通項公式：an=a1qn－1.na1(q1).（3）前n項和公式：Sna1(1q)a1anqn1q1(q1).q（4）等比中項：an1anan2.5）隨意兩項：an=amqn－m.6）無量遞縮等比數(shù)列各項和公式：S=anlimSna1(0|q|1).n1n1q（7）性質(zhì)：①設(shè){an}是等比數(shù)列，假如m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am·an=ap·aq；②設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，則Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,，Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、n∈N*)仍為等比數(shù)列；③設(shè){an}是等比數(shù)列，則{λan}（λ是常數(shù)）、{anm}（m∈Z*）仍成等比數(shù)列；④設(shè){a}與是等比數(shù)列，則{a·b}也是等比數(shù)列；nnnn⑤設(shè){an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，bn∈Z*，則{abn}是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分別出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；⑥設(shè){an}是正項等比數(shù)列，則{logcan}(c>0,c≠1)是等差數(shù)列.賽題精講例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an－1(n=1,2,)，數(shù)列{bn}知足b1=3,bk+1=b+a(k=1,2，)，求數(shù)列的前n項之和.kkn（1996年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題1）【思路剖析】欲求數(shù)列{bn}前n項和，需先求bn.由ak=bk+1－bk,知求ak即可，利用a=S－S(k=2,3,4,)可求出a.kkk－1k【略解】由S=2a－1和a=S=2a－1,得a=1,又a=S－S=2a－2a,即a=2a,nn1111nnn－1nn－1nn－1所以{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則有an=2n－1.由ak=bk+1－bk，取k=1,2,,n－1得a1=b2－b1,a2=b3－b2,a3=b4－b3,,an－1=bn－bn－1,將上邊n－1個等式相加，得bn－b1=a1+a2++an.即bn=b1+a1+a2++an=3+(1+2+22++2n－1)=2n－1+2,所以數(shù)列{bn}的前n項和為Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）++（2+2n－1）=2n+2n－1.【評論】求數(shù)列的前n項和，一般狀況一定先研究通項，才可確立乞降的方法.例2求證：若三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，對應(yīng)的三邊成等比數(shù)列，則此三角形必是正三角形.【思路剖析】由△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，知∠B=60°，三個角可設(shè)為60°－d,60°,60°+d，此中d為常數(shù)；又由對應(yīng)的三邊a、b、c成等比數(shù)列，知b2=ac，或?qū)⑷呌洖閍、aq、aq2，此中q為正常數(shù)，由此知要證此三角形為正三角形只須證明d=0或q=1或a=b=c.【證】設(shè)△ABC的三個內(nèi)角為A、B、C及其對邊a、b、c，依題意b2=ac,∠B=60°.【方法1】由余弦定理，得a2c2b2cos6012c2acac,cosB2ac,所以a22整理得(a－c)=0所以a=c.【方法2】設(shè)a、b、c三邊挨次為a、aq、aq2，由余弦定理有a2(aq)2(aq2)21,整理得42解得q=1,q=－1（舍cosB=2aaq2cos60q－2q+1=0,2去）所以a=b=c,故此△ABC為正三角形.22(2RsinB)=2RsinA·2RsinC（此中R是△ABC外接圓半徑）即

sin

2B=sinA·sinC，把B=60°代入得

sinA·sinC=

3，整理得

1

[cos(A

－C)－cos(A+C)=

3，即

cos(A－C)=1,4

2

4所以A=C，且∠B=60°，故此△ABC為正三角形【方法4】將60°－d,60°,60°+d代入sin

.2得

sin(60

°－d)·sin(60

°+d)=

3，即

1[cos(2d)

－cos120°]=

3.4

2

4得cos2d=1,d=0°,所以∠A=∠B=∠C，故△ABC為正三角形.【評論】方法1、2著眼于邊，方法3、4著眼于角.例3各項都是正數(shù)的數(shù)列{an}中，若前n項的和Sn知足2Sn=an+1,求此數(shù)列的通項an公式.【思路剖析】在Sn與an的混淆型中，應(yīng)整理成數(shù)列{Sn}的遞推式或數(shù)列{an}的遞推式，而后用遞推關(guān)系式先求出S，再求a，或直接求a.此題簡單獲得數(shù)列{S}的遞推式，利用nnnnan=Sn－Sn－1先求出Sn，再求an即可.【解】n≥2時，將a=S－S1,得2S=S－S+1,整理得nnn－1nnnnn－1anSnSn1S2S211(n2),且Sa1,所以數(shù)列{S2}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，nn11n即Sn21(n1)1n,Snn,進而anSnSn1nn1(n2),當(dāng)n=1時，由2S=a1,得a=1也知足annn1.111an故數(shù)列{an}的通項公式為annn1.【評論】辦理本例的思想方法，可用來求知足Sn與an混淆型中的通項公式.例4設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn與an的關(guān)系為Sn=－ban+1－1，此中b是與n無(1b)n關(guān)的常數(shù)，且b≠－1.（1）求an與an－1的關(guān)系式；（2）寫出用n與b表示an的表達式.【思路剖析】利用S=a－a(n≥2)整理出數(shù)列{a}的遞推關(guān)系式求a.nnn－1nn【解】（1）a1S1ba1111得a12(1b)(1b)當(dāng)n≥2時，an=Sn－Sn－1=－ba+1－1n[ban111n1]banban1bn,整理得n(1b)(1b)(1b)an11nnn－11nan}是以1an12n1,兩邊同乘以2，得2an=2an－1+,可知數(shù)列{22a=222為首項，公差為1的等差數(shù)列.所以2nan1(n1)1n,即ann.22222n1當(dāng)b≠1，b≠－1時，由（*）式得(1+b)nan=b(1+b)n－1an－1+1bb進而數(shù)列{cn－cn－1}就是一個等比數(shù)列，n取2，3，，n得故數(shù)列{n}的通項公式為a【評論】結(jié)構(gòu)協(xié)助數(shù)列是解由遞推關(guān)系式給出數(shù)列求通項的一個基本方法，本例結(jié)構(gòu)了協(xié)助數(shù)列{c}、{c－c}，使數(shù)列{c－cn－1}為等比數(shù)列，化未知為已知，進而使問題獲解.nnn－1n例5n2(n≥4)個正數(shù)排成n行n列aa12a13aa1n1114a21a22a23a24a2na31a32a33a34a3na41a42a43a44a4nan1an2an3an4ann此中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，而且全部公比相等，已知a24=1,a1，a3,求a+a+a++a.（1990年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）4284316112233nna11和akk，又每列成等比數(shù)列且公比相等，只要要研究a1k【思路剖析】乞降需要研究和q,又每行成等差數(shù)列，需要求得an和第一行的公差d，因此此題利用已知成立an、d和q之間關(guān)系，使問題獲解.【解】設(shè)第一行數(shù)列公差為d，各列數(shù)列公比為q.由于2a43=a42+a44,所以a44=2a43－a42=2×3－1=1.又由于a44=a24·q2=q2,所以q=1,于是有16842解此方程組，得d=1,a11=1.22關(guān)于隨意的1≤k≤n,有【評論】數(shù)列乞降應(yīng)先研究通項，通項cn=anbn，此中{an}成等差為九列，{bn}為等比數(shù)列，數(shù)列{cn}的乞降用錯項相減去.例6將正奇數(shù)會合{1，3，5，}從小到大按第n組有(2n－1)奇數(shù)進行分組：{1},{3,5,7},{9,11,13,15,17},（第1組）（第2組）（第3組）問1991位于第幾組中？（1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）【思路剖析】思路需要寫出第n組的第1個數(shù)和最后一個數(shù)，1991介于此中，而第nn+2=a1+qSn+1,組中最后一個數(shù)是第（1+3++2n－1）=n2個奇數(shù)為2n2－1.【解】由于1+3+5++(2n－1)=n2所從前n組共含有奇數(shù)n2個，第n組最后一個數(shù)即第n2個奇數(shù)為2n2－1,第n組第一個22數(shù)即第n－1組最后一個數(shù)后邊的奇數(shù)為[2(n－1)－1]+2=2(n－1)+1.由題意，有不等式222(n－1)+1≤1991≤2n－1.解得(n－1)2≤995且n2≥996，進而n≤32且n≥32，故n=32，即1991位于第32組中.【評論】應(yīng)用待定的方法，假設(shè)位于第n組中而后確立n即可.例7設(shè){an}是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，Sn是前n項和，證明（1995

年全國高考題）【思路剖析】要證原結(jié)論成立，只要證

SnSn+2<

Sn2

1成立，用等比數(shù)列前

n項和公式表示或成立Sn、Sn+1、Sn+2的關(guān)系，用比較法證之

.【證法1】設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)知

a1>0,q>0.1）當(dāng)q=1時，Sn=na1，進而SnSn+2－Sn21=na1(n+2)a1－a12(n+1)2=－a12<0.（