中考數(shù)學專題訓練【方案設計型】能力提升訓練與解析

中考數(shù)學專題訓練【方案設計型】能力提升訓練與解析中考數(shù)學專題訓練【方案設計型】能力提升訓練與解析考點：一次方程、方程組、分式方程、不等式組、一次函數(shù)、二次函數(shù)、【例1】.某商店準備購進甲、乙兩種商品．已知甲商品每件進價15元，售價20元；乙商品每件進價35元，售價45元．(1)若該商店同時購進甲、乙兩種商品共100件，恰好用去2700元，求購進甲、乙兩種商品各多少件？(2)若該商店準備用不超過3100元購進甲、乙兩種商品共100件，且這兩種商品全部售出后獲利不少于890元，問應該怎樣進貨，才能使總利潤最大，最大利潤是多少(利潤＝售價－進價)?解：(1)設購進甲種商品x件，購進乙種商品y件，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,15x＋35y＝2700，))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝40，,y＝60.))【例2】．今年，號稱“千湖之省”的湖北正遭受大旱，為提高學生環(huán)保意識，節(jié)約用水，某校數(shù)學教師編造了一道應用題：為了保護水資源，某市制定一套節(jié)水的管理措施，其中對居民生活用水收費作如下規(guī)定：月用水量(單位：噸)單價(單位：元/噸)不大于10噸部分1.5大于10噸，且不大于m噸部分(20≤m≤50)2大于m噸部分3(1)若某用戶六月份的用水量為18噸，求其應繳納的水費；(2)記該用戶六月份的用水量為x噸，繳納水費y元，試列出y關于x的函數(shù)式；(3)若該用戶六月份的用水量為40噸，繳納水費y元的取值范圍為70≤y≤90，試求m的取值范圍．解：(1)應繳納水費：10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)．(2)當0≤x≤10時，y＝1.5x；當10<x≤m時，y＝10×1.5＋2(x－10)＝2x－5；當x>m時，y＝15＋2(m－10)＋3(x－m)＝3x－m－5.∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1.5x0≤x≤10，,2x－510<x≤m，,3x－m－5x>m.))(3)當40≤m≤50時，y＝2×40－5＝75(元)，滿足．當20≤m<40時，y＝3×40－m－5＝115－m，則70≤115－m≤90，∴25≤m≤45，即25≤m≤40.綜上得，25≤m≤50.【例3】．潼南綠色無公害蔬菜基地有甲、乙兩種植戶，他們種植了A，B兩類蔬菜，兩種植戶種植的兩類蔬菜的種植面積與總收入如下表：種植戶種植A類蔬菜面積(單位：畝)種植B類蔬菜面積(單位：畝)總收入(單位：元)甲3112500乙2316500說明：不同種植戶種植的同類蔬菜每畝的平均收入相等；畝為土地面積單位．(1)求A，B兩類蔬菜每畝的平均收入各是多少元；(2)某種植戶準備租20畝地用來種植A，B兩類蔬菜，為了使總收入不低于63000元，且種植A類蔬菜的面積多于種植B類蔬菜的面積(兩類蔬菜的種植面積均為整數(shù))，求該種植戶所有的租地方案．解：(1)設A，B兩類蔬菜每畝平均收入分別是x元，y元．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝12500，,2x＋3y＝16500.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3000，,y＝3500.))答：A，B兩類蔬菜每畝平均收入分別是3000元，3500元．(2)設用來種植A類蔬菜的面積為a畝，則用來種植B類蔬菜的面積為(20－a)畝．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3000a＋350020－a≥63000，,a＞20－a.))解得10＜a≤14.∵a取整數(shù)，為：11,12,13,14.∴租地方案為：類別種植面積(畝)A11121314B9876【例4】.某學校計劃將校園內(nèi)形狀為銳角△ABC的空地（如圖）進行改造，將它分割成△AHG、△BHE、△CGF和矩形EFGH四部分，且矩形EFGH作為停車場，經(jīng)測量BC=120m，高AD=80m，（1）若學校計劃在△AHG上種草，在△BHE、△CGF上都種花，如何設計矩形的長、寬，使得種草的面積與種花的面積相等？（2）若種草的投資是每平方米6元，種花的投資是每平方米10元，停車場鋪地磚投資是每平方米4元，又如何設計矩形的長、寬，使得△ABC空地改造投資最??？最小為多少?解、（1）設FG=x米，則AK=(80－x)米由△AHG∽△ABCBC=120，AD=80可得：∴BE+FC=120－=∴解得x=40∴當FG的長為40米時，種草的面積和種花的面積相等。（2）設改造后的總投資為W元W==6(x－20)2+26400∴當x=20時,W最小=36400答:當矩形EFGH的邊FG長為20米時，空地改造的總投資最小，最小值為26400元。【例5】.我州鼓苦蕎茶、青花椒、野生蘑菇，為了讓這些珍寶走出大山，走向世界，州政府決定組織21輛汽車裝運這三種土特產(chǎn)共120噸，參加全國農(nóng)產(chǎn)品博覽會.現(xiàn)有A型、B型、C型三種汽車可供選擇.已知每種型號汽車可同時裝運2種土特產(chǎn)，且每輛車必須裝滿.根據(jù)下表信息，解答問題.特產(chǎn)特產(chǎn)車型苦蕎茶青花椒野生蘑菇每輛汽車運載量（噸）A型22B型42C型16車型ABC每輛車運費（元）150018002000（1）設A型汽車安排輛，B型汽車安排輛，求與之間的函數(shù)關系式.（2）如果三種型號的汽車都不少于4輛，車輛安排有幾種方案？并寫出每種方案.（3）為節(jié)約運費，應采用（2）中哪種方案？并求出最少運費.解：（1）法①根據(jù)題意得化簡得：（2）由得，解得.∵為正整數(shù)，∴.故車輛安排有三種方案，即：方案一：型車輛，型車輛，型車輛方案二：型車輛，型車輛，型車輛方案三：型車輛，型車輛，型車輛（3）設總運費為元，則∵隨的增大而增大，且∴當時，元答：為節(jié)約運費，應采用⑵中方案一，最少運費為37100元?！纠?】.為創(chuàng)建“國家衛(wèi)生城市”，進一步優(yōu)化市中心城區(qū)的環(huán)境，德州市政府擬對部分路段的人行道地磚、花池、排水管道等公用設施全面更新改造，根據(jù)市政建設的需要，須在60天內(nèi)完成工程．現(xiàn)在甲、乙兩個工程隊有能力承包這個工程．經(jīng)調(diào)查知道：乙隊單獨完成此項工程的時間比甲隊單獨完成多用25天，甲、乙兩隊合作完成工程需要30天，甲隊每天的工程費用2500元，乙隊每天的工程費用2000元．（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成各需多少天？（2）請你設計一種符合要求的施工方案，并求出所需的工程費用．解：（1）設甲工程隊單獨完成該工程需x天，則乙工程隊單獨完成該工程需（x+25）天．根據(jù)題意得：．方程兩邊同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x2﹣35x﹣750=0．解之，得x1=50，x2=﹣15．經(jīng)檢驗，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．但x2=﹣15不符合題意，應舍去．∴當x=50時，x+25=75．答：甲工程隊單獨完成該工程需50天，則乙工程隊單獨完成該工程需75天．（2）此問題只要設計出符合條件的一種方案即可．方案一：由甲工程隊單獨完成．所需費用為：2500×50=125000（元）．方案二：由甲乙兩隊合作完成．所需費用為：（2500+2000）×30=135000（元）．【例7】.“五一”期間，為了滿足廣大人民的消費需求，某商店計劃用160000元購進一批家電，這批家電的進價和售價如下表：類別彩電冰箱洗衣機進價200016001000售價220018001100（1）、若全部資金用來購買彩電和洗衣機共100臺，問商店可以購買彩電和洗衣機各多少臺?(2)、若在現(xiàn)有資金160000元允許的范圍內(nèi)，購買上表中三類家電共100臺，其中彩電臺數(shù)和冰箱臺數(shù)相同，且購買洗衣機的臺數(shù)不超過購買彩電的臺數(shù)，請你算一算有幾種進貨方案？哪種進貨方案能使商店銷售完這批家電后獲得的利潤最大？并求出最大利潤。（利潤=售價-進價）解：（1）設商店購買彩電x臺，則購買洗衣機（100﹣x）臺．由題意，得2000x+1000（100﹣x）=160000，解得x=60，則100﹣x=40（臺），所以，商店可以購買彩電60臺，洗衣機40臺．（2）設購買彩電和冰箱各a臺，則購買洗衣機為（100﹣2a）臺．根據(jù)題意，得解得．因為a是整數(shù)，所以a=34、35、36、37．因此，共有四種進貨方案．設商店銷售完畢后獲得的利潤為w元，則w=（2200﹣2000）a+（1800﹣1600）a+（1100﹣1000）（100﹣2a）=200a+10000，∵200＞0，∴w隨a的增大而增大，∴當a=37時，=200×37+10000=17400，所以，商店獲得的最大利潤為17400元．【例8】.在眉山市開展城鄉(xiāng)綜合治理的活動中，需要將A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部運往垃圾處理場D、E兩地進行處理．已知運往D地的數(shù)量比運往E地的數(shù)量的2倍少10立方米．（1）求運往兩地的數(shù)量各是多少立方米？（2）若A地運往D地a立方米（a為整數(shù)），B地運往D地30立方米，C地運往D地的數(shù)量小于A地運往D地的2倍．其余全部運往E地，且C地運往E地不超過12立方米，則A、C兩地運往D、E兩地哪幾種方案？（3）已知從A、B、C三地把垃圾運往D、E兩地處理所需費用如下表：A地B地C地運往D地（元/立方米）222020運往E地（元/立方米）202221在（2）的條件下，請說明哪種方案的總費用最少？解：（1）設運往E地x立方米，由題意得，x+2x﹣10=140，解得：x=50，∴2x﹣10=90，答：共運往D地90立方米，運往E地50立方米；（2）由題意可得，，解得：20＜a≤22，∵a是整數(shù)，∴a=21或22，∴有如下兩種方案：第一種：A地運往D地21立方米，運往E地29立方米；C地運往D地39立方米，運往E地11立方米；第二種：A地運往D地22立方米，運往E地28立方米；C地運往D地38立方米，運往E地12立方米；（3）第一種方案共需費用：22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元），第二種方案共需費用：22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元），所以，第一種方案的總費用最少．【例9】.我市化工園區(qū)一化工廠，組織20輛汽車裝運A、B、C三種化學物資共200噸到某地．按計劃20輛汽車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種物資且必須裝滿．請結合表中提供的信息，解答下列問題：（1）設裝運A種物資的車輛數(shù)為x，裝運B種物資的車輛數(shù)為y．求y與x的函數(shù)關系式；（2）如果裝運A種物資的車輛數(shù)不少于5輛，裝運B種物資的車輛數(shù)不少于4輛，那么車輛的安排有幾種方案？并寫出每種安排方案；（3）在（2）的條件下，若要求總運費最少，應采用哪種安排方案？請求出最少總運費．物資種類ABC每輛汽車運載量（噸）12108每噸所需運費（元/噸）240320200解：（1）根據(jù)題意，得：12x+10y+8（20﹣x﹣y）=200，12x+10y+160﹣8x﹣8y=2002x+y=20，∴y=20﹣2x，（2）根據(jù)題意，得：解之得：5≤x≤8∵x取正整數(shù)，∴x=5，6，7，8，∴共有4種方案，即ABC方案一5105方案二686方案三767方案四848（3）設總運費為M元，則M=12×240x+10×320（20﹣2x）+8×200（20﹣x+2x﹣20）即：M=﹣1920x+64000∵M是x的一次函數(shù)，且M隨x增大而減小，∴當x=8時，M最小，最少為48640元．【例10】.為表彰在“締造完美教室”活動中表現(xiàn)積極的同學，老師決定購買文具盒與鋼筆作為獎品.已知5個文具盒、2支鋼筆共需100元；4個文具盒、7支鋼筆共需161元.（1）每個文具盒、每支鋼筆個多少元？（2）時逢“五一”，商店舉行“優(yōu)惠促銷”活動，具體辦法如下：文具盒“九折”優(yōu)惠；鋼筆10支以上超出部分“八折”優(yōu)惠.若買x個文具盒需要元，買x支鋼筆需要元；求、關于x的函數(shù)關系式；（3）若購買同一種獎品，并且該獎品的數(shù)量超過10件，請你分析買哪種獎品省錢.解：（1）設每個文具盒x元，每支鋼筆y元，可列方程組得，解之得答：每個文具盒14元，每支鋼筆15元.（2）由題意知，y1關于x的函數(shù)關系式為y1=14×90%x，即y1=12.6x.由題意知，買鋼筆10以下（含10支）沒有優(yōu)惠，故此時的函數(shù)關系式為y2=15x.當買10支以上時，超出部分有優(yōu)惠，故此時函數(shù)關系式為y2=15×10+15×80%（x－10）即y2=12x+30（3）當y1<y2即12.6x<12x+30時，解得x<50;當y1=y2即12.6x=12x+30時，解得x=50;當y1>y2即12.6x>12x+30時，解得x>50.綜上所述，當購買獎品超過10件但少于50件時，買文具盒省錢；當購買獎品超過50件時，買文具盒和買鋼筆錢數(shù)相等；當購買獎品超過50件時，買鋼筆省錢.【例11】．為極大地滿足人民生活的需求，豐富市場供應，我區(qū)農(nóng)村溫棚設施農(nóng)業(yè)迅速發(fā)展，溫棚種植面積在不斷擴大．在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按順序間隔種植不同農(nóng)作物的方法叫分壟間隔套種．科學研究表明：在塑料溫棚中分壟間隔套種高、矮不同的蔬菜和水果（同一種緊挨在一起種植不超過兩壟），可增加它們的光合作用，提高單位面積的產(chǎn)量和經(jīng)濟效