教學設計 定積分一輪復習教學設計

2022級高三年級(數(shù)學)學科學案學案類型：一輪復習材料序號:16編稿教師：朱鐵軍審稿教師:邸乾豇16定積分與微積分基本定理一、考試要求1．了解定積分的實際背景、了解定積分的基本思想，了解定積分的概念．2．了解微積分基本定理的含義.二、基礎知識（一）定積分概念如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點，將區(qū)間等分成幾個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式，當時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即.這里與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.（二）定積分的幾何意義及物理應用1．定積分的幾何意義如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有時，那么定積分表示由直線，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積. 拓展1：由一條曲線和直線及所圍成平面圖形的面積． （1）如圖所示，，，所以． （2）如圖所示，，所以．（3）如圖所示，當時，，；當時，，，所以．拓展2：由兩條曲線和，直線所圍成平面圖形的面積． （1）如圖所示，當時，． （2）如圖所示，當時，．2．定積分在物理方面的應用 （1）變速直線運動的路程 我們知道，做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時間上的定積分，即． （2）變力做功 如果物體在變力的作用下做直線運動，并且物體沿著與相同的方向從移動到，那么變力所做的功為．（三）定積分的性質(zhì) （1）（為常數(shù)）． （2）．（3）（其中．（四）微積分基本定理一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么 ．這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓－萊布尼茨公式． 為了方便，我們把記成，即 ．三、方法及提示1．定積分在高考中一般是考查計算或幾何意義、物理意義.2．定積分的計算方法有三種：定義法、幾何意義法和微積分基本定理法．3．用定積分計算封閉圖形的面積，常用到“割補”和“對稱”的思想．四、例題分析例1（定積分的定義）利用定積分定義，計算的值．解析：， ．例2（定積分的實際應用）(2022湖北7)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是（C） （A）1＋25ln5 （B） （C）4＋25ln5 （D）4＋50ln2解析：由于v(t)＝7－3t＋，且汽車停止時速度為0，因此由v(t)＝0可解得t＝4，即汽車從剎車到停止共用4s.該汽車在此期間所行駛的距離＝＝4＋25ln5(m)．例3（微積分學基本原理）計算下列定積分： （1）；（2）；（3）；（4）函數(shù)，在區(qū)間上的積分．解析：（1）因為，所以． （2）因為， 所以．（3）（4）解：．例4（利用定積分求面積）計算由直線，曲線以及軸所圍成圖形的面積．解析：作出直線，曲線的草圖，所求面積為下圖中陰影部分的面積． 解方程組， 得直線與曲線交點的坐標為． 直線與軸的交點為． 因此，所求圖形的面積為 例5利用定積分的幾何意義求：（1）；（2）．解析：（1）上半圓面積；（2）左上圓面積．五、鞏固提高（一）選擇題設連續(xù)函數(shù)，則當時，定積分的符號（A） （A）一定是正的 （B）一定是負的 （C）當時是正的，（D）以上結論都不對當時是負的(2022江西6)若，，，則S1，S2，S3的大小關系為（B）．（A）S1＜S2＜S3 （B）S2＜S1＜S3 （C）S2＜S3＜S1 （D）S3＜S2＜S1解析：＝，＝，＝，所以S2＜S1＜S3，故選B.若質(zhì)點運動的速度為v，則質(zhì)點開始運動后內(nèi)通過的路程為（B）（A） （B） （C） （D）若，則的值是（D） （A） （B） （C） （D）（2022福建6）如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為（C）（A）（B）（C）（D）解析：∵由圖象知陰影部分的面積是，∴所求概率為．(2022山東7)由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為（A）（A） （B） （C） （D）解析：由解得兩曲線的交點為(0，0)，(1，1)．如圖，∴所求封閉圖形的面積為S＝.下列各命題中，不正確的是（D）（A）若是連續(xù)的奇函數(shù)，則（B）若是連續(xù)的偶函數(shù)，則（C）若在上連續(xù)且恒正，則（D）若在上連續(xù)，且，則在上恒正若，則的大小關系是（A）（A） （B） （C） （D）(2022廣東8)已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙（如圖所示）.那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是（A）（A）在t1時刻，甲車在乙車前面（B）t1時刻后，甲車在乙車后面（C）在t0時刻，兩車的位置相同（D）t0時刻后，乙車在甲車前面 解析：由圖知甲車在(0，t1)段的曲邊梯形面積大于乙車在(0，t1)段的曲邊梯形的面積，面積表示路程，因此甲車在乙車的前面.（二）填空題(2022山東14)設函數(shù)．若，，則的值為．（11）（2022全國新13）設為區(qū)間[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有，可以用隨機模擬方法近似計算積分.先產(chǎn)生兩組(每組N個)區(qū)間[0，1]上的均勻隨機數(shù)和，由此得到N個點．再數(shù)出其中滿足的點數(shù)N1，那么由隨機模擬方法可得積分的近似值為__________．解析：由題意可知它所圍成的區(qū)域面積為S＝1，結合積分的幾何意義和幾何模型可知，＝，即＝.（12）在曲線上某一點處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的圖形的面積為，則切線方程為.解析：如圖，設切點為，∵，∴切線方程為.∴B點橫坐標，∴，即.∴切線方程為.（13）已知函數(shù)的圖像是折線段其中，則函數(shù)的圖像與軸圍成的面積為________．解析：.六、綜合與創(chuàng)新（1）如圖，直線分拋物線與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，則k的值為.解析：拋物線與軸兩交點的橫坐標，，所以，拋物線與軸所圍圖形的面積．又由此可得，拋物線與兩交點的橫坐標