高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第2部分專題3概率與統(tǒng)計(jì)第1講概率教案文

/14/14/第1講概率[做小題——激活思維]1．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品，現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為()A．0.4B．0.6C．0.8D．1B[記3件合格品為a1，a2，a3,2件次品為b1，b2，則任取2件構(gòu)成的基本事件空間為Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10個(gè)元素．記“恰有1件次品”為事件A，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6個(gè)元素．故其概率為P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6.]2．在區(qū)間[0,2π]上任取一個(gè)數(shù)x，則使得2sinx≥1的概率為()A.eq\f(1,6)B.eqB.\f(1,4)C.eqC.\f(1,3)D.eqD.\f(2,3)C[因?yàn)?sinx≥1，x∈[0,2π]，所以x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以所求概率P＝eq\f(\f(5π,6)－\f(π,6),2π)＝eq\f(1,3).]3．從一副不包括大小王的混合后的撲克牌(52張)中，隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則概率P(A∪B)＝________.(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)eq\f(7,26)[因?yàn)镻(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)，且A與B是互斥事件．所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(13,52)＝eq\f(14,52)＝eq\f(7,26).]4．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過(guò)175cm的概率為_(kāi)_______．0．3[因?yàn)楸厝皇录l(fā)生的概率是1，所以該同學(xué)的身高超過(guò)175cm的概率為1－0.2－0.5＝0.3.]5．某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線圖如圖所示．為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況，現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)赱60,70)和[80,90)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，則在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60,70)的概率為_(kāi)_______．eq\f(7,10)[由折線圖可知，體育成績(jī)?cè)赱60,70)的學(xué)生有2人，成績(jī)?cè)赱80,90)的學(xué)生有3人．設(shè)“至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60,70)”為事件M，記體育成績(jī)?cè)赱60,70)的數(shù)據(jù)為A1，A2，體育成績(jī)?cè)赱80,90)的數(shù)據(jù)為B1，B2，B3，則從這兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有10種，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．而事件M的結(jié)果有7種，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，因此事件M的概率P(M)＝eq\f(7,10).][扣要點(diǎn)——查缺補(bǔ)漏]1．隨機(jī)事件的概率(1)對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，互斥事件不一定是對(duì)立事件．(2)若事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．如T3.若事件A，B對(duì)立，則P(A)＝1－P(B)．如T4.2．求古典概型問(wèn)題的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解．如T3.(2)用間接法，利用對(duì)立事件的概率公式進(jìn)行求解．如T4.3．幾何概型幾何概型問(wèn)題解決的關(guān)鍵是確定區(qū)域的測(cè)度，注意區(qū)分長(zhǎng)度與角度、面積與體積等一般所選對(duì)象的活動(dòng)范圍，在直線上選長(zhǎng)度作為測(cè)度；在平面區(qū)域內(nèi)選面積作為測(cè)度；在空間區(qū)域中則選體積作為測(cè)度．如T2.古典概型(5年7考)[高考解讀]試題以考生生活、學(xué)習(xí)中的真實(shí)情境為素材，考查古典概型及其概率計(jì)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.1．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為()A.eq\f(2,3)B.eqB.eq\f(3,5)C.eqC.eq\f(2,5)D.eqD.eq\f(1,5)切入點(diǎn)：從5只兔子中隨機(jī)取出3只．關(guān)鍵點(diǎn)：正確列出測(cè)量的所有取法．B[設(shè)5只兔子中測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測(cè)量過(guò)這項(xiàng)指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選B.]2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為()A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3切入點(diǎn)：①?gòu)?名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人；②2人都是女同學(xué)．關(guān)鍵點(diǎn)：正確列出從5人中選出2人都是女同學(xué)的所有基本事件．D[將2名男同學(xué)分別記為x，y,3名女同學(xué)分別記為a，b，c.設(shè)“選中的2人都是女同學(xué)”為事件A，則從5名同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)的所有可能情況有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10種，其中事件A包含的可能情況有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種，故P(A)＝eq\f(3,10)＝0.3.故選D.]3．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是()A.eq\f(8,15)B.eqB.\f(1,8)C.eqC.\f(1,15)D.eqD.\f(1,30)切入點(diǎn)：①密碼為兩位數(shù)；②第一位從M，I，N中選；③第二位從1,2,3,4,5中選．關(guān)鍵點(diǎn)：正確列出所有密碼的情況．C[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開(kāi)機(jī)密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).]求古典概型概率的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)?1?會(huì)利用枚舉法、列表法等，求樣本空間所含的基本事件數(shù)n以及事件A所含的基本事件數(shù)m.?2?會(huì)運(yùn)用古典概型的概率計(jì)算公式P?A?＝eq\f(m,n)求事件A發(fā)生的概率.1．(古典概型與平面向量交匯)已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，從6張大小相同、分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取兩張，x，y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號(hào)碼，則滿足a·b>0的概率是()A.eq\f(1,12)B.eqB.eq\f(3,4)C.eqC.eq\f(1,5)D.eqD.eq\f(1,6)D[設(shè)(x，y)表示一個(gè)基本事件，則兩次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36個(gè)．a(chǎn)·b＞0，即x－2y>0，滿足x－2y>0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6個(gè)，所以所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).]2．(古典概型與函數(shù)交匯)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是()A.eq\f(3,10)B.eqB.\f(3,5)C.eqC.\f(2,5)D.eqD.\f(1,5)C[函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1滿足題意，又b∈{3,5}，所以函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是eq\f(2×2,5×2)＝eq\f(2,5).故選C.]3．(古典概型與不等式、集合交匯)已知集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＜0}，設(shè)(a，b)為有序?qū)崝?shù)對(duì)，其中a是從集合A中任取的一個(gè)整數(shù)，b是從集合B中任取的一個(gè)整數(shù)，則“a－b∈(A∪B)”的概率為()A.eq\f(5,6)B.eqB.\f(1,8)C.eqC.\f(1,2)D.eqD.\f(3,4)D[由已知得A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，因?yàn)閍，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以a∈{－2，－1,0}，b∈{－1,0,1,2}，a－b共有12個(gè)結(jié)果，即12個(gè)基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，又A∪B＝(－3,3)，設(shè)事件E為“a－b∈(A∪B)”，則事件E包含9個(gè)基本事件，故事件E發(fā)生的概率P(E)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).]幾何概型(5年2考)[高考解讀]試題選取考生熟悉的太極圖、現(xiàn)實(shí)生活中交叉路口紅燈等待時(shí)間的情境命制試題，使考生對(duì)問(wèn)題的背景有真實(shí)、具體、形象的感受，考查考生或數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4)B.eqB.eq\f(π,8)C.eqC.eq\f(1,2)D.eqD.eq\f(π,4)切入點(diǎn)：黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．關(guān)鍵點(diǎn)：正確求出黑色部分的面積．B[不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),2×2)＝eq\f(π,8).故選B.]2．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.eq\f(7,10)B.eqB.\f(5,8)C.eqC.\f(3,8)D.eqD.\f(3,10)切入點(diǎn)：①紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒；②至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈．關(guān)鍵點(diǎn)：正確判斷概率模型及恰好等待15秒出現(xiàn)綠燈的條件．B[如圖，若該行人在時(shí)間段AB的某一時(shí)刻來(lái)到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長(zhǎng)度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，故選B.]幾何概型的適用條件及應(yīng)用關(guān)鍵?1?當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解.?2?利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.1．(與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型)在[－1,2]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)a，則點(diǎn)(1，a)位于x軸下方的概率為()A.eq\f(2,3)B.eqB.\f(1,2)C.eqC.\f(1,3)D.eqD.\f(1,6)C[在[－1,2]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)a，則點(diǎn)(1，a)位于x軸下方的概率為eq\f(0－?－1?,2－?－1?)＝eq\f(1,3)，故選C.]2．(與面積有關(guān)的幾何概型)如圖，先畫一個(gè)正方形ABCD，再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2個(gè)正方形，依此類推，得到第4個(gè)正方形EFGH(圖中陰影部分)，在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正方形EFGH內(nèi)的概率是()A.eq\f(1,4)B.eqB.\f(1,6)C.eqC.\f(1,8)D.eqD.\f(1,16)C[設(shè)第1個(gè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(2)，第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，第4個(gè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)，所以所求概率P＝eq\f(S正方形EFGH,S正方形ABCD)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2,22)＝eq\f(1,8).故選C.]3．(與體積有關(guān)的幾何概型)已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O，則四棱錐O-ABCD的體積不小于eq\f(2,3)的概率為_(kāi)_______．eq\f(27,64)[當(dāng)四棱錐O-ABCD的體積為eq\f(2,3)時(shí)，設(shè)O到平面ABCD的距離為h，則有eq\f(1,3)×22×h＝eq\f(2,3)，解得h＝eq\f(1,2).如圖所示，在四棱錐P-ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為eq\f(1,2).因?yàn)镻A⊥底面ABCD，且PA＝2，所以eq\f(PH,PA)＝eq\f(3,4)，又四棱錐P-ABCD與四棱錐P-EFGH相似，所以四棱錐O-ABCD的體積不小于eq\f(2,3)的概率為P＝eq\f(V四棱錐P-EFGH,V四棱錐P-ABCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PH,PA)))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64).]4．(借助數(shù)學(xué)文化考查幾何概型)部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形．謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出，具體操作是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線，將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小三角形后，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過(guò)程逐次得到各個(gè)圖形，如圖．現(xiàn)在上述圖3中隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為_(kāi)_______．eq\f(9,16)[由題意可知每次挖去等邊三角形的eq\f(1,4)，設(shè)題圖1中三角形的面積為1，則題圖2中陰影部分的面積為1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，題圖3中陰影部分的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,16)，故在題圖3中隨機(jī)選取一點(diǎn)，此點(diǎn)來(lái)自陰影部分的概率為eq\f(9,16).]互斥事件與對(duì)立事件(5年4考)[高考解讀]以考生生活、學(xué)習(xí)中的真實(shí)情境為素材，考查古典概型及互斥事件與獨(dú)立事件概率的求法，考查考生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7切入點(diǎn)：①只用現(xiàn)金支付的概率；②既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率．關(guān)鍵點(diǎn)：搞清楚“不用現(xiàn)金支付的概率”與題目中已知概率的關(guān)系．B[設(shè)“只用現(xiàn)金支付”為事件A，“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”為事件B，“不用現(xiàn)金支付”為事件C，則P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故選B.]2．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,3)B.eqB.\f(1,2)C.eqC.\f(2,3)D.eqD.\f(5,6)切入點(diǎn)：①?gòu)?種顏色的花中任選2種；②紅色和紫色的花不在同一花壇．關(guān)鍵點(diǎn)：正確求出所有種花的方法總數(shù)．C[從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下2種顏色的花種在另一個(gè)花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花在同一花壇的種數(shù)有：紅紫—白黃、黃白—紅紫，共2種，故所求概率為P＝1－eq\f(2,6)＝eq\f(2,3)，故選C.]互斥事件、對(duì)立事件概率的求法(1)解決此類問(wèn)題，首先應(yīng)根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出是不是互斥事件或?qū)α⑹录?，再選擇概率公式進(jìn)行計(jì)算．(2)求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：直接法將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算間接法先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解，即運(yùn)用正難則反的數(shù)學(xué)思想．特別是“至多”“至少”型問(wèn)題，用間接法就顯得較簡(jiǎn)便1．(互斥事件的概率)從4名男生和2名女生中任選3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則所選的3人中女生人數(shù)不超過(guò)1的概率是()A．0.8B．0.6C．0.4 D．0.2A[設(shè)事件Q為“所選3人中女生人數(shù)不超過(guò)1，”事件M為“所選3人中女生人數(shù)為1”，事件N為“所選3人中女生人數(shù)為0”，則事件M，N是互斥事件．4名男生分別記為1,2,3,4；2名女生分別記為a，b.從4名男生和2名女生中任選3人有20種不同的結(jié)果，分別為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，a}，{1,2，b}，{1,3,4}，{1,3，a}，{1,3，b}，{1,4，a}，{1,4，b}，{1，a，b}，{2,3,4)，{2,3，a}，{2,3，b}，{2,4，a}，{2,4，b}，{2，a，b}，{3,4，a}，{3,4，b)，{3，a，b}，{4，a，b}．事件M所含的基本事件分別為{1,2，a}，{1,2，b}，{1,3，a}，{1,3，b}，{1,4，a}，{1,4，b}，{2,3，a)，{2,3，b}，{2,4，a}，{2,4，b}，{3,4，a}，{3,4，b}，共12個(gè)，所以P(M)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5)；事件N所含的基本事件分別為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，共4個(gè)，所以P(N)＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).所以事件Q的概率為P(Q)＝P(M)＋P(N)＝eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)＝0.8，故選A.]2．(對(duì)立事件的概率)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為()A.eq\f(2,3)B.eqB.\f(2,5)C.eqC.\f(3,5)D.eqD.\f(9,10)D[記事件A為甲或乙被錄用．從五人中錄用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10種可能，而A的對(duì)立事件eq\x\to(A)僅有(丙，丁，戊)一種可能，∴A的對(duì)立事件eq\x\to(A)的概率為P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,10)，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝eq\f(9,10).故選D.]3．(對(duì)立事件的概率)如圖是由1個(gè)圓、1個(gè)三角形和1個(gè)長(zhǎng)方形構(gòu)成的組合體，現(xiàn)用紅、藍(lán)2種顏色為其涂色，每個(gè)圖形只能涂1種顏色，則3個(gè)圖形顏色不全相同的概率為_(kāi)_______．eq\f(3,4)[設(shè)事件M為“3個(gè)圖形顏色不全相同”，則其對(duì)立事件eq\x\to(M)為“3個(gè)圖形顏色全相同”，用紅、藍(lán)2種顏色為3個(gè)圖形涂色，每個(gè)圖形有2種選擇，共有8種情況．其中顏色全部相同的有2種，即全部用紅色或藍(lán)色，所以P(eq\x\to(M))＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，所以P(M)＝1－P(eq\x\to(M))＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).]概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題(5年3考)[高考解讀]試題以現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)問(wèn)題為背景，精心編制與設(shè)問(wèn)，不僅考查了考生運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力，而且使考生領(lǐng)會(huì)統(tǒng)計(jì)與概率思想方法在現(xiàn)實(shí)生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域的應(yīng)用，形成自覺(jué)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)指導(dǎo)社會(huì)實(shí)踐的意識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力.角度一：統(tǒng)計(jì)圖表與概率的綜合問(wèn)題1．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．切入點(diǎn)：①最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；②最高氣溫低于20，需求量為200瓶．關(guān)鍵點(diǎn)：按進(jìn)貨量450瓶是否全部售出為界進(jìn)行分類討論．[解](1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值為900,300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.角度二：統(tǒng)計(jì)案例與概率的綜合問(wèn)題2．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828，K2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?).切入點(diǎn)：頻率分布直方圖．關(guān)鍵點(diǎn)：①?gòu)念l率分布直方圖中正確提取數(shù)據(jù)信息．②正確計(jì)算K2的值．[解](1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2＝eq\f(200×?62×66－34×38?2,100×100×96×104)≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg到55kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．角度三：概率在實(shí)際問(wèn)題中的決策作用3．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)，n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)．(1)若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式；(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；(3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件？切入點(diǎn)：柱狀圖．關(guān)鍵點(diǎn)：根據(jù)柱狀圖中的信息正確求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．[解](1)當(dāng)x≤19時(shí)，y＝3800；當(dāng)x>19時(shí)，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700，所以y與x的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3800，x≤19，,500x－5700，x＞19))(x∈N)．(2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19.(3)若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買19個(gè)易損零件，則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為3800元，20臺(tái)的費(fèi)用為4300元，10臺(tái)的費(fèi)用為4800元，因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為eq\f(1,100)(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000元．若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買20個(gè)易損零件，則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為4000元，10臺(tái)的費(fèi)用為4500元，因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為eq\f(1,100)(4000×90＋4500×10)＝4050元.比較兩個(gè)平均數(shù)可知，購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)易損零件．解答概率與統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題的2點(diǎn)注意?1?明確頻率與概率的關(guān)系，頻率可近似替代概率.?2?此類問(wèn)題中的概率模型多是古典概型，在求解時(shí)，要明確基本事件的構(gòu)成.1．(概率與莖葉圖、頻率分布直方圖的綜合)某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績(jī)均分布在[50,100]內(nèi)，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制，各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)下表，規(guī)定A，B，C三級(jí)為合格等級(jí)，D為不合格等級(jí)．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級(jí)ABCD為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中原始成績(jī)?cè)?0分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示．(1)求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率；(2)在選取的樣本中，從A，D兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，求至少有1名學(xué)生是A等級(jí)的概率．[解](1)由題意可知，樣本容量n＝eq\f(6,0.012×10)＝50，x＝eq\f(2,50×10)＝0.004，y＝eq\f(1－0.04－0.1－0.12－0.56,10)＝0.018.因?yàn)槌煽?jī)是合格等級(jí)的人數(shù)為(1－0.1)×50＝45，所以抽取的50人中成績(jī)是合格等級(jí)的頻率為eq\f(9,10)，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)