高考數(shù)學（文）二輪培優(yōu)（全國通用版）講義考前沖刺三第三類

第三類立體幾何問題重在“準”——證明與運算立體幾何解答題的基本模式是推理論證與體積(表面積)計算相結(jié)合，以某個幾何體為依據(jù)，分步設(shè)問，逐層加深.解決這類問題的原則，將問題轉(zhuǎn)化為平行、垂直的推理證明，準確運用相關(guān)定理等進行證明；同時以常見幾何體的表面積與體積公式為依據(jù)準確進行運算.【例3】(2016·全國Ⅱ卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)證明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝eq\f(5,4)，OD′＝2eq\r(2)，求五棱錐D′－ABCFE的體積.(1)證明由已知得AC⊥BD，AD＝CD.(證明)又由AE＝CF，得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)，故AC∥EF.由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，又AC∥EF，所以AC⊥HD′.(2)解由AC∥EF，得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).(運算)由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4，所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(2eq\r(2))2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，BD，HD′?平面BD′H，所以AC⊥平面BD′H，由OD′?平面BD′H，于是AC⊥OD′，(證明)又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，AC，OH?平面ABC，所以O(shè)D′⊥平面ABC.又由eq\f(EF,AC)＝eq\f(DH,DO)，得EF＝eq\f(9,2).(運算)五邊形ABCFE的面積S＝eq\f(1,2)×6×8－eq\f(1,2)×eq\f(9,2)×3＝eq\f(69,4).所以五棱錐D′－ABCFE的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(69,4)×2eq\r(2)＝eq\f(23\r(2),2).探究提高1.在立體幾何類解答題中，對于證明與計算過程中的得分點的步驟，有則給分，無則沒分，所以對于得分點步驟一定要寫，如第(1)問中的AC⊥BD，AD＝CD，eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)；第(2)問中eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)，OD′2＋OH2＝D′H2，AC∩OH＝O等.同時注意第(1)問基礎(chǔ)上，證明OD′⊥平面ABC.2.在立體幾何類解答題中，通常都以常見的空間幾何體為載體去證明空間的垂直或平行關(guān)系及求幾何體體積，因此要牢記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，準確運用相關(guān)的判定定理、性質(zhì)定理、體積公式，如本題第(2)問中，AC⊥OD′及OD′⊥平面ABC的證明及五棱錐D′－ABCFE體積V的計算.【訓練3】(2018·日照一模)如圖，在幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，EA⊥AB，CB∥DA，F(xiàn)為DA上的點，EA＝DA＝AB＝2CB，M是EC的中點，N為BE的中點.(1)若AF＝3FD，求證：FN∥平面MBD；(2)若EA＝2，求三棱錐M－ABC的體積.(1)證明連接MN，因M，N分別是EC，BE的中點，∴MN∥CB且MN＝eq\f(1,2)CB＝eq\f(1,4)DA，又AF＝3FD，∴FD＝eq\f(1,4)DA，∴MN＝FD，又CB∥DA，∴MN∥DA，∴MN∥FD，∴四邊形MNFD為平行四邊形，∴FN∥MD，又FN?平面MBD，MD?平面MBD，所以FN∥平面MBD.(2)解連接AN，則AN⊥BE，DA⊥AN，MN∥DA，即AN⊥MN，又BE∩MN＝N，所以AN⊥平面EBC，又在△ABC中，AN＝eq\r(2)，S△MBC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\f(\r(2),2)，∴VM－ABC＝VA－MBC＝eq\f