高考數(shù)學（文）二輪培優(yōu)（全國通用版）講義考前沖刺三第三類

第三類立體幾何問題重在“準”——證明與運算立體幾何解答題的基本模式是推理論證與體積(表面積)計算相結合，以某個幾何體為依據(jù)，分步設問，逐層加深.解決這類問題的原則，將問題轉化為平行、垂直的推理證明，準確運用相關定理等進行證明；同時以常見幾何體的表面積與體積公式為依據(jù)準確進行運算.【例3】(2016·全國Ⅱ卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)證明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝eq\f(5,4)，OD′＝2eq\r(2)，求五棱錐D′－ABCFE的體積.(1)證明由已知得AC⊥BD，AD＝CD.(證明)又由AE＝CF，得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)，故AC∥EF.由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，又AC∥EF，所以AC⊥HD′.(2)解由AC∥EF，得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).(運算)由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(2eq\r(2))2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，BD，HD′?平面BD′H，所以AC⊥平面BD′H，由OD′?平面BD′H，于是AC⊥OD′，(證明)又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，AC，OH?平面ABC，所以OD′⊥平面ABC.又由eq\f(EF,AC)＝eq\f(DH,DO)，得EF＝eq\f(9,2).(運算)五邊形ABCFE的面積S＝eq\f(1,2)×6×8－eq\f(1,2)×eq\f(9,2)×3＝eq\f(69,4).所以五棱錐D′－ABCFE的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(69,4)×2eq\r(2)＝eq\f(23\r(2),2).探究提高1.在立體幾何類解答題中，對于證明與計算過程中的得分點的步驟，有則給分，無則沒分，所以對于得分點步驟一定要寫，如第(1)問中的AC⊥BD，AD＝CD，eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)；第(2)問中eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)，OD′2＋OH2＝D′H2，AC∩OH＝O等.同時注意第(1)問基礎上，證明OD′⊥平面ABC.2.在立體幾何類解答題中，通常都以常見的空間幾何體為載體去證明空間的垂直或平行關系及求幾何體體積，因此要牢記空間幾何體的結構特征，準確運用相關的判定定理、性質定理、體積公式，如本題第(2)問中，AC⊥OD′及OD′⊥平面ABC的證明及五棱錐D′－ABCFE體積V的計算.【訓練3】(2018·日照一模)如圖，在幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，EA⊥AB，CB∥DA，F(xiàn)為DA上的點，EA＝DA＝AB＝2CB，M是EC的中點，N為BE的中點.(1)若AF＝3FD，求證：FN∥平面MBD；(2)若EA＝2，求三棱錐M－ABC的體積.(1)證明連接MN，因M，N分別是EC，BE的中點，∴MN∥CB且MN＝eq\f(1,2)CB＝eq\f(1,4)DA，又AF＝3FD，∴FD＝eq\f(1,4)DA，∴MN＝FD，又CB∥DA，∴MN∥DA，∴MN∥FD，∴四邊形MNFD為平行四邊形，∴FN∥MD，又FN?平面MBD，MD?平面MBD，所以FN∥平面MBD.(2)解連接AN，則AN⊥BE，DA⊥AN，MN∥DA，即AN⊥MN，又BE∩MN＝N，所以AN⊥平面EBC，又在△ABC中，AN＝eq\r(2)，S△MBC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\f(\r(2),2)，∴VM－ABC＝VA－MBC＝eq\f