最小作用量原理分解

張斌1—126宿舍小組成員Pressthenametoseethephoto.Pressthenameagaintoreplace.張津銘張瑞瑞張若洋張英杰0610295張斌0610296張津銘0610297張瑞瑞0610298張若洋0610299張英杰最小作用量原理

最小作用量原理是物理學(xué)中描述客觀事物規(guī)律的一種重要方法。其內(nèi)容是說：從某一個(gè)特定角度比較客體一切可能的運(yùn)動(dòng)（經(jīng)歷），認(rèn)為客體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)（經(jīng)歷）可以由作用量求極值得出，作用量最小的那個(gè)經(jīng)歷即為客體的實(shí)際歷經(jīng)。正如對稱性、守恒律、因果律一樣，最小作用量原理將自然規(guī)律含蓄地統(tǒng)一在一起。它的高度概括性與簡潔的美感將自然科學(xué)與自然哲學(xué)之美體現(xiàn)得淋漓盡致。本片將帶你進(jìn)入最小作用量原理的奇幻世界，領(lǐng)略它的奇妙與深邃。

序最小作用量原理起初由幾何光學(xué)和牛頓力學(xué)共同啟蒙，最后卻發(fā)展成為適用于整個(gè)物理學(xué)和自然運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)性理論。其價(jià)值不言而喻，下面就讓我們從歷史的角度對最小作用量原理作初步的認(rèn)識(shí)。

在對自然定律的思索中，“最小”觀念在亞里士多德（Aristoteles，古希臘，384B.C.~322B.C.）那里就有了：“在用很少就可以完成的地方，卻用了很多，是無謂的”。這個(gè)觀念一直以不同的形式盤旋在歷代自然哲學(xué)家與科學(xué)家的頭腦中。其中有影響的，是奧卡姆(w．Occan，英國，1300~1349)，他從方法論上提出了“經(jīng)濟(jì)原則”——“用較少即可做到的事，多做反而無益”。歷史回顧

在物理學(xué)中成功使用“最小”觀念的最早一個(gè)例子，是光學(xué)中的“費(fèi)馬原理”。

費(fèi)馬(P．Fermat，法國，1601~1665)在1662年提出一個(gè)假設(shè)：“不管在什么媒質(zhì)中，光從一點(diǎn)到另一點(diǎn)傳播的真實(shí)路線，比起聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)的任何別的路線所花費(fèi)的時(shí)間最小”。費(fèi)馬原理作為幾何光學(xué)的基本原理，它成功地把三條經(jīng)驗(yàn)定律：均勻媒質(zhì)中光的直線傳播定律，兩種媒質(zhì)分界面上的反射定律和折射定律，轉(zhuǎn)變?yōu)橘M(fèi)馬原理的數(shù)學(xué)推論。歷史回顧1669年萊布尼茨（LeibnizGottfriedWilhelm，德國，1646～1716）在意大利旅行時(shí)寫了一篇研究動(dòng)力學(xué)基本問題的論文。在此論文中引入了“作用量”這一概念，即質(zhì)量速度和路徑長度的乘積。而路徑長度等于速度和時(shí)間之積，因此作用量同樣確定為質(zhì)量，速度平方和時(shí)間的乘積，即活力（動(dòng)能）乘上時(shí)間。在一封信中（但其真實(shí)性曾遭到懷疑）萊布尼茨寫道，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，作用量通常取極大或極小值。歷史回顧1696年，由約翰·伯努利（JohannBernoulli，瑞士，1667~1748）提出并解決的最速落徑問題對于變分計(jì)算的形成過程有著特別重要的意義。在解決最速落徑問題的時(shí)候，伯努利提出了一個(gè)原理。照這個(gè)原理來說，倘若曲線提供了極大值或極小值，那么曲線的每一個(gè)無限小的部分也同樣具有這一特性。這個(gè)原理沒有普遍義，在許多情況之下曲線并不具有上述質(zhì)。可是由于注意到伯努利提出的原理在被證實(shí)為正確時(shí)的那些條件，這就使歐拉在闡述最小作用量原理上邁出了十分重要的一步。歷史回顧1744年．莫泊丟(Maupertuis，法國，1698~1759)完善了“作用量”概念，提出了“最小作用量原理”：“質(zhì)點(diǎn)系實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)，是使某一作用量取最小值運(yùn)動(dòng)的”．他認(rèn)為這一原理，能夠取代牛頓運(yùn)動(dòng)定律，成為力學(xué)的理論基礎(chǔ)．問題在于尋找作用量的數(shù)學(xué)描述．然而，莫泊丟篤信上帝，他不但賦予最小作用量原理以目的論的形式，而且還有目的論的色彩。他主張，如此合乎目的組建起來的整個(gè)自然界可以用證實(shí)了“造物主的存在和智慧”這一目的唯一原則來解釋。歷史回顧在十八世紀(jì)二十年代末到三十年代，歐拉（EulerLeonhard，瑞士，1707～1783）多次致力于變分計(jì)算領(lǐng)域內(nèi)的工作。1744年發(fā)表了歐拉的名著《求具有極大值或極小值或是在更廣泛的意義上來說，解決等周問題的方法》。歐拉把一篇不長的論文安置在附錄工之中，這篇論《用極大值和極小值的方法確定在沒有阻力的介質(zhì)中拋體運(yùn)動(dòng)的問題》，他在此論文中指出，當(dāng)物體在向心力的作用下，從點(diǎn)A以速度v運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)它將描繪出某個(gè)軌跡，該軌跡對應(yīng)于積分的極大值或極小值。歐拉注意到由他所簡單闡述的原理只是在適用于活力定律的情況下才能應(yīng)用。相反，莫培督認(rèn)為作用量的最小數(shù)量原理比活力定律更廣泛。歐拉總的結(jié)論是在介質(zhì)無阻力時(shí)最小作用原理具有普遍意義。這個(gè)原理不僅關(guān)系到單個(gè)物體，而且也關(guān)系到若干物體構(gòu)成的體系。歷史回顧拉格朗日（LagrangeJosephLouis，法國，1736～1813）充分的發(fā)展了歐拉的思想。他不僅把歐拉的結(jié)論從一個(gè)質(zhì)點(diǎn)推廣到了質(zhì)點(diǎn)系，即作用量變?yōu)榱恕６?，拉格朗日將最小作用量原理提升到了力學(xué)根本原理的地位。拉格朗日的最小作用量原理不僅以要求某種積分不變的條件限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，而且還以單值的形式指出了在已知初始條件時(shí)系統(tǒng)和質(zhì)點(diǎn)實(shí)際上要如何運(yùn)動(dòng)。能量守恒原理所指出的正是什么樣的運(yùn)動(dòng)是可能的。而可能的條件正是：，其中為作用量，E為機(jī)械能，U為勢能。

但拉格朗日認(rèn)為最小作用量原理，純粹是從動(dòng)力學(xué)方程得到的推論，而反對把它當(dāng)成是宇宙間的普遍原理的觀念。歷史回顧1843年，哈密頓(w．R．Hamilton，英國，1805~1865)對作用量的數(shù)學(xué)形式作以下假設(shè)：

（為拉格朗日函數(shù),為廣義坐標(biāo)）并首先把拉格朗日函數(shù)表述為廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的函數(shù)，作用量定義為質(zhì)點(diǎn)系拉格朗日函數(shù)對時(shí)間的積分。作用量是一個(gè)過程量，哈密頓最小作用量原理表述為：具有理想和完整的質(zhì)點(diǎn)系在有勢力作用下，在所有具有相同起始位置的可能運(yùn)動(dòng)歷經(jīng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)為哈密頓作用量取得駐值（廣義極值）的那個(gè)歷經(jīng)，即真實(shí)運(yùn)動(dòng)對哈密頓作用量的變分等于零：由于真實(shí)過程僅要求其作用量是一個(gè)極值即可，無需“最小”，故以后稱為“作用量原理”，把“最小”刪去了。歷史回顧1886年，赫姆霍茨(Helmholtz，德國，1821～1894)把這一原理系統(tǒng)地運(yùn)用于力學(xué)，熱力學(xué)和電動(dòng)力學(xué)等問題。他引入了促進(jìn)概括這一原理的物理解釋的動(dòng)勢的概念。所謂動(dòng)勢，是這樣一個(gè)量，將它對時(shí)間求積分就可以得到作用量。由于動(dòng)勢概念是獨(dú)立的，因之就可以把最小作用原理認(rèn)為是物理可逆過程的普遍原理，上這樣一來，也用不著把它歸結(jié)為力學(xué)的規(guī)律了。換言之，也就是不必把最小作用量原理作為力學(xué)原理加以解釋。由于在電動(dòng)力學(xué)中無需任何一種力學(xué)模型就可以闡述其內(nèi)容和引用哈米頓原理，所以普朗克(MaxPlanck，德國，1858～1947)這樣寫道：最小作用量原理所經(jīng)過的歷程和能量守恒原理相同；“能量守恒原理起初同樣認(rèn)為是力學(xué)原理，只是由于作為機(jī)械論宇宙觀的證據(jù)而賦予它普遍的意義。目前機(jī)械論宇宙觀受到強(qiáng)烈的動(dòng)搖，然而無論什么人都沒有開始懷疑能量守恒原理的普遍性。如果現(xiàn)在把最小作用原理看成是純力學(xué)原理，那么可能會(huì)不自覺地陷入片面性之中”。歷史回顧正是對光學(xué)和力學(xué)中最小作用量原理的類比，德布羅意（LouisdeBroglie，法國，1892~1987）對波爾的量子化條件做出了合理的解釋并提出了物質(zhì)波的設(shè)想。在相對論中，最小作用量原理仍然成立，并被解釋為能夠從四維空間可能的世界線中挑選出實(shí)際的世界線的原理。并且在廣義相對論的建立過程中，愛因斯坦（AlbertEinstein，德國，1879~1955）也曾使用它。愛丁頓（ArthurEddington，英國，1882~1994）在廣義相對論中指出：對時(shí)空連續(xù)統(tǒng)而言，作用量扮演著類似于能量在空間關(guān)系上所扮演的角色。在四維世界里，作用量是曲率的量度，即決定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的四維連續(xù)統(tǒng)的基本特性的量度。歷史回顧最小作用量原理指出：滿足一定約束條件的物理系統(tǒng)，在其所有的可能狀態(tài)中，對應(yīng)于作用量函數(shù)取極值的狀態(tài)，而作用量函數(shù)一般和能量相關(guān)聯(lián)。最小作用量原理因其廣泛的適用性成為物理學(xué)中最為基礎(chǔ)而富有意義的基本原理之一。正如之前歷史回顧中所述，最小作用量原理不僅在分析力學(xué)、幾何光學(xué)、電動(dòng)力學(xué)和熱力學(xué)等經(jīng)典物理中廣泛應(yīng)用，更是在近代物理學(xué)直至相對論量子場論中起到了重要作用。由于水平所限，我們不能全面而深刻的剖析最小作用量原理巨大意義，而只能從一個(gè)側(cè)面對他的一些簡單應(yīng)用作一些介紹。下面我們將從力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)四個(gè)方面介紹最小作用量原理的一些簡單應(yīng)用。力學(xué)應(yīng)用電學(xué)應(yīng)用熱學(xué)應(yīng)用光學(xué)應(yīng)用高斯最小束縛原理1829年數(shù)學(xué)家高斯導(dǎo)出了最小束縛原理：在理想束縛條件下，系統(tǒng)在某瞬間時(shí)，真實(shí)運(yùn)動(dòng)與位置、速度、約束條件均相同，但加速度不同的可能運(yùn)動(dòng)相比較，其真實(shí)運(yùn)動(dòng)應(yīng)使“束縛”Z取最小值，即：

高斯將系統(tǒng)的拘束定義為：式中為系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，分別為作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力和質(zhì)點(diǎn)的加速度。在高斯原理中的可能運(yùn)動(dòng)是通過改變加速度a得到的，所以這種條件下的變分稱為高斯變分。在約束的定義中，項(xiàng)是質(zhì)點(diǎn)實(shí)際加速度與物體處于自由狀態(tài)（無約束狀態(tài)）時(shí)的加速度之差，可認(rèn)為是約束作用大小的度量，取其平方便可表征其模的大小。由此“約束”的物理意義可理解為是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)偏離自由運(yùn)動(dòng)的量度，而高斯最小約束原理說的則是物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)應(yīng)是使約束對物體自由運(yùn)動(dòng)的影響降到最底的那種狀態(tài)。

在高斯最小束縛原理中，“約束”就可以理解為這個(gè)物理孤傲程中的“作用量”。最小作用量原理的應(yīng)用——力學(xué)高斯最小束縛原理為了加深大家對此原理的感性認(rèn)識(shí)，下面我們舉例說明。例應(yīng)用高斯原理推倒蛋白的運(yùn)動(dòng)為分方程。

解：設(shè)擺長為L，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，質(zhì)點(diǎn)的約束為：最小作用量原理的應(yīng)用——力學(xué)最小作用量原理的應(yīng)用——力學(xué)高斯最小束縛原理對Z取變分并令其為零：即為單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。哈密頓原理

在“歷史回顧”中已經(jīng)介紹了哈密頓最小作用量原理，這里對它作進(jìn)一步剖析。

哈密頓原理指出：具有理想和完整的質(zhì)點(diǎn)系在有勢力作用下，在所有具有相同起始位置的可能運(yùn)動(dòng)歷經(jīng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)為哈密頓作用量取得駐值（廣義極值）的那個(gè)歷經(jīng)，即真實(shí)運(yùn)動(dòng)對哈密頓作用量的變分等于零：

其中為拉格朗日函數(shù),定義為：（T為系統(tǒng)動(dòng)能，U為勢能）

若考慮一n各質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，受到d個(gè)理想完整的約束，取k(=3n-d)維廣義坐標(biāo)q1,q2,…,qk，則拉格朗日函數(shù)L可表示為的函數(shù)：哈密原理給出了從所有可能運(yùn)動(dòng)中找出真實(shí)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)準(zhǔn)則，在力學(xué)中普遍適用，故成為了力學(xué)的一個(gè)基本原理。為加深認(rèn)識(shí)，下面舉例說明其用法。最小作用量原理的應(yīng)用——力學(xué)最小作用量原理的應(yīng)用——力學(xué)哈密頓原理

例

用哈密頓原理解出行星繞恒星運(yùn)動(dòng)微分方程。解設(shè)恒星質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m。行星動(dòng)能：勢能：由于行星自己構(gòu)成一個(gè)完整系統(tǒng)最小作用量原理的應(yīng)用——力學(xué)哈密頓原理

而同理，，彼此獨(dú)立即為行星的運(yùn)動(dòng)微分方程。容易看出這樣算出來的結(jié)果就是行星在三個(gè)方向上的加速度。靜電場電荷分布靜電能取極小值

在此雖然我們不能作嚴(yán)格證明，但可以定性理解這個(gè)問題。假設(shè)我們已知某一電學(xué)系統(tǒng)靜電平衡時(shí)的電荷分布（分布在一定范圍內(nèi)連續(xù)），則在這個(gè)平衡態(tài)附近的非平衡態(tài)必將自發(fā)的向這個(gè)平衡態(tài)進(jìn)行靠攏，最終達(dá)到這個(gè)平衡態(tài)。在這一過程中，從宏觀上看電荷在電場作用下產(chǎn)生趨向運(yùn)動(dòng)從而產(chǎn)生電流，而平衡后電荷宏觀不再有趨向運(yùn)動(dòng)電流消失。無論從趨向運(yùn)動(dòng)角度還是電流的角度分析，系統(tǒng)均有能量的耗散。即從趨向運(yùn)動(dòng)的角度看，趨向運(yùn)動(dòng)的停止意味著因趨向運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的平均動(dòng)能消失；從電流角度看，系統(tǒng)在調(diào)整電荷分布的過程中必定會(huì)產(chǎn)生電流，而電流以產(chǎn)熱的形式耗散能量。可見系統(tǒng)平衡態(tài)的電場能小于在它附近非平衡態(tài)的電場能，即靜電平衡時(shí)靜電能取得極小值。

電荷離散分布的系統(tǒng)，與普通力學(xué)系統(tǒng)無異，可從勢能角度證明。由唯一性定理可知這個(gè)極值點(diǎn)是唯一的，所以并不用強(qiáng)調(diào)在平衡態(tài)附近?？梢娡亲兎钟?jì)算的重要定理的最小作用量原理和唯一性定理的密切聯(lián)系。

最小作用量原理的應(yīng)用——電磁學(xué)最小作用量原理的應(yīng)用——電磁學(xué)靜電場電荷分布靜電能取極小值例

設(shè)有n只電容器C1，C2，…，Cn組成串聯(lián)電路，利用靜電場電荷分布靜電能取極小值原理，證明電容分壓公式。

解設(shè)電路兩端電壓為U,對應(yīng)于一種電壓分布有如下約束條件：電路儲(chǔ)存的能量：由于電容器充電完畢后電路中電場為靜電場，所以可以使用靜電場靜電能分布取極小值原理。取Lagrange函數(shù)：則有：可見這正是我們熟悉的電容串聯(lián)電路的基本特征。磁作用量

之前我們講的作用量原理都或多或少用到了勢能的概念，即都與機(jī)械能守恒有所聯(lián)系。而在磁場中帶電粒子不再有勢能之說，那么最小作用量原理還有用武之地嗎？答案是肯定的，麥克斯韋找到了這樣的作用量，并利用最小作用量原理得到了完整的電磁學(xué)定律。下面作一個(gè)初步的介紹。定義通過某已知開曲線L和線外任意一點(diǎn)o所構(gòu)成曲面的磁通量為開曲線ABCD的通量ΦL。則磁場中帶電運(yùn)動(dòng)粒子的磁作用量可定義為：

作用量

其中ΦL為粒子運(yùn)動(dòng)經(jīng)過某一開曲線通量顯然由于線外O點(diǎn)選擇的任意性使得ΦL也為一個(gè)不確定的值。但可以證明若粒子軌跡的端點(diǎn)一定，則無論O點(diǎn)如何選取，在所有可能的路徑中作用量最小的路徑是唯一的。即若多某個(gè)O點(diǎn)路徑L的變分為零，則選取其他的O點(diǎn)L的變分也必為零。而變分計(jì)算的結(jié)果正對應(yīng)著粒子受到的洛侖茲力。磁場中作用量選取的成功說明了最小作用量原理比能量守恒具有更普遍的意義。最小作用量原理的應(yīng)用——電磁學(xué)最小熵產(chǎn)生原理

最小熵產(chǎn)生原理是比利時(shí)科學(xué)家伊利亞.普里高津在1945年提出的，它成為熱學(xué)系統(tǒng)何時(shí)達(dá)到定常態(tài)的判據(jù)。定義在單位體積中、單位時(shí)間內(nèi)的熵產(chǎn)生為熵的產(chǎn)生率σ。則最小熵產(chǎn)生原理告訴我們：在接近平和未能柜臺(tái)的情況下且σ〉0。而演化的終極