相變與擴(kuò)散課件 菲克定律應(yīng)用（3學(xué)時(shí)）

材料相變與擴(kuò)散江蘇大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院戴起勛2006UJS—DaiQX第2章Fick定律的應(yīng)用

2.1Fick第一定律及應(yīng)用

UJS—DaiQX一在單相系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散1一維擴(kuò)散dm/dt＝常數(shù).對(duì)Fick第一定律積分，積分限為：y1,y2,C1,C2

UJS—DaiQX2二維擴(kuò)散二維穩(wěn)態(tài)時(shí)所有半徑方向上的流量均相同,如下圖.設(shè)內(nèi)徑為r1，濃度c1，外徑為r2，濃度c2，那么：UJS—DaiQX3三維擴(kuò)散如圖為一球殼，內(nèi)徑為r1，濃度C1，外徑為r2，濃度C2。

UJS—DaiQX二、在兩相系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散假設(shè)有兩組元組成一體系，一層是α相，擴(kuò)散系數(shù)為Dα，另一層為β相，擴(kuò)散系數(shù)為Dβ。有兩種情況：〔1〕兩層厚度與擴(kuò)散物質(zhì)的出現(xiàn)無(wú)關(guān)；〔2〕兩相存在決定于擴(kuò)散物質(zhì)，且兩相層的相對(duì)厚度取決于擴(kuò)散過(guò)程1．兩層厚度與擴(kuò)散物質(zhì)出現(xiàn)無(wú)關(guān)如圖，事先給出兩層厚度分別用lα和lβ表示〔例碳鋼/A不銹鋼〕，擴(kuò)散物質(zhì)用H表示〔例氫氣〕，H在穩(wěn)態(tài)建立后，在界面上的活度可用下式表示:UJS—DaiQX圖兩相擴(kuò)散層中的活度和濃度分布α/γα/γUJS—DaiQX擴(kuò)散物質(zhì)的流量主要決定于具有最大值的那個(gè)相，這個(gè)相對(duì)擴(kuò)散具有最大的阻力，這就象雙層墻的熱傳導(dǎo)那樣，其散熱主要取決于最好的絕熱層。所以，有：UJS—DaiQX2．兩相存在與擴(kuò)散過(guò)程有關(guān)

研究B組元通過(guò)A-B合金墻的擴(kuò)散。在墻的一側(cè)，B的活度很高，例與純B的氣相保持平衡,而在墻的另一側(cè)B的活度很低。如圖圖B組元在A-B合金中擴(kuò)散時(shí)的濃度分布UJS—DaiQX整個(gè)厚度是恒定的，但α/β厚隨擴(kuò)散而變化的，可求得：設(shè)墻厚為l,在建立穩(wěn)態(tài)后，UJS—DaiQX

因此，可知道擴(kuò)散元素的流量主要決定于具有最大D·ΔC的相，就是對(duì)擴(kuò)散具有最小阻力的相。當(dāng)Dβ＜＜Dα?xí)r,UJS—DaiQX三晶界薄膜的沉淀

A-B二元合金，在T1的均勻相冷至T0時(shí)有相析出。設(shè)晶界是平面直線形，且當(dāng)晶界上開始有β相析出時(shí)，沿晶界鋪展極快，形成一層薄膜。由相圖可畫出濃度分布。圖晶界薄膜沉淀時(shí)的濃度分布UJS—DaiQXβ相的長(zhǎng)大主要取決于B原子在α相中的擴(kuò)散。B原子向β相薄膜擴(kuò)散，在其附近α相中有一濃度梯度。經(jīng)擴(kuò)散，在dt時(shí)間內(nèi)增加了dlβ厚，那么流量可得：

近似地?。害為過(guò)飽和度。S可由兩塊陰影面積來(lái)估計(jì)。UJS—DaiQX四新相在原兩舊相間形核長(zhǎng)大

這種情況如鋼的加熱轉(zhuǎn)變奧氏體化。作為一般討論，設(shè)A-B二元系，有中間相β.在一定溫度時(shí)，可以在界面上形成一層β相，并以一定速率長(zhǎng)大，其長(zhǎng)大速率決定于通過(guò)β相層的擴(kuò)散速率。如下圖.建立局部平衡時(shí)濃度分布曲線。β相形成時(shí)的濃度分布B原子擴(kuò)散方向相界移動(dòng)主要方向UJS—DaiQX

Fe-C相圖中在溫度T時(shí)的平衡濃度值

UJS—DaiQX采用穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的近似方法，估算β相中的濃度梯度：使B原子由β/γ界面遷移到α/β界面的速率為：設(shè)dt時(shí)間,在α/β相界面上，增厚,在β/γ相界面上增厚

,因?yàn)?UJS—DaiQX根據(jù)質(zhì)量平衡，在α/β界面上有：同理在β/γ相界面上也有：兩側(cè)的長(zhǎng)大對(duì)β相均有奉獻(xiàn)，所以：UJS—DaiQXUJS—DaiQX2.2Fick第二定律及應(yīng)用各種表達(dá)式：(設(shè)D為常數(shù))三維直角坐標(biāo)：三維柱坐標(biāo)：三維球坐標(biāo)：一維球坐標(biāo)：一維柱坐標(biāo)：UJS—DaiQX幾個(gè)重要解：高斯〔Gauss〕解：誤差解：正弦〔Sine〕解：一維球坐標(biāo)高斯方程解:(t=0時(shí),濃質(zhì)集中在r=0處)平方平均值:用數(shù)學(xué)方法都可證明上述解都符合Fick第二定律UJS—DaiQX1高斯解及應(yīng)用

分布規(guī)律是：寬度B隨t而增寬，而A隨t增加而衰減，B、A的匹配變化保持總面積不變，如圖。當(dāng)t=0時(shí)，B=0，A→∞。說(shuō)明起始時(shí)，所有原子都集中在一起?！m合于外表涂覆的擴(kuò)散。當(dāng)t>0時(shí)，所有原子對(duì)擴(kuò)散都有奉獻(xiàn)?！c事實(shí)不符。一般表達(dá)式：寬度振幅UJS—DaiQX試件單面涂覆:利用迭加原理和反射原理有：UJS—DaiQX高斯解中S的物理意義為擴(kuò)散組元的總量：注意的是:實(shí)際情況只是高斯圖象的一半.所以在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),S值為量的2倍.UJS—DaiQX高斯解的平方平均值:=結(jié)果說(shuō)明:高斯解遵循了拋物線規(guī)律.對(duì)偶函數(shù):令:UJS—DaiQX2誤差函數(shù)解

應(yīng)用迭加原理使用高斯解積分可得

一般表達(dá)式：

圖將擴(kuò)散組元分割成厚dh的截面

UJS—DaiQX每個(gè)截面擴(kuò)散物質(zhì)的量是S=C0dh,設(shè)擴(kuò)散組元分布在0→+∞之間，從高斯解方程式得：令,再經(jīng)過(guò)積分變換,可得到UJS—DaiQX定義誤差函數(shù)：

(erfc稱為補(bǔ)〔余〕誤差函數(shù)。)所以一般表達(dá)式為：適用于半無(wú)限長(zhǎng)的擴(kuò)散。

UJS—DaiQX【例】有一厚d的板，假設(shè)使外表保持C0的濃度，那么板內(nèi)濃度將如何？解：因兩邊都有擴(kuò)散，所以要使用兩個(gè)誤差函數(shù)。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在板中心,那么：根據(jù)邊界條件求A、B、C的值：當(dāng)t=t,y=-d/2時(shí)：當(dāng)t=t,y=d/2時(shí)：當(dāng)t=0,-d/2＜y＜d/2時(shí)：UJS—DaiQXA、B、C這三個(gè)參數(shù)并不是與t總是無(wú)關(guān)的，所以，有些情況下只能是近似解。估計(jì)一下誤差：兩邊的原子剛好擴(kuò)散到板的中間時(shí),可解得：A=2C0,B=-C0,C=C0。所以近似解為：設(shè)t→∞時(shí)，那么由上式可得，C=2C0這顯然是不符合事實(shí)的，應(yīng)該是：C→C0誤差函數(shù)解適合于處理半無(wú)限長(zhǎng)的問(wèn)題。UJS—DaiQX4瓦格納〔Wagner〕解法在一般情況下，兩相接觸狀態(tài)如圖

圖在初始均質(zhì)相1的外表生成新相2時(shí)濃度分布UJS—DaiQX假定擴(kuò)散系數(shù)與成分無(wú)關(guān)，在平衡時(shí)界面兩邊的濃度關(guān)系為線性關(guān)系C1=KC2。在一定條件時(shí)K是定值。當(dāng)界面到達(dá)平衡時(shí)，根據(jù)質(zhì)量平衡原理，進(jìn)入或離開界面的擴(kuò)散物質(zhì)的凈流率等于依靠界面移動(dòng)附加到相中的溶質(zhì)。即：UJS—DaiQX1)初始均質(zhì)的第一相外表上生成第二相最常見的是在723℃~910℃溫度范圍內(nèi)，γ-Fe脫碳而在表面生成α-Fe,或α-Fe滲碳而在外表生成γ-Fe.

應(yīng)用第二定律，設(shè)某合金含C量為Ci,外界的碳勢(shì)為Cs.初始條件：C(x,0)=Ci,C(0,t)=Cs.所以x>l

:x<l

:將邊界條件代入誤差函數(shù)解方程可得：UJS—DaiQX

式中B1、

B2為積分常數(shù).x=時(shí),誤差函數(shù)的引數(shù)必為常數(shù)。因而：

式中β為一已確定的無(wú)量綱參數(shù)。在界面處x=l.綜合以上各關(guān)系式得到:

式中，

Φ=D2/D1UJS—DaiQX消去上式中的B1、B2

。得到

通過(guò)嘗試法找出參數(shù)β.在數(shù)學(xué)上，β是誤差函數(shù)的引數(shù);在物理上,

β是拋物線長(zhǎng)大規(guī)律的常數(shù)。函數(shù)f(β)和f(σ)可以查有關(guān)圖,也可以計(jì)算.式中,UJS—DaiQX【例2.8】有一含0.40%C的合金鋼薄殼在與0.01%C相平衡的CO和CO2氣氛中進(jìn)行800℃溫度下的奧氏體化處理。在這些條件下外表生成一些α相.問(wèn)：經(jīng)30分鐘后，生成的α相層有多厚？在800℃時(shí)，Dα=2×10-6cm2/s，Dγ=3×10-8cm2/sUJS—DaiQX解：在這里，Ci=0.40,Cs；從Fe-C相圖得到C1,C2=0.02.D1=Dγ,D2=Dα,所以Φ=D2/D1=66.6.如計(jì)算出β后,可得到α的厚度.這里采用嘗試法:將有關(guān)數(shù)值代入公式,有UJS—DaiQX又假設(shè)令β=0.1,那么f(β)=0.0195;σ,f(σ這樣β值大體上已定出范圍，再嘗試得β計(jì)算結(jié)果：經(jīng)30分鐘后，生成的α相層為0.126mm.

利用嘗試法計(jì)算：假設(shè)令β=0.15,f(β)=0.0457;σ=βΦ1/2=1.224,f(σUJS—DaiQX現(xiàn)在我們用前面介紹的兩相中新相長(zhǎng)大公式〔經(jīng)穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散近似處理〕來(lái)計(jì)算。因?yàn)棣料嘀挥性讦孟嘀虚L(zhǎng)大,且忽略了γ相中的擴(kuò)散,那么根據(jù)式〔〕有：穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散近似處理方法和Wagner較精確解法的計(jì)算結(jié)果還是比較接近的。假設(shè)直接用脫碳公式:那么誤差較大

UJS—DaiQX2)由原始兩相混合物生成單相原始狀態(tài)為二相混合物時(shí)〔如鋼的滲碳和脫碳〕可能有四種情況.UJS—DaiQX分析0<x<l，邊界條件：C2(0,t)=CS.界面l處,局部平衡為：

在界面處的質(zhì)量平衡為：先求得β,假設(shè)D、t，就能計(jì)算l值.和前面同樣的方法根據(jù)初始條件和邊界條件得：UJS—DaiQX4正弦函數(shù)解

一般式為：設(shè)周波長(zhǎng)為，振幅，那么擴(kuò)散引起的衰減函數(shù)為：UJS—DaiQX

圖正弦分布的濃度曲線隨時(shí)間的變化UJS—DaiQX【例2.10】有兩相同材料的試樣，組織呈正弦分布.把其中一個(gè)試樣進(jìn)行塑性變形，使厚度變?yōu)樵瓉?lái)的1/10，其濃度變化的波長(zhǎng)也被壓縮為原來(lái)的1/10。這兩試樣在某溫度下經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t后，發(fā)現(xiàn)經(jīng)塑性變形試樣的濃度振幅已衰減為原來(lái)的1/10。那么另一個(gè)試樣的振幅下降多少？解：設(shè)原試樣濃度波長(zhǎng)為a，經(jīng)壓縮變形試樣的振幅是：取對(duì)數(shù):UJS—DaiQX計(jì)算結(jié)果說(shuō)明沒(méi)有經(jīng)過(guò)變形的試樣，其濃度振幅只下降了2.3%。另一個(gè)試樣的濃度振幅下降為：UJS—DaiQX【例2.11】有一錳鋼，在退火前錳的偏析程度為0.6%。假設(shè)枝晶偏析平均距離。希望將錳的偏析程度降低到0.4%，問(wèn)在1100℃擴(kuò)散退火需多長(zhǎng)時(shí)間？解：由有關(guān)圖或數(shù)據(jù)查得在1100℃錳在鋼中的擴(kuò)散系數(shù)為因?yàn)樗訳JS—DaiQX【例2.12】一種低含碳量的18-8型奧氏體不銹鋼試樣在1000℃進(jìn)行熱處理，不幸在開始的一分鐘內(nèi)保護(hù)氣氛失效，以致于在鋼的外表發(fā)生了滲碳。假設(shè)氣氛為恒定的碳勢(shì)，滲碳對(duì)不銹鋼外表的碳含量可到達(dá)1.2%〔質(zhì)量分?jǐn)?shù)〕。但在不銹鋼中允許的碳含量應(yīng)小于0.04%。碳的擴(kuò)散系數(shù)為D〔1000℃〕=3×10-7cm2/s。1〕假設(shè)原含碳量為0，由于碳的有害作用是由表向里的，試求滲碳一分鐘后，使試樣外表層的性能受到損害的深度是多少?2〕在一分鐘后，保護(hù)氣氛立即恢復(fù)了作用，保護(hù)氣氛與不銹鋼之間沒(méi)有碳的交換。在1000℃長(zhǎng)期保溫后，開始一分鐘內(nèi)所吸收的碳會(huì)擴(kuò)散到鋼的內(nèi)部。問(wèn)：在保溫期間，使鋼外表層內(nèi)含碳量達(dá)0.04%的最大深度是多少?3〕假設(shè)使碳在表層中的有害作用完全消除，問(wèn)至少要保溫多長(zhǎng)時(shí)間?UJS—DaiQX解：1〕因?yàn)榧僭O(shè)是在恒定碳勢(shì)下滲碳一分鐘，所以就可以用誤差函數(shù)解來(lái)求得深度。計(jì)算結(jié)果：滲碳一分鐘后，使試樣外表層的性能受到損害的深度是。UJS—DaiQX2〕長(zhǎng)期保溫時(shí)，外表吸收的碳會(huì)向內(nèi)部擴(kuò)散。但在一定范圍內(nèi)，在x1深度處的濃度值是變化的。假設(shè)令，那么可求得到達(dá)最高濃度時(shí)所需的時(shí)間。然后，再可求得最高濃度值與深度之間的關(guān)系，從而求得最大深度。擴(kuò)散時(shí)的表層濃度變化如下圖。圖經(jīng)過(guò)不同t處理后的濃度分布圖經(jīng)過(guò)不同t后在x1處的濃度值

UJS—DaiQX根據(jù)實(shí)際情況,可近似用高斯解來(lái)求解這問(wèn)題.因此,S值可由前述的公式積分求得：近似處理，可直接用平均擴(kuò)散距離x2=2Dt代入高斯解求得

UJS—DaiQX代入有關(guān)數(shù)據(jù)后，可得：計(jì)算結(jié)果：在保溫期間，使鋼外表層內(nèi)含碳量達(dá)0.04%的最大深度是。比剛開始時(shí)的增大了幾倍.注意計(jì)算S時(shí)的時(shí)間t0為1min.UJS—DaiQX3〕假設(shè)使表層中碳的有害作用完全消除，那么要求x=0處的碳濃度要小于0.04%。隨著擴(kuò)散的進(jìn)行，表層的碳濃度逐漸下降，只要表層碳濃度小于0.04%，那么其它地方就沒(méi)有問(wèn)題了。仍然用高斯解，并且設(shè)x=0，所以：代入數(shù)據(jù)后，計(jì)算可得t=21875s=6.08h。計(jì)算結(jié)果：使碳在表層中的有害作用完全消除，至少要保溫6小時(shí)。

UJS—DaiQX