09-13全國(guó)大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題及答案(非數(shù)學(xué)類)-無(wú)答案

09-13全國(guó)大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題及答案(非數(shù)學(xué)類)-無(wú)答案LtD四、（15分）已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）.五、（10分）已知，，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求此微分方程.六、（10分）設(shè)拋物線過(guò)原點(diǎn).當(dāng)時(shí),,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.七、（15分）已知滿足,且,求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和.八、（10分）求時(shí),與等價(jià)的無(wú)窮大量.2010年第二屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷一、（25分，每小題5分）（1）設(shè)其中求（2）求。（3）設(shè)，求。（4）設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，求。（5）求直線與直線的距離。二、（15分）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且且存在一點(diǎn)，使得。三、（15分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線與在出相切，求函數(shù)。四、（15分）設(shè)證明：（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)且時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。五、（15分）設(shè)是過(guò)原點(diǎn)、方向?yàn)椋ㄆ渲械闹本€，均勻橢球，其中（密度為1）繞旋轉(zhuǎn)。（1）求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)于方向的最大值和最小值。六、(15分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意光滑的簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值為常數(shù)。（1）設(shè)為正向閉曲線證明（2）求函數(shù)；（3）設(shè)是圍繞原點(diǎn)的光滑簡(jiǎn)單正向閉曲線，求。2011年第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷計(jì)算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分）（1）.求；（2）.求；（3）已知，求。二．（本題10分）求方程的通解。三．（本題15分）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且均不為0，證明：存在唯一一組實(shí)數(shù)，使得。四．（本題17分）設(shè)，其中，，為與的交線，求橢球面在上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值。五．（本題16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部分（）取上側(cè)，是S在點(diǎn)處的切平面，是原點(diǎn)到切平面的距離，表示S的正法向的方向余弦。計(jì)算：（1）；（2）六．（本題12分）設(shè)f(x)是在內(nèi)的可微函數(shù)，且，其中，任取實(shí)數(shù)，定義證明：絕對(duì)收斂。七．（本題15分）是否存在區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)f(x)，滿足，？請(qǐng)說(shuō)明理由。第四屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷一、（本大題共5小題，每小題6分共30分）解答下列個(gè)體（要求寫出要求寫出重要步驟）(1)求極限(2)求通過(guò)直線的兩個(gè)互相垂直的平面和，使其中一個(gè)平面過(guò)點(diǎn)。(3)已知函數(shù)，且。確定常數(shù)和，使函數(shù)滿足方程(4)設(shè)函數(shù)連續(xù)可微，，且在右半平面與路徑無(wú)關(guān)，求。(5)求極限二、（本題10分）計(jì)算三、求方程的近似解，精確到0.001.四、（本題12分）設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，，，求，其中是曲線上點(diǎn)處的切線在軸上的截距。五、（本題12分）求最小實(shí)數(shù)，使得滿足的連續(xù)函數(shù)都有六、（本題12分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，。區(qū)域是由拋物面和球面所圍起來(lái)的部分。定義三重積分求的導(dǎo)數(shù)七、（本題14分）設(shè)與為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，證明：（1）若，則級(jí)數(shù)收斂；（2）若，且級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷解答下列各題（每小題6分共24分，要求寫出重要步驟）1.求極限.2.證明廣義積分不是絕對(duì)收斂的3.設(shè)函數(shù)由確定，求的極值。4.過(guò)曲線上的點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形的面積為，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。二、（滿分12）計(jì)算定積分三、（滿分12分）設(shè)在處存在二階導(dǎo)數(shù)，且。證明：級(jí)數(shù)收斂。四、（滿分12分）設(shè)，證明五、（滿分14分）設(shè)是一個(gè)光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分。試確定曲面，使積分I的值最小，并求該最小值。六、（滿分14分）設(shè)，其中為常數(shù)，曲線C為橢圓，取正向。求極限七（滿分14分）判斷級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，求其和。五、向量代數(shù)和空間解析幾何

1.

向量的概念、向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積和向量積、向量的混合積.

2.

兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.

3.

向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算、單位向量、方向數(shù)與方向余弦.

4.

曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.

5.

平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離.

6.

球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.

7.

空間曲線的參數(shù)方程和一般方程、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程.Ⅲ、解析幾何部分

一、向量與坐標(biāo)

1.向量的定義、表示、向量的線性運(yùn)算、向量的分解、幾何運(yùn)算.

2.坐標(biāo)系的概念、向量與點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的代數(shù)運(yùn)算.

3.向量在軸上的射影及其性質(zhì)、方向余弦、向量的夾角.

4.向量的數(shù)量積、向量積和混合積的定義、幾何意義、運(yùn)算性質(zhì)、計(jì)算方法及應(yīng)用.

5.應(yīng)用向量求解一些幾何、三角問(wèn)題.

二、軌跡與方程

1.曲面方程的定義：普通方程、參數(shù)方程(向量式與坐標(biāo)式之間的互化)及其關(guān)系.

2.空間曲線方程的普通形式和參數(shù)方程形式及其關(guān)系.

3.建立空間曲面和曲線方程的一般方法、應(yīng)用向量建立簡(jiǎn)單曲面、曲線的方程.

4.球面的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程.

三、平面與空間直線

1.平面方程、直線方程的各種形式，方程中各有關(guān)字母的意義.

2.從決定平面和直線的幾何條件出發(fā)，選用適當(dāng)方法建立平面、直線方程.

3.根據(jù)平面和直線的方程，判定平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關(guān)系.

4.根據(jù)平面和直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)判定有關(guān)點(diǎn)、平面、直線之間的位置關(guān)系、計(jì)算他們之間的距離與交角等；求兩異面直線的公垂線方程.

四、二次曲面

1.柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的定義，求柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

2.橢球面、雙曲面與拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程和主要性質(zhì)，根據(jù)不同條件建立二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.單葉雙曲面、雙曲拋物面的直紋性及求單葉雙曲面、雙曲拋物面的直母線的方法.

4.根據(jù)給定直線族求出它表示的直紋面方程，求動(dòng)直線和動(dòng)曲線的軌跡問(wèn)題.