立體幾何題型的解題技巧適合總結(jié)提高用

立體幾何題型的解題技巧適合總結(jié)提高用第六講 立體幾何新題型的解題技巧考點(diǎn)1 點(diǎn)到平面的距離例1（2007年福建卷理）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；A（Ⅱ）求二面角AA1DB的大小；（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離．CB

ABC A1B1C1A1C1DB1P例2.(2006年湖南卷)如圖,已知DCMO兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與ABQ-ABCD的高分別為1和Q2,AB=4.(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD；(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角；(Ⅲ)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.考點(diǎn)2 異面直線的距離例3已知三棱錐SABC，底面是邊長(zhǎng)為42的正三角形，棱SC的長(zhǎng)為2，且垂直于底面.E、D分別為BC、AB的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離.考點(diǎn)3 直線到平面的距離例4．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體AC1中，G是AA1的中點(diǎn)，求BD到平面GB1D1的距離.D1O1C1A1B1HGCDOAB考點(diǎn)4異面直線所成的角例5（2007年北京卷文）如圖，在Rt△AOB中，OABπ，斜邊AB4．Rt△AOC6可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中點(diǎn)．CI）求證：平面COD平面AOB；II）求異面直線AO與CD所成角的大小．例6．（2006年廣東卷）如圖所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O1的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直徑，AB＝AC6，OE//AD.

ADEO B(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大?。?Ⅱ)求直線BD與EF所成的角.考點(diǎn)5直線和平面所成的角例7.（2007年全國(guó)卷Ⅰ理）四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBCS底面ABCD．已知∠ABC45o，AB2，BC22，SASB3．CB（Ⅰ）證明 SA BC；（Ⅱ）求直線 SD與平面SAB所成角的大小．

D A考點(diǎn)6二面角例8．（2007年湖南卷文）如圖，已知直二面角PQ，APQ，B，CCACB，BAP45o，直線CA和平面所成的C角為30o．P（I）證明BC⊥PQ；B（II）求二面角BACP的大?。?/p>

，AQ例9．(2006年重慶卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB為直角，AB‖CD，AD=CD=2AB,E、F分別為PC、CD的中點(diǎn).（Ⅰ）試證：CD平面BEF；（Ⅱ）設(shè)PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30,求k的取值范圍.考點(diǎn)7利用空間向量求空間距離和角D1A1例10．（2007年江蘇卷）C1B1如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，EFM點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AEFC11．DAHCGB1）求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；2）若點(diǎn)G在BC上，BG2，點(diǎn)M在BB1上，3GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥平面BCC1B1；3）用表示截面EBFD1和側(cè)面BCC1B1所成的銳二面角的大小，求tan．例11．（2006年全國(guó)Ⅰ卷）C如圖,l1、l2是互相垂直的兩條異面直線，AMN是它們的公垂線段，點(diǎn)A、B在l1MNB上，C在l2上，AM=MB=MNI）證明ACNB；II）若ACB60，求NB與平面ABC所成角的余弦值.考點(diǎn)8簡(jiǎn)單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用，主要考查多面體的概念、性質(zhì)，主要以填空、選擇題為主，通常結(jié)合多面體的定義、性質(zhì)進(jìn)行判斷.例12.如圖（1），將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器， 當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為 時(shí)容積最大.例13.如圖左，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AGFC(A、B、AD、BE、DE的中點(diǎn)，將△ABC沿DE、EF、DFHJ與IJHG折成三棱錐后，GH所成角的度數(shù)為DEDI（）IFJBEA、90° B、60° C、45° D、0°例14.長(zhǎng)方體ABCD－A1111中，D1BCDC1①設(shè)對(duì)角線D1B與自D1出發(fā)的三條棱分別成α、β、角A1B1求證：cos2α＋cos2β＋cos2＝1DC②設(shè)D11ABB與自D出發(fā)的三個(gè)面成α、β、角，求證：cos2α＋cos2β＋cos2＝2考點(diǎn)9.簡(jiǎn)單多面體的側(cè)面積及體積和球的計(jì)算例15.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝a，BC＝CA＝AA1＝a，A1在底面△ABC上的射影O在ACAC上B①求AB與側(cè)面AC1所成角；②若O恰好是AC的中點(diǎn)，求此AOC三棱柱的側(cè)面積.DB例16.等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，沿MN將△AMN折起，使得面AMN與面MNCB所成的二面角為30°，則四棱錐A—MNCB的體積為（）

AM K NB LCANCMK LBA、D、3

3B、3C、322例17.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面是一個(gè)矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60°①求四棱錐的體積；P②求二面角P－BC－D的大HE小.DCAB例18.（2006年全國(guó)卷Ⅱ）已知圓O1是半徑為R的球O的一個(gè)小圓，且圓O1的面積與球O的表OR面積的比值為2，則線段OO1與RO1rA9的比值為 .【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】一、選擇題1．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，在BB1上，且BD=1，若AD與側(cè)面AA1CC1所成的角為，則的值為（）A.C.

3C1B.4A1B1106arctanD.arcsinD442．直線a與平面 成角，a是平面 的斜線，bC B是平面 A內(nèi)與a異面的任意直線，則a與b所成的角（ ）A. 最小值 ，最大值 B.最小值，最大值2C. 最小值 ，無(wú)最大值 D.無(wú)最小值，最大值43．在一個(gè)45的二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成45角，則此直線與二面角的另一平面所成的角為（ ）A.30B.45C.60D.904．如圖，直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)D1 C1均為2，1B1A，則對(duì)角線AC與側(cè)面CCD所BAD60111成AB的角的正弦值為（）A.1B.322C.2D.3245．已知在ABC中，AB=9，AC=15，BAC120，它所在平面外一點(diǎn)P到ABC三頂點(diǎn)的距離都是14，那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為（）A.13B.11C.9D.76．如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體1A1NDC1MB1ADABABCD-ABCD1中，M、N分別是棱AB、AD1111111的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面AMN的距離是（）A.9B.32C.65D.257．將QMN60，邊長(zhǎng)MN=a的菱形MNPQ沿對(duì)角線NQ折成60的二面角，則MP與NQ間的距離等于()A.3aB.3aC.6a244D.3a48．二面角l的平面角為120，在內(nèi)，ABl于B，AB=2,在內(nèi)，CDl于D，CD=3,BD=1,M是棱l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+CM的最小值為()A.25B.22C.26D.269．空間四點(diǎn)A、B、C、D中,每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都等于a,動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上,動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為()A.1B.2C.aa223aD.a210．在一個(gè)正四棱錐，它的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為a，現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包住（不能裁剪紙，但可以折疊），那么包裝紙的最小邊長(zhǎng)應(yīng)為（）A.(26)aB.26aC.(13)a2D.13a211．已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，AA=AB=2，11111若棱AB上存在點(diǎn)P，使D1PPC，則棱AD的長(zhǎng)的取值范圍是 ( )A.0,1B.0,2C.0,2D.1,212．將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)D在平面ABC外，則DB與平面ABC所成的角一定不等于（）A.30B.D1C145C.60B1D.90DC二、填空題BA1 ． 如 圖 ， 正 方 體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是A1B1的中點(diǎn)，則下列四個(gè)命題：①E到平面ABC1D1的距離是1；2②直線BC與平面ABC1D1所成角等于45；③空間四邊形ABCD1在正方體六個(gè)面內(nèi)的射影圍成面積最小值為1；2BE與CD1所成的角為arcsin10102．如圖，在四棱柱11111中，P是A1PC1111AC上的動(dòng)點(diǎn)，E為CD上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCD滿ADECB足___________時(shí)，體積VPAEB恒為定值（寫(xiě)上你認(rèn)為正確的一個(gè)答案即可）3．邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,沿BC邊高線AD折起,使得折后二面角 B-AD-C為60°,則點(diǎn)到BC的距離為_(kāi)________,點(diǎn)D到平面ABC的距離為_(kāi)_________.4．在水平橫梁上 A、B兩點(diǎn)處各掛長(zhǎng)為50cm的細(xì)繩，AM、BN、AB的長(zhǎng)度為60cm，在MN處掛長(zhǎng)為60cm的木條，MN平行于橫梁，木條的中點(diǎn)為O，若木條繞過(guò)O的鉛垂線旋轉(zhuǎn)60°，則木條比原來(lái)升高了_________.5．多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的.如圖正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi).其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別是1、2和4.P是正方體其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7.以上結(jié)論正確的為.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．．6.如圖，棱長(zhǎng)為1m的正方體密封容?O?O器的三個(gè)面上有三個(gè)銹蝕的小孔（不?O計(jì)小孔直徑）O123、O、O它們分別是所在面的中心.如果恰當(dāng)放置容器，容器存水的最大容積是_______m3.三、解答題1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為a,D為BC為中點(diǎn)，M在BB1上，且BM=1B1M，又CM⊥AC1;31）求證：CM⊥C1D;2）求AA1的長(zhǎng).2．如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=2，PA⊥底面ABCD，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在PC上.求F在何處時(shí)，EF⊥平面PBC；在(1)的條件下，EF是不是PC與AD的公垂線段.若是，求出公垂線段的長(zhǎng)度；若不是，說(shuō)明理由；在(1)的條件下，求直線BD與平面BEF所成的角.3．如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．1）求證BCSC；2）求面ASD與面BSC所成二面角的大小；3）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大?。? ． 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ，D=

BAD=90

,AD=DC=

1A