平面圖形的幾何性質(zhì)1

附錄平面圖形的幾何性質(zhì)§1靜矩與形心§2慣性矩、慣性積、極慣性矩§3慣性矩和慣性積的平行移軸定理§4轉(zhuǎn)軸定理·主慣性軸*

平面圖形的幾何性質(zhì)§1靜矩與形心一、靜矩：

任意平面圖形如圖所示，其面積為A，x軸和y軸為圖形所在平面內(nèi)的坐標(biāo)軸。在坐標(biāo)（x，y）處，取為面積dA，則遍歷整個(gè)圖形面積A的積分附錄dAxyyx定義為該平面圖形對(duì)x軸和y軸的靜矩也稱為平面圖形對(duì)x軸和y軸的一次矩靜矩的數(shù)值：可能為正，可能為負(fù)，也可能為負(fù)靜矩的量綱：[長(zhǎng)度]3，單位：m3二、形心坐標(biāo)與靜矩：(等厚均質(zhì)板的質(zhì)心與形心重合。)累加式dAxyyx等厚均質(zhì)質(zhì)心形心若某坐標(biāo)軸通過(guò)形心，則圖形對(duì)該軸的靜矩必然等于零。反之，若圖形對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過(guò)圖形的形心例1試確定下圖的形心。附錄801201010xyC2C1C1(0,0)C2(-35,60)解：1.組合截面法圖形分割及坐標(biāo)如圖(a)yyxxyxyx2.用負(fù)面積法求解，圖形分割及坐標(biāo)如圖(b)圖(b)C1（0,60）C2（5,65）C2負(fù)面積C1xy801201010§2慣性矩、慣性積、極慣性矩一、慣性矩：慣性半徑：分別稱為圖形對(duì)x和y

軸的慣性矩，也稱為圖形對(duì)x和y

軸的二次矩。dAxyyxrO慣性矩和極慣性矩恒為正值定義為圖形對(duì)x

軸的慣性半徑定義為圖形對(duì)y

軸的慣性半徑二、極慣性矩：稱為截面對(duì)極點(diǎn)O的極慣性矩dAxyyxrO慣性矩和極慣性矩恒為正值；其量綱為長(zhǎng)度的四次方，常用單位：m4慣性矩和極慣性矩的關(guān)系dAxyyxr三、慣性積如果若坐標(biāo)軸x、y

軸有一個(gè)是圖形的對(duì)稱軸,如y

軸，則稱為圖形對(duì)x、y

軸的慣性積yxodAdAxxy

y

討論慣性積可為正值or

負(fù)值or

零例2求矩形對(duì)其對(duì)稱軸x、y的慣性矩解：先求取微面積dAdyyyxoh

b

同理圓環(huán)截面內(nèi)徑d

，外徑Dxy組合圖形的對(duì)某軸的慣性矩§3慣性矩和慣性積的平行移軸定理一、平行移軸定理：dAbaxyoycyxcxxcycC取另外一對(duì)坐標(biāo)軸:

x

和

y，且

x//xc

相距

b,y//yc相距

a

對(duì)x

和

y軸的慣性矩為:對(duì)形心軸xc和yc的慣性矩和慣性積為:注意:C點(diǎn)必須為形心

a

和

b

可正、可負(fù)、可為零同理，可得：例2求圖示圓對(duì)其切線AB的慣性矩。解：兩種方法：一是按定義直接積分；二是用平行移軸定理等知識(shí)求。B建立形心坐標(biāo)如圖,求圖形對(duì)形心的極慣性矩。A圓xyOdd§4轉(zhuǎn)軸定理·主慣性軸*一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理dAxyyxax1y1x1y1坐標(biāo)軸x

y

繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到新的坐標(biāo)系x

1

y1

O同理，可得：二、截面的主慣性軸和主慣性矩上式可以求出兩個(gè)相差90°的兩個(gè)角度0，與兩個(gè)0對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸x0和y0稱為主慣性軸；簡(jiǎn)稱主軸；平面圖形對(duì)主慣性軸之慣性矩稱為主慣性矩。將Ix1對(duì)取導(dǎo)數(shù)，得若=0，使，則對(duì)應(yīng)于0所確定的坐標(biāo)軸，圖形的慣性矩為最大值或最小值。將0代入上式并令其等于零，則得三、形心主軸和形心主慣性矩

通過(guò)平面圖形形心C的主慣性軸，稱其為形心主慣性軸。

平面圖形對(duì)形心主慣性軸的慣性矩，稱為形心主慣性矩形心主慣性矩：桿件橫截面的形心主慣性軸、形心主慣性矩和桿件的形心主慣性平面，在桿件的彎曲理論中有重要意義。截面對(duì)于對(duì)稱軸的慣性積等于零，截面形心又必然在對(duì)稱軸上，所以截面的對(duì)稱軸就是形心主慣性軸，它與桿件軸線確定的縱向?qū)ΨQ面就是形心主慣性平面。求截面形心主慣性矩的方法①建立坐標(biāo)系②計(jì)算面積和面積矩③求形心位置④建立形心坐標(biāo)系；求：IyC，IxC，IxCyC⑤求形心主軸方向—0

⑥求形心主慣性矩例3在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸。(b=1.5d)解：①