等腰三角形 同步練習(xí)題 人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊

13.3.1等腰三角形同步練習(xí)題2021-2022學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊一、選擇題1．已知一個(gè)等腰三角形的頂角為30°，則它的一個(gè)底角等于()A．30° B．75° C．150° D．125°2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在CA的延長線上，DE⊥BC于點(diǎn)E，∠BAC＝100°，則∠D＝()A．40° B．50° C．60° D．80°3．如圖，下列條件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD D．AD⊥BC，BD＝CD4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則∠ACD的度數(shù)是()A．50° B．40° C．30° D．20°5．如圖，AD是等腰△ABC的頂角平分線，BD＝5，則CD等于()A．10 B．5 C．4 D．36．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是()A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°7．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足為D，交BC于點(diǎn)E.若∠B＝32°，AC＝CE，則∠C的度數(shù)是()A．52° B．55° C．60° D．65°8．如圖是鋼架的一部分，為使鋼架更加堅(jiān)固，在其內(nèi)部添加了一些鋼管DE，EF，F(xiàn)G，…，添加的這些鋼管的長度都與BD的長度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加這樣的鋼管的根數(shù)最多是()A．7 B．8 C．9 D．10二、填空題9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D.若∠BAC＝70°，則∠BAD＝_____．10．定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的特征值．若在等腰△ABC中，∠A＝70°，則它的特征值k＝_____．11．如圖，△ABC的周長為18，且AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，△ACD的周長為12，那么AD的長為_____．12．如圖，已知點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)(即P可在射線ON上運(yùn)動(dòng))，∠AON＝45°，當(dāng)∠A＝__________時(shí)，△AOP為等腰三角形．13．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以40海里/時(shí)的速度向正北方向航行，2小時(shí)后到達(dá)位于燈塔P的北偏東40°方向的N處，則N處與燈塔P的距離為_____．14.如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中的外角∠ACM的平分線CF相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DF∥BC，,交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則BD，CE，DE之間存在的數(shù)量關(guān)系是_____三、解答題15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E.求證：∠CBE＝∠BAD.16．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，BD與CE相交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三個(gè)條件中，由哪兩個(gè)條件可以判定△ABC是等腰三角形？(將所有成立的情形用序號(hào)寫出來)(2)請選擇(1)中的一種情形，寫出證明過程．17．如圖，AB＝AC，點(diǎn)E在AB上，DE⊥BC于點(diǎn)D，交CA的延長線于點(diǎn)F.求證：△AEF是等腰三角形．18．已知：如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求證：(1)∠1＝∠2；(2)OA⊥BC.19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.(1)△AEF與△CEB全等嗎？請說明理由；(2)說明AF＝2BD的理由．20．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D不與B，C兩點(diǎn)重合)，連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E.(1)當(dāng)∠BDA＝115°時(shí)，∠BAD＝_____；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變_____(填“大”或“小”)；(2)當(dāng)△ABD≌△DCE時(shí)，求CD的長；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀也在改變，當(dāng)∠BDA＝110°時(shí)，請判斷△ADE的形狀，并證明．21．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，AD＝AE，不難發(fā)現(xiàn)BD與CE的關(guān)系．(1)將△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，直接寫出BD與CE的關(guān)系；(2)當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，將△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置．①猜想BD與CE有什么關(guān)系？請就圖3的情形進(jìn)行證明；②當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線上時(shí)，直接寫出∠ADB的度數(shù)．參考答案13.3.1等腰三角形同步練習(xí)題2021-2022學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊一、選擇題1．已知一個(gè)等腰三角形的頂角為30°，則它的一個(gè)底角等于(B)A．30° B．75° C．150° D．125°2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在CA的延長線上，DE⊥BC于點(diǎn)E，∠BAC＝100°，則∠D＝(B)A．40° B．50° C．60° D．80°3．如圖，下列條件不能推出△ABC是等腰三角形的是(C)A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD D．AD⊥BC，BD＝CD4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則∠ACD的度數(shù)是(D)A．50° B．40° C．30° D．20°5．如圖，AD是等腰△ABC的頂角平分線，BD＝5，則CD等于(B)A．10 B．5 C．4 D．36．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是(D)A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°7．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足為D，交BC于點(diǎn)E.若∠B＝32°，AC＝CE，則∠C的度數(shù)是(A)A．52° B．55° C．60° D．65°8．如圖是鋼架的一部分，為使鋼架更加堅(jiān)固，在其內(nèi)部添加了一些鋼管DE，EF，F(xiàn)G，…，添加的這些鋼管的長度都與BD的長度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加這樣的鋼管的根數(shù)最多是(B)A．7 B．8 C．9 D．10二、填空題9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D.若∠BAC＝70°，則∠BAD＝35°．10．定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的特征值．若在等腰△ABC中，∠A＝70°，則它的特征值k＝eq\f(14,11)或eq\f(4,7)．11．如圖，△ABC的周長為18，且AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，△ACD的周長為12，那么AD的長為3．12．如圖，已知點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)(即P可在射線ON上運(yùn)動(dòng))，∠AON＝45°，當(dāng)∠A＝45°或67.5°或90°時(shí)，△AOP為等腰三角形．13．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以40海里/時(shí)的速度向正北方向航行，2小時(shí)后到達(dá)位于燈塔P的北偏東40°方向的N處，則N處與燈塔P的距離為80海里．14.如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中的外角∠ACM的平分線CF相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DF∥BC，,交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則BD，CE，DE之間存在的數(shù)量關(guān)系是BD＝CE＋DE．)三、解答題15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E.求證：∠CBE＝∠BAD.證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴∠ABD＝∠C，AD⊥BC.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADB＝90°.∴∠C＋∠CBE＝∠ABD＋∠BAD＝90°.∴∠CBE＝∠BAD.16．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，BD與CE相交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三個(gè)條件中，由哪兩個(gè)條件可以判定△ABC是等腰三角形？(將所有成立的情形用序號(hào)寫出來)(2)請選擇(1)中的一種情形，寫出證明過程．解：(1)①②；①③.(2)選①③，證明如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠EBO＝∠DCO，且∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．17．如圖，AB＝AC，點(diǎn)E在AB上，DE⊥BC于點(diǎn)D，交CA的延長線于點(diǎn)F.求證：△AEF是等腰三角形．證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠BDE＝∠CDF＝90°.∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BED＝90°.∴∠BED＝∠F.又∵∠AEF＝∠BED，∴∠F＝∠AEF.∴AF＝AE.∴△AEF是等腰三角形．18．已知：如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求證：(1)∠1＝∠2；(2)OA⊥BC.證明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ABO＝∠ACO，∴∠1＝∠2.(2)∵∠1＝∠2，∴OB＝OC.在△ABO和△ACO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠ABO＝∠ACO，,OB＝OC，))∴△ABO≌△ACO(SAS)．∴∠BAO＝∠CAO.∴AO平分∠BAC.∵△ABC是等腰三角形，∴OA⊥BC.19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.(1)△AEF與△CEB全等嗎？請說明理由；(2)說明AF＝2BD的理由．解：(1)全等．理由：∵AD⊥BC，∴∠B＋∠EAF＝90°.∵CE⊥AB，∴∠B＋∠BCE＝90°，∠AEF＝∠CEB＝90°.∴∠EAF＝∠ECB.又∵EF＝BE，∴△AEF≌△CEB(AAS)．(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AF＝2CD.20．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D不與B，C兩點(diǎn)重合)，連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E.(1)當(dāng)∠BDA＝115°時(shí)，∠BAD＝25°；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變小(填“大”或“小”)；(2)當(dāng)△ABD≌△DCE時(shí)，求CD的長；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀也在改變，當(dāng)∠BDA＝110°時(shí)，請判斷△ADE的形狀，并證明．解：(2)∵△ABD≌△DCE，∴CD＝AB＝2.(3)當(dāng)∠BDA＝110°時(shí)，△ADE是等腰三角形．證明：∵∠BDA＝110°，∴∠ADC＝70°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°.∴∠DAC＝70°.在△ADE中，∠ADE＝40°，∠DAE＝70°，∴∠AED＝180°－40°－70°＝70°.∴∠AED＝∠DAE.∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．21．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，AD＝AE，不難發(fā)現(xiàn)BD與CE的關(guān)系．(1)將△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，直接寫出BD與CE的關(guān)系；(2)當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，將△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置．①猜想BD與CE有什么關(guān)系？請就圖3的情形進(jìn)行證明；②當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線上時(shí)，直接寫出∠ADB的度數(shù)．解：(1)BD＝CE.(2)①BD＝CE，BD⊥CE，證明：記BD與AC的交點(diǎn)為F，與CE的交點(diǎn)為M，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.∵∠BAC＝90°，∠AFB＝∠MFC，∴∠FMC＝∠BAC＝90°.∴BD⊥CE.②∠ADB的度數(shù)為45°或135°15．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且