專題二：變力做功的幾種解題方法

專題二：變力做功的幾種解題方法功的計算在中學物理中占有十分重要的地位，中學階段所學的功的計算公式W=FScosa只能用于恒力做功情況，對于變力做功的計算則沒有一個固定公式可用，下面對變力做功問題進行歸納總結(jié)如下：1、等值法等值法即若某一變力的功和某一恒力的功相等，則可以通過計算該恒力的功，求出該變力的功。而恒力做功又可以用W二FScosa計算，從而使問題變得簡單。例1、如圖1,定滑輪至滑塊的高度為h,已知細繩的拉力為F（恒定），滑塊沿水平面由A點前進S至B點，滑塊在初、末位置時細繩與水平方向夾角分別為a和0。求滑塊由A點運動到B點過程中，繩的拉力對滑塊所做的功。由圖1可知，在繩與水分析與解：設繩對物體的拉力為T，顯然人對繩的拉力F等于T。T在對物體做功的過程中大小雖然不變，但其方向時刻在改變，因此該問題是變力做功的問題。但是在滑輪的質(zhì)量以及滑輪與繩間的摩擦不計的情況下，人對繩做的功就等于繩的拉力對物體做的功。而拉力F的大小和方向都不變，所以F做的功可以用公式W二FScosa直接計算。平面的夾角由a變到0的過程中，拉力由圖1可知，在繩與水hhAS=S—S= —1 2sinahhAS=S—S= —1 2sinasinB=W=F.AS=Fh(F1sina2、微元法當物體在變力的作用下作曲線運動時,若力的方向與物體運動的切線方向之間的夾角不變，且力與位移的方向同步變化，可用微元法將曲線分成無限個小元段，每一小元段可認為恒力做功，總功即為各個小元段做功的代數(shù)和。例2、如圖2所示，某力F=10N作用于半徑R=1m的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向始終保持與作用點的切線方向一致，則轉(zhuǎn)動一周這個力F做的總功應為：1-sin卩)A、0JB、20nJC、10JD、20J.分析與解：把圓周分成無限個小元段，每個小元段可認為與力在同一直線上，故厶W=F△S,則轉(zhuǎn)一周中各個小元段做功的代數(shù)和為W=FX2nR=10X2nJ=20nJ=62.8J,故B正確。3、平均力法如果力的方向不變，力的大小對位移按線性規(guī)律變化時，可用力的算術平均值（恒力）代替變力，利用功的定義式W=Fscos0求功。例3、一輛汽車質(zhì)量為105kg，從靜止開始運動，其阻力為車重的0.05倍。其牽引力的大小與車前進的距離變化關系為F=103x+f，f是車所受的阻力。當車前進100m時，牽00引力做的功是多少？

分析與解：由于車的牽引力和位移的關系為F=103x+f，是線性關系，故前進100m過0程中的牽引力做的功可看作是平均牽引力F所做的功。由題意可知f=0.05X105X10N=5X104N,0所以前進100m過程中的平均牽引力：F=N=1X105N5X10所以前進100m過程中的平均牽引力：F=N=1X105N2???W=歹S=1X105X100J=1X107〕。4、用動能定理求變力做功在某些問題中，由于力F大小或方向的變化，導致無法直接由W=Fscos0求變力F做功的值.此時，我們可由其做功的結(jié)果——動能的變化來求變力F的功：W=AEk.例4、如圖3所示，AB為1/4圓弧軌道，半徑為0.8m，BC是水平軌道，長L=3m，BC處的摩擦系數(shù)為1/15，今有質(zhì)量m=1kg的物體，自A點從靜止起下滑到C點剛好停止。求物體在軌道AB段所受的阻力對物體做的功。圖3分析與解：物體在從A滑到C的過程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三個力做功，重力做功W=mgR，水平面上摩擦力做功W=-pmgL，由圖3G f1于物體在AB段受的阻力是變力,做的功不能直接求。根據(jù)動能定理可知：W=0，夕卜所以mgR-umgL-W=0 即W二mgR-umgL=6(J)AB AB5、用機械能守恒定律求變力做功如果物體只受重力和彈力作用，或只有重力或彈力做功時，滿足機械能守恒定律。如果求彈力這個變力做的功，可用機械能守恒定律來求解。圖4例5、如圖4所示，質(zhì)量m=2kg的物體，從光滑斜面的頂端A點以V=5m/s的初速度滑下，在D簧接觸并0圖4將彈簧壓縮到B點時的速度為零，已知從A到B的豎直高度h=5m，求彈簧的彈力對物體所做的功。分析與解：由于斜面光滑故機械能守恒，但彈簧的彈力是變力，彈力對物體做負功，彈簧的彈性勢能圖6增加，且彈力做的功的數(shù)值與彈性勢能的增加量相等。取B所在水平面為零參考面，彈簧原長處D點為彈性勢能的零參考點，則狀態(tài)A：E=mgh+mV2/2圖6A 0對狀態(tài)B：E=—W+0由機械能守恒定律得：B 彈簧W=—(mgh+mv2/2)=—125(J)。彈簧 06、用功能原理求變力做功能是物體做功的本領，功是能量轉(zhuǎn)化的量度.由此，對于大小、方向都隨時變化的變力F所做的功，可以通過對物理過程的分析，從能量轉(zhuǎn)化多少的角度來求解.例6、兩個底面積都是S的圓筒，放在同一水平面上，桶內(nèi)裝水，水面高度分別為h1和鈣，如圖5所示，已知水的密度為p?，F(xiàn)把連接兩桶的閥門打開，最后兩桶水面咼度相等，則這過程中重力所做的功等于 .

分析與解：由于水是不可壓縮的，把連接兩桶的閥門打開到兩桶水面高度相等的過程中，利用等效法把左管高仝二4以上部分的水等效地移至右管，如圖6中的斜線所示。最2后用功能關系，重力所做的功等于重力勢能的減少量，選用AB所在的平面為零重力勢能平面，則畫斜線部分從左管移之右管所減少的重力勢能為：h一h h一hh一h h一h1E一E=(r 門pgS(t 門+(t 門pgS(r 門=pgS(h一h)2pip2 2 4 2 4 4 12所以重力做的功WG=1pgS（h-h）2.G4127、圖象法如果參與做功的變力，方向與位移方向始終一致而大小隨時變化，我們可作出該力隨位移變化的圖象?如圖7,那么圖線下方所圍成的面積，即為變力做的功.圖7例7、用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設木塊對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木塊內(nèi)的深度成正比.在鐵錘擊第一次時，能把鐵釘擊入木塊內(nèi)1cm.問擊第二次時，能擊入多少深度？（設鐵錘每次做功相等）圖7解題方法與技巧：解法一：（平均力法）鐵錘每次做功都用來克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比，F(xiàn)=-f=kx，可用平均阻力來代替.W]=f兀產(chǎn)1kx]2.11W]=f兀產(chǎn)1kx]2.11212第二次擊入深度為X1到x2,平均阻力r=1k（x2+x1），位移x2-x1x2-x1，做功為W2=f(x2-x1)=2k（x22-x12）.兩次做功相等:2W]=W2.解后有：x2=2x1=1.41cm, △x=x2-x1=0.41cm.解法二：（圖象法因為阻力F=kx，以F為縱坐標,F方向上的位移x為橫坐標,作出F-x圖象（圖9）.曲線上面積的值等于F對鐵釘做的功.由于兩次做功相等，故有：S]=S2（面積），即：1kx12=1k（x2+x1）（x2-x1），所以△x=x2-x1=0.41cm22練習題1、一物體靜止在升降機的地板上，在升降機加速上升的過程中，地板對物體的支持力所做的功等于（BDA.物體勢能的增加量 B.物體動能的增加量加上物體勢能的增加量C.物體動能的增加量 D.物體動能的增加量加上克服重力所做的功2、 一人坐在雪橇上，從靜止開始沿著高度為15m的斜坡下滑，到達底部時速度為10m/s。人和雪橇的總質(zhì)量為60kg求人下滑過程中克服阻力做功等于多少”（取g=10m/s2）3、 一根粗細均勻的木棒豎直插入水中，若將木棒等分成n段，且第一段進入的過程中，

浮力做功W,求第n段和全部浸入的過程中，浮力分別做多少功？4、用鐵錘把小鐵釘釘入木板，設木板對釘子的阻力與釘進木板的深度成正比，已知鐵錘第一次將釘子釘進d深度，如果第二次敲釘子時對釘子做的功與第一次相同，那么第二次釘子進入木板的深度是多少?5、 如圖10所示，若在湖水里固定一細長圓管，管內(nèi)有一活塞，它的下端位于水面上，活塞的底面積S=1cm2,質(zhì)量不計.大氣壓強p0=l.OXlO5Pa.現(xiàn)把活塞緩慢地提高H=15m，則拉力對活塞做的功為 J.(g=10m/s2)(100J)6、 一輛汽車在平直公路上從速度v0開始加速行駛，經(jīng)時間t后，前進了距離s,此時恰好達到其最大速度vmax，設此過程中發(fā)動機始終以額定功^QdX率P工作，汽車所受阻力恒為F,則在這段時間里，發(fā)動機所做的功為(BC)A.FsBPC-2mV2max+Fs-2mV02 D?F?"山叮"。?t222max圖107、掛在豎直墻上的畫長1.8m,畫面質(zhì)量為100g,下面畫軸質(zhì)量為200g,今將它沿墻緩慢卷起，g=10m/s2.需做 J的功.(4.5J)8、用大小不變、方向始終與物體運動方向一致的力F，將質(zhì)量為m的小物體沿半徑為R的固定圓弧軌道從A點推到B點，圓弧応對應的圓心角為60°，如圖11所示，則在此過程，力F對物體做的功為 .若將推力改為水平恒力F，則此過程力F對物體做的功為 .仏F,竺FR3 2圖119、 (2001年全國高考，22題)一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉的?在井中固定插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底?在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動?開始時，管內(nèi)外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖12所示.現(xiàn)用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動.已知管筒半徑^= 0.100m，井的半徑R=2r，水的密度p=1.00X103kg/m3，大氣壓p0=1.00X105Pa.求活塞上升H=9.00m的過程中拉力F所做的功.(井和管在水面以上及水面以下的部分都足夠長.不計活塞質(zhì)量，不計摩擦，重力加速度g取10m/s2) (1.65X104J)10、 一輛車通過一