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1.2.1數(shù)學(xué)必修一函數(shù)的概念基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)LtD數(shù)學(xué)必修一函數(shù)的概念基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.下列四個(gè)方程中表示y是x的函數(shù)的是()①x-2y=6 ②x2+y=1③x+y2=1 ④x=eq\r(y)A.①② B.①④C.③④ D.①②④解析:對(duì)于①,得y=eq\f(1,2)x-3,y是x的一次函數(shù);對(duì)于②,得y=1-x2,y是x的二次函數(shù);對(duì)于③,得y2=1-x,當(dāng)x=-3時(shí),y1=2,y2=-2,y不是x的函數(shù);對(duì)于④,得y=x2(x≥0),y是x的二次函數(shù).答案:DC.[0,2] D.[-2,4]解析:由題知-2≤3x-2≤4,∴0≤x≤2,即定義域?yàn)閇0,2].答案:C二、填空題7.下圖中能表示函數(shù)關(guān)系的是________.解析:(3)中元素2對(duì)應(yīng)著兩個(gè)元素1和3,不符合函數(shù)定義.(1)、(2)、(4)均符合函數(shù)定義.答案:(1)(2)(4)8.設(shè)f(x)=eq\f(1,1-x),則f[f(x)]=________.解析:f[f(x)]=f(eq\f(1,1-x))=eq\f(1,1-\f(1,1-x))=eq\f(1-x,-x)=eq\f(x-1,x).答案:eq\f(x-1,x)9.(1)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-1,1),則f(2x-1)的定義域?yàn)開(kāi)_______.(2)若函數(shù)f(x2-2)的定義域?yàn)閇1,3],則函數(shù)f(3x+2)的定義域?yàn)開(kāi)_______.解析:(1)-1≤2x-1<1,∴0≤x<1.∴f(2x-1)的定義域?yàn)閇0,1).(2)∵1≤x≤3,∴1≤x2≤9.∴-1≤x2-2≤7.∴-1≤3x+2≤7.∴-1≤x≤eq\f(5,3).∴f(3x+2)的定義域?yàn)閇-1,eq\f(5,3)].答案:(1)[0,1)(2)[-1,eq\f(5,3)]三、解答題10.已知全集U=R,函數(shù)y=eq\r(x-2)+eq\r(x+1)的定義域?yàn)锳,函數(shù)y=eq\f(\r(2x+4),x-3)的定義域?yàn)锽.(1)求集合A,B;(2)求(?UA)∪(?UB).解:(1)函數(shù)y=eq\r(x-2)+eq\r(x+1)應(yīng)滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-2≥0,,x+1≥0,))∴x≥2.∴A={x|x≥2}.函數(shù)y=eq\f(\r(2x+4),x-3)應(yīng)滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+4≥0,,x-3≠0,))∴x≥-2且x≠3.∴B={x|x≥-2且x≠3}.(2)?UA={x|x<2},?UB={x|x<-2或x=3},∴(?UA)∪(?UB)={x|x<2或x=3}.11.已知f(x)=2x+a,g(x)=eq\f(1,4)(x2+3),若g[f(x)]=x2+x+1,求a的值.解:∵f(x)=2x+a,g(x)=eq\f(1,4)(x2+3),∴g[f(x)]=g(2x+a)=eq\f(1,4)[(2x+a)2+3]=x2+ax+eq\f(1,4)(a2+3).又g[f(x)]=x2+x+1,∴x2+ax+eq\f(1,4)(a2+3)=x2+x+1,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=1,\f(1,4)a2+3=1))解得a=1.創(chuàng)新題型12.已知函數(shù)f(x)=eq\f(x2,1+x2).(1)求f(2)與f(eq\f(1,2)),f(3)與f(eq\f(1,3));(2)由(1)中求得結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)f(x)與f(eq\f(1,x))有什么關(guān)系?利用你的發(fā)現(xiàn)求解:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(eq\f(1,2))+f(eq\f(1,3))+…+f(eq\f(1,2010)).解:(1)f(2)=eq\f(22,1+22)=eq\f(4,5);f(eq\f(1,2))=eq\f(\f(1,4),1+\f(1,4))=eq\f(1,5);f(3)=eq\f(9,1+9)=eq\f(9,10);f(eq\f(1,3))=eq\f(\f(1,9),1+\f(1,9))=eq\f(1,10).(2)由(1)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)f(x)+f(eq\f(1,x))=1.∴f(1)+f(2)+…+f(2010)+f(eq\f(1,2))+f(eq\f(1,3))+…+f(eq\f(1,2010))=[f(2)+f(eq\f(1,2))]+[f(3)+f(eq\f(1,3))]+…+[f(2010)+f(eq\f(1,2010))]+f(1)=2009+eq\f(1,2)=eq\f(4019,2).切莫忽視函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是函數(shù)的三要素之一.在學(xué)習(xí)過(guò)程中同學(xué)們往往側(cè)重于定義域的求解,而不注重定義域的作用,常因忽視函數(shù)定義域的影響而導(dǎo)致錯(cuò)誤,如求值域時(shí)因忽略定義域致錯(cuò),求函數(shù)解析式時(shí)因忽略定義域而致錯(cuò),乃至后續(xù)即將學(xué)習(xí)的函數(shù)單調(diào)性與奇偶性中,求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)因忽略函數(shù)定義域致錯(cuò)以及判斷函數(shù)奇偶性時(shí)因忽略定義域關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性判斷致錯(cuò)等,下面分析幾例,望以此引起同學(xué)們的重視.【例1】滿(mǎn)足y=eq\r(-x2+2x-1)+eq\f(1,x-1)的x與y能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系嗎?誤解:因?yàn)橐呀?jīng)給出了因變量y與自變量x之間的關(guān)系式,所以y與x之間可以構(gòu)成函數(shù)關(guān)系,其解析式為y=eq\r(-x2+2x-1)+eq\f(1,x-1).診斷:給出關(guān)系式不一定就是函數(shù)關(guān)系,它只是函數(shù)的三要素之一,莫忘定義域?qū)瘮?shù)的影響.正解:由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x2+2x-1≥0,,x-1≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-12≤0,x≠1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,x≠1.))由此可知,滿(mǎn)足已知關(guān)系式的x取值集合為空集.所以此題只是虛設(shè)了x與y的一個(gè)關(guān)系式,并不能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.【例2】已知f(eq\r(x)+1)=x+2eq\r(x),求f(x).誤解:設(shè)u=eq\r(x)+1,則eq\r(x)=u-1,x=(u-1)2,于是f(u)=(u-1)2+2(u-1)=u2-1,∴f(x)=x2-1.診斷:通過(guò)換元把f(eq\r(x)+1)=x+2eq\r(x)化
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