平行四邊形全章練習(xí)題-提高

平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理.掌握三角形的中位線定理.了解多邊形的定義以及內(nèi)角、外角、對角線等概念.掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展推理能力.知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、平行四邊形的定義平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作"口ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.要點詮釋：平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心.要點二、平行四邊形的性質(zhì)定理平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角線互相平分；要點詮釋（1）平行四邊形的性質(zhì)定理中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時根據(jù)需要進(jìn)行選擇.（3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決.要點三、平行四邊形的判定定理兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點詮釋：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個行四邊形時，應(yīng)選擇較簡單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).要點四、平行線間的距離1.兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.2．平行線性質(zhì)定理及其推論夾在兩條平行線間的平行線段相等.平行線性質(zhì)定理的推論：夾在兩條平行線間的垂線段相等.BZ>BZ>FH要點五、三角形的中位線三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.要點詮釋(1)三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.(2)三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的1，每個小三角形的面積為原三角形2面積的1.4三角形的中位線不同于三角形的中線.要點六、多邊形內(nèi)角和、外角和n邊形的內(nèi)角和為(n-2)?180°(n>3).要點詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(n—2)-180°(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于——)；n多邊形的外角和為360°.n邊形的外角和恒等于360°,它與邊數(shù)的多少無關(guān).典型例題】類型一、平行四邊形的性質(zhì)與判定1、（2015?海淀區(qū)二模）如圖1,在MBC中，AB=AC,zABC=a,D是BC邊上一點，以AD為邊作△ADE，使AE二AD,zDAE+zBAC=180°.（1）直接寫出zADE的度數(shù)（用含a的式子表示）；（2）以AB,AE為邊作平行四邊形ABFE,如圖2,若點F恰好落在DE上，求證：BD=CD;如圖3,若點F恰好落在BC上，求證：BD=CF.A遲衛(wèi)ECB占DA遲衛(wèi)ECB占DF圖3［思路點撥（1由在MBC中AB二ACzABC二a可求得zBAC=180°-2a又由AE=AD,zDAE+zBAC=180°,可求得zDAE=2a,繼而求得zADE的度數(shù)；（2）①由四邊形ABFE是平行四邊形，易得zEDC=zABC=a,則可得zADC=zADE+zEDC=90°,證得AD丄BC,又由AB=AC,根據(jù)三線合一的性質(zhì)，即可證得結(jié)論；②由在△ABC中，AB=AC,zABC=a,可得zB=zC=a,四邊形ABFE是平行四邊形，可得AEllBF,AE=BF.即可證得：zEAC二zC二a,又由（1）可證得AD=CD，又由AD=AE=BF,證得結(jié)論.【答案與解析】解：（1）.在^ABC中，AB=AC,zABC=a,???zBAC=180°-2a,???zDAE+zBAC=180°,.?.,DAE=2a,???AE二AD,???/ADE=90°-a;（2）①證明：?四邊形ABFE是平行四邊形，???ABllEF.?zEDC=zABC=a,由（1）知,zADE=90°-a,?zADC=zADE+zEDC=90°,?AD丄BC.?AB=AC，?BD=CD；②證明：tAB二AC,zABC二a,?zC=zB=a.??四邊形ABFE是平行四邊形，?AElBF,AE=BF.?zEAC=zC=a,由（1）知,zDAE=2a,?zDAC=a,?zDAC=zC.?AD=CD.?AD=AE=BF,?BF=CD.【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)與判定．注意（2）①中證得AD丄BC是關(guān)鍵（2）②中證得AD=CD是關(guān)鍵.舉一反三：【變式】分別以口ABCD（zCDA/90°）的三邊AB,CD,DA為斜邊作等腰直角三角形，△ABE，XDG，^ADF.（1）如圖1,當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時，連接GF，EF.請判斷GF與EF的關(guān)系并證明）；（2）如圖2,當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時，連接GF，EF,（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.答案】解：（1）GF丄EF,GF二EF成立；???四邊形ABCD是平行四邊形，?AB二CD,zDAB+ZADC二180°,???△ABE,aCDG,aADF都是等腰直角三角形，?DG二CG二AE二BE,DF二AF,zCDG=zADF=zBAE二45°,?zGDF=zGDC+zCDA+zADF二90°+zCDA,zEAFzEAF二360°-zBAE-zDAF-zBAD二270°-(180°-zCDA)二90°+上CDA，???zFDG二zEAF,??在"AF和aGDF中，'DF二AF<ZFDG=ZFAE,DG=AE?△EAF^^GDF(SAS),?EF二FG,zEFA二zDFG，即zGFD+zGFA二zEFA+zGFA,???zGFE二90°,?GF丄EF;(2)GF丄EF,GF二EF成立；理由：???四邊形ABCD是平行四邊形，?AB二CD,zDAB+zADC二180°,???△ABE,aCDG,aADF都是等腰直角三角形，DG二CG二AE二BE,DF二AF,zCDG二zADF二zBAE二45°,?zBAE+zFAD+zEAF+zADF+zFDC二180°,?zEAF+zCDF二45°,?zCDF+zFDG二45°,?zFDG二zEAF,??在^EAF和aGDF中，'DF=AF<ZFDG=ZFAE,DG=AE△EAF^^GDF(SAS),???EF二FG,zEFA二zDFG，即zGFD+zGFA=zEFA+zGFA,???/GFE二90°,?GF丄EF.02、如圖，點D是MBC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）?以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APgBE（點P、E在直1線AB的同側(cè)），如果BD二—AB,那么/BC的面積與MBC面積之比為（）4A.4B.5C.54GFA.4B.5C.54GF答案與解析】解：過點P作PHIIBC交AB于H,連接CH,PF,???APgBE,?四邊形APEB是平行四邊形，?PEllAB,PE二AB,??四邊形BDEF是平行四邊形，?EFllBD,EF二BD,即EFIAB,?P,E,F共線,設(shè)BD二a「BD二1AB,「.PE二AB二4a4則PF二PE-EF二3a,???PHllBC,???SS,△HBC△PBC???PFllAB,?四邊形BFPH是平行四邊形，.?EH二PF二3a,tS:S二BH:AB二3a:4a=3:4,△HBC△ABC?S:S=3:4．△PBC△ABC【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)與三角形面積比的求解方法．此題難度較大，注意準(zhǔn)確作出輔助線，注意等高三角形面積的比等于其對應(yīng)底的比．舉一反三：【變式】已知△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,分別以AB、AC、BC為一邊在BC邊同側(cè)作正△ABD、正△ACE和正aBCF,求以A、E、F、D四點為頂點圍成的四邊形的面積．F答案】證明：tAB二3,AC二4,BC二5,z1+zFBA=z2+zFBA=60°z1+zFBA=z2+zFBA=60°az1=z2易證△BAC^BDF（SAS）,.?OF二AC二AE二4，上BDF二90°同理可證BACmFEC???AB二AD二EF二3.四邊形AEFD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）???DFllAE,DF丄BD延長EA交BD于H點，AH丄BD,則H為BD中點3?平行四邊形AEFD的面積二DFxDH二4x—二6.2O3、在平行四邊形ABCD中，點A],A2,A3,A4和C],C2,C3,C4分別AB和CD的五等分點，點B],B2和D],D2分別是BC和DA的三等分點，已知四邊形A4B2C4D2的面積為1,則平行四邊形ABCD面積為（）35A.2B.C.D.1553A人AsA3A4R【思路點撥】可以設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S,根據(jù)等分點的定義利用平行四邊形ABCD的面積減去四個角上的三角形的面積，就可表示出四邊形A4B2C4D2的面積，從而得解析】解：設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S,設(shè)AB二5a,BC二3b?AB邊上的高是3x，BC邊上的高是5y．S二3b?5八即ax二by二1514△AA4D2與aB2CC4全等，B2C二3BC二b,B2C邊上的高是丁?5y二4y.2S則aAA4D2和^2^4的面積是2by二S同理92c4d與m4BB2的面積是厲?2S2SSS9S9S則四邊形A4b2C4D2的面積是^話-忑-!5-15二15，即154解得S二5.3【總結(jié)升華】考查平行四邊形的性質(zhì)和三角形面積計算，正確利用等分點的定義，得到兩個四邊形的面積的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．類型二、三角形的中位線、如圖,^ABC的周長為26,點D,E都在邊BC上,zABC的平分線垂直于AE,垂足為Q,zACB的平分線垂直于AD，垂足為P,垂足為Q,zACB的平分線垂直于AD，垂足為P,若BC二10,則PQ的長為（）A.2B.2C.3D.4【答案】C；【解析】解：易證aABQmEBQ,AB二BE,Q為AE中點，△ACP竺^DCPAC二CD,P為AD中點，1???PQllDEFQ二DE,???AB+AC+BC二26,BC二10,?AB+AC二BE+CD二16二BD+DE+DE+EC二BC+DE,1?DE二6,PQ二DE二3.2【總結(jié)升華本題考查了三角形的中位線定理及等腰三角形的判定,注意培養(yǎng)自己的敏感性,一般出現(xiàn)高、角平分線重合的情況,都需要找到等腰三角形．類型三、多邊形內(nèi)角和與外角和C5、若一個多邊形的每個外角都等于60°,則它的內(nèi)角和等于()A．180°B．720°C．1080°D．540°【思路點撥】由一個多邊形的每個外角都等于60°,根據(jù)n邊形的外角和為360°計算出多邊形的邊數(shù)n，然后根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理計算即可.【答案】B；【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,???多邊形的每個外角都等于60°,n二360760°二6,??這個多邊形的內(nèi)角和二(6-2)x180°二720°.C.C.甲正確，乙錯誤D.甲錯誤，乙正確【總結(jié)升華】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和二（n-2）?180°；也考查了n邊形的外角和為360°.舉一反三：【變式】（2016秋?小金縣校級期末）一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，且一個外角比一個內(nèi)角大60°，求這個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)及邊數(shù).【答案】解：設(shè)內(nèi)角是X。，外角是y°,則得到一個方程組；y-X二60,[x+y二180解得F二60.1y=120而任何多邊形的外角是360°，則多邊形中外角的個數(shù)是360-120=3,故這個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是60°，邊數(shù)是三邊形.C6、甲、乙兩人想在正五邊形ABCDE內(nèi)部找一點P，使得四邊形ABPE為平行四邊形，其作法如下：（甲）連接BD、CE，兩線段相交于P點，則P即為所求（乙）先取CD的中點M，再以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AM于P點，則P即為所求.對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）A.兩人皆正確B.兩人皆錯誤【思路點撥】求出五邊形的每個角的度數(shù)，求出zABPs【思路點撥】求出五邊形的每個角的度數(shù)，求出zABPszAEPszBP啲度數(shù)，根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可．AB二BC二CD二DE二AE,1azDEC=zDCE=x(180°-108°)二36°,2同理zCBD=zCDB=36°,???/ABP二zAEP二108°-36°二72°,azBPE=