講連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與致連續(xù)性

1010第講

閉區(qū)間上連函數(shù)的整體質(zhì)與一致連授題教內(nèi)教學(xué)目的和求教學(xué)重點(diǎn)及點(diǎn)教學(xué)方法及教材處理示

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)與一致連續(xù)連函數(shù)的局部性質(zhì)，2.區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理，有界性定理，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性定理，零點(diǎn)定理反函數(shù)的連續(xù)性，函的一致連續(xù)性．通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生能夠較好地理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，熟練地應(yīng)用零點(diǎn)定理討論方程根地問題；對(duì)較好學(xué)要求他們能理解函數(shù)的一致連續(xù)性.教學(xué)重點(diǎn)：零點(diǎn)定理，函數(shù)的一致連續(xù)性；教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的一致連續(xù)性雖閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)（最大最小值定理，有界性定理，介值性定理不能作出證明，可以通過連續(xù)函數(shù)的直觀圖像來加以說明，幫助學(xué)生理解這些性質(zhì)。零定理是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容且應(yīng)用較廣，除要給出完整的證明過程外，還要布置相的練習(xí)題。本的難點(diǎn)是函數(shù)的一致連續(xù)性，在此對(duì)較好學(xué)生布置判別函數(shù)一致連續(xù)性的題．作布

作業(yè)內(nèi)容：教材

81

:6，9，，，，19.講授內(nèi)容一、連函數(shù)的局部質(zhì)定4.1(局部有界性)若函數(shù)f在x連續(xù)，則在U0

0

內(nèi)有界．定(局部保號(hào)性)若函數(shù)

f

在點(diǎn)

x

0

連續(xù)，且

f

0

(或)，對(duì)任何正數(shù)

rf

0

(或r0

)，存在某

U0

，使得對(duì)一切

xU0

，

或

）注用局部保號(hào)性時(shí)

r

12

f00

時(shí)在某

U0

使在其內(nèi)有

f2二、閉間上連續(xù)函的基本質(zhì)定設(shè)

f

為定義在數(shù)集

D

上的函數(shù)．若存在

xD0

，使得對(duì)一切

xD

有f00

，則稱在上最大(小)值，并稱

f

0

為在上最大最小值．定4.6(最大、最小值定若函數(shù)f在區(qū)間

f在最小值．推(有界性定理)若數(shù)

f

在閉區(qū)間

f

在

定(值性定理設(shè)數(shù)f在閉區(qū)間

f間的任何實(shí)數(shù)

(f

f

f

x0

0

./

推(根的存在定理)若函數(shù)在區(qū)間

f

f

)，則至少存在一點(diǎn)

x0

0

，即方程

f這個(gè)推論的幾何解釋如圖—3所示若

分別在

軸的兩側(cè)則接

、

的連續(xù)曲線

yf一交點(diǎn)．應(yīng)用介值性定理還易推得連續(xù)函數(shù)的下述性質(zhì)

f

在區(qū)間

I

上連續(xù)且不是常量函數(shù)域

f也是一個(gè)區(qū)間特別

I

為閉區(qū)間

M

最小值為

m

則

f例3證明：若r，n為整數(shù)，則存在唯一正數(shù)x，得0

n0

r(x稱為r的n次正根即算術(shù)根，0r記作)．0證先證存在性于當(dāng)

x

時(shí)有

x存在正數(shù)使得a

因

f上連續(xù)，并有

f存在一點(diǎn)

x0

0

x

n0

．再證唯一性．設(shè)正數(shù)x使得x

，則有

n0

1

01

n011

，由于第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)為正，所以只能

x01

，即

x1

0

例4設(shè)f在

f

x0

0

x

0

證由件

f

x

，特別有

以及

f

．若

af或而0

af

，則

F

．故由根的存在性定理，存在

x0

0

，即

f

0

x0從本例的證明過程可見，在應(yīng)用介值性定理或根的存在性定理證明某些問題時(shí)，選取合適的輔函如/

n1n1在本例中令

F

)，可收到事半功倍的效果．三、反數(shù)的連續(xù)性定4.8若數(shù)f在續(xù)則函數(shù)

f

在其定義域

續(xù)．例5

由于

yx

在區(qū)間

2

上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，故其反函數(shù)x區(qū)間同理可得其它反三角函數(shù)也在相應(yīng)的定義區(qū)間上連續(xù)arccos

在

yx

在

上連續(xù)等．例

由于y(為正整數(shù))在

[0,

1上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，故y在

上連續(xù)．又若把1yx

(為正整)看作由

1yu與

1x

復(fù)合而成的函數(shù)，則

1yx

在

1綜上可知，若

為非零整數(shù)，則

q

是其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)．例

證明：有理冪函數(shù)

yx

在其定義區(qū)間上連續(xù)．證設(shè)有理數(shù)

這

pqu

1q

與x在其定義區(qū)間上連續(xù)以復(fù)合函數(shù)

x

x

也是其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。四、一連續(xù)性函數(shù)

f

在區(qū)間上連續(xù)，是指

f

在該區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)．本段中討論的一致連續(xù)性概念反映了函數(shù)在區(qū)間上更強(qiáng)的連續(xù)性．定2設(shè)

f

為定義在區(qū)間

I

上的函數(shù)．若對(duì)任給

，在

0

，使得對(duì)任何

x

，只要：

，則稱函數(shù)在區(qū)間I上一連．例

證明

f

上一致連續(xù)．證任

0

，由于

f

ax

，可選取

a

，則對(duì)任何

x

只要

．所以

f

上一致連續(xù)．例9證明函數(shù)

y

1x

在

管在

．/

證按一致連續(xù)性的定義，為證函數(shù)f在某區(qū)間I上一致連續(xù)，只須證明：存在某

0

0

，對(duì)任何正數(shù)

(不論

多么小，總存在兩點(diǎn)

x

，盡管

，但有

f

0

.對(duì)于函數(shù)

y

1x

，可取

0

1，對(duì)無論多么小的正數(shù)要2x

x

（圖雖有x22

，但

1xx

，所以

y

1x

在

定4.9(一致連續(xù)性定若數(shù)

f

在閉區(qū)間

f

在

[b

]上一致連續(xù)．例10設(shè)間I的端點(diǎn)為

cI

，區(qū)間I的端點(diǎn)也為

cI(II

可分別為有限或無限區(qū)間．試按一致連續(xù)性的定義證明：若分在I和I上致連續(xù)，則f在II2

I

上也一致連續(xù)．證任給

0

，由

f

在

I

和

I

上的一致連續(xù)性，分別存在正數(shù)

和

，使得對(duì)任何

x

，只要

1

，就有

f

；（）又對(duì)任何

x

，只要

2

，也有）式成立．點(diǎn)

x

作為

I

的右端點(diǎn)，

f

在點(diǎn)

為左連續(xù)，作為

I

的左端點(diǎn)，

f

在點(diǎn)

為右連續(xù)，所以

f

在點(diǎn)

連續(xù)．故對(duì)上述

，存在

3

，當(dāng)

3

時(shí)有

f

2

．（）令

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