3.2.2 奇偶性（教學(xué)課件） 高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊(cè)）

3.2.2奇偶性第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)人教A版2019必修第一冊(cè)03判斷函數(shù)奇偶性目錄01.偶函數(shù)的概念和性質(zhì)02.奇函數(shù)的概念和性質(zhì)04奇偶性的性質(zhì)與應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2、學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性，提升直觀想象的核心素養(yǎng)；3、學(xué)會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性，強(qiáng)化邏輯推理的核心素養(yǎng)；4.在具體問題情境中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，利用奇偶性解決函數(shù)性質(zhì)的總個(gè)問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。生活中的對(duì)稱情景引入1.偶函數(shù)的概念和性質(zhì)在平面直角坐標(biāo)系中，利用描點(diǎn)法作出函數(shù)和的圖象并觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象，總結(jié)出它們的共同特征。xyo12345-1123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=x2……9410149x…-3-2-10123…f(x)=|x|……-101210-1xyo12345-1123-1-2-3圖象關(guān)于y軸對(duì)稱f(-1)f(1)f(-2)f(2)f(-3)f(3)===-xx(x.f(x))(-x,f(-x))f(-x)f(x)???=任意一點(diǎn)x-3-2-10123f(x)=x2g(x)=2-|x|不妨取自變量的一些特殊值，觀察相應(yīng)函數(shù)值的情況，如下表：可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)相等.9410149-101210-1

觀類比函數(shù)的單調(diào)性,你能用符號(hào)語言精確描述“函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱”的這種特征嗎？（自變量與函數(shù)值之間的變化關(guān)系？）函數(shù)f(x)=x2,x∈[-2,2]是偶函數(shù)嗎？函數(shù)g(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函數(shù)嗎？是偶函數(shù)不是偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．偶函數(shù)f(x)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．?x∈I，f(－x)=f(x)

圖像關(guān)于y軸對(duì)稱代數(shù)特征幾何特征?x∈I，都有－x∈I定義域I關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱-aaOO-aaOa-ab-b2.奇函數(shù)的概念和性質(zhì)

觀察函數(shù)和的圖象，并完成下面的兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表，你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)有什么共同特征嗎？圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

這兩個(gè)函數(shù)的圖像都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.x-3-2-10123f(x)=x

為了用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述這一特征，不妨取自變量的一些特殊值，觀察相應(yīng)函數(shù)值的情況，如下表：

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)也是一對(duì)相反數(shù).-3-2-10123

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．?x∈I，f(－x)=－f(x)

奇函數(shù)f(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱代數(shù)特征幾何特征?x∈I，都有－x∈I定義域I關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)f(x)=x,x∈[-2,2]是奇函數(shù)嗎？是奇函數(shù)函數(shù)g(x)=x,x∈[-1,3]是奇函數(shù)嗎？不是奇函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．1.根據(jù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)奇偶性：偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性：（1）先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）再判斷f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立；（3）根據(jù)定義下結(jié)論．如何判斷函數(shù)的奇偶性？3.判斷函數(shù)奇偶性解：

判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽.所以，函數(shù)為偶函數(shù).（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽.所以，函數(shù)為奇函數(shù).（3）函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

所以，函數(shù)為奇函數(shù).（4）函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

所以，函數(shù)為偶函數(shù).奇偶性是函數(shù)在它的定義域上的整體性質(zhì)，所以判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先明確它的定義域.典例14.奇偶性的性質(zhì)與應(yīng)用【探究】（1）如何判斷函數(shù)的奇偶性？【解】(1)利用函數(shù)奇偶性定義來判斷，函數(shù)

的定義域?yàn)镽，且有

所以此

函數(shù)是奇函數(shù).

（2）已知函數(shù)圖像的一部分，如何畫出剩余部分？

(2)由奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱可以畫出函數(shù)在y軸左側(cè)對(duì)的圖像，將y軸右側(cè)的圖像沿著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°即可，畫出的圖像如圖所示.

【拓展】（1）奇偶函數(shù)的單調(diào)性：①奇函數(shù)：奇函數(shù)在y軸左右兩邊的單調(diào)性是完全相同的.如果

奇函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增函數(shù)，那么在區(qū)間[-a,-b]上就

是單調(diào)增函數(shù).②偶函數(shù)：奇函數(shù)在y軸左右兩邊的單調(diào)性是完全相反的.如果

偶函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增函數(shù)，那么在區(qū)間[-a,-b]上就

是單調(diào)減函數(shù).【拓展】（2）奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及符合函數(shù)的奇偶性：

設(shè)，的定義域分別是A和B，在公共定義域上有：【注】上表中不考慮和的情況；

中需，.偶偶偶偶奇

奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶奇

【1】已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，將下面的圖像補(bǔ)充完整.【解】根據(jù)奇偶函數(shù)的對(duì)稱性，分別將偶函數(shù)沿著y軸作對(duì)稱；

把奇函數(shù)沿著原點(diǎn)作中心對(duì)稱，答案見圖上.

課本練習(xí)1.已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，試將下圖補(bǔ)充完整.2.判斷下列函數(shù)的奇偶性.解：為偶函數(shù).常用結(jié)論：函數(shù)解析式為多項(xiàng)式時(shí)，奇偶性與奇次項(xiàng)和偶次項(xiàng)的系數(shù)有關(guān).如，，若為奇函數(shù)，則a=c=e=0，若為偶函數(shù)，則b=d=0為偶函數(shù).練習(xí)3.（1）從偶函數(shù)的定義出發(fā)，證明函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）從奇函數(shù)的定義出發(fā)，證明函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.解：（1）充分性：若y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，則M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)仍在該圖象上，即，所以y=f(x)為偶函數(shù)；必要性：若y=f(x)為偶函數(shù)，設(shè)為f（x）圖象上任意一點(diǎn)，M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為.由于f（x）為偶函數(shù)，所以所以在函數(shù)的圖象上，所以f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.練習(xí)3.（1）從偶函數(shù)的定義出發(fā)，證明函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）從奇函數(shù)的定義出發(fā)，證明函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.解：（2）充分性：若y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，則M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)仍在該圖象上，即

，所以y=f(x)為奇函數(shù)；必要性：若y=f(x)為奇函數(shù)，設(shè)為f（x）圖象上任意一點(diǎn)，則M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，由于f（x）為奇函數(shù)，所以

，所以在函數(shù)y=f(x)的圖象上，所以f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.隨堂檢測(cè)BCC00

總結(jié)：函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，體現(xiàn)圖象的對(duì)稱性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)有的定義域?yàn)镮,如果x∈I,都有-x∈I,即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是這個(gè)函數(shù)具有奇偶性的前提條件.幾何特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即如果點(diǎn)(