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第6術(shù)蹊徑可辟,分割補(bǔ)形方法概述所謂割補(bǔ)法就是把一個(gè)復(fù)雜面積或體積的計(jì)算分割成若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形的有關(guān)計(jì)算或?qū)⒁粋€(gè)不易求出面積或體積的幾何圖形補(bǔ)足為較易計(jì)算的幾何圖形.也就是將復(fù)雜的或不熟悉的幾何圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的熟悉的幾何圖形或幾何體.例如,把曲邊形割補(bǔ)成規(guī)則圖形、把斜棱柱割補(bǔ)成直棱柱、把三棱柱補(bǔ)成平行六面體、把三棱錐補(bǔ)成三棱柱或平行六面體、把多面體切割成錐體(特別是三棱錐)、把不規(guī)則的幾何體割補(bǔ)成規(guī)則的幾何體,從而把未知的轉(zhuǎn)化為已知的、把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的、把復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、把不夠直觀的轉(zhuǎn)化為直觀易懂的應(yīng)用題型在解決幾何問題過程中,割補(bǔ)法是一種常用的方法.無論是平面幾何、解析幾何、還是立體幾何,適時(shí)使用割補(bǔ)法,能幫助我們找到問題的突破口,把問題放到特殊的幾何圖形中,借助特殊圖形分析問題,有時(shí)會(huì)柳暗花明,事半功倍eq\a\vs4\al(方法(一)分割法)[例1](1)為測(cè)出所住小區(qū)的面積,某人進(jìn)行了一些測(cè)量工作,所得數(shù)據(jù)如圖所示,則小區(qū)的面積是()A.eq\f(3+\r(6),4)km2B.eqB.eq\f(3-\r(6),4)km2C.eq\f(6+\r(3),4)km2D.eqD.eq\f(6-\r(3),4)km2(2)如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則多面體的體積為()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,2)[解析](1)如圖,連接AC.在△ABC中,根據(jù)余弦定理可得AC=eq\r(AB2+BC2-2AB·BC·cos60°)=eq\r(3)km,又AB=2km,BC=1km所以AC2+BC2=AB2,所以△ABC為直角三角形,且∠ACB=90°,∠BAC=30°,故∠DAC=∠DCA=15°.所以△ADC為等腰三角形,且∠D=150°,設(shè)AD=DC=xkm,根據(jù)余弦定理得x2+x2+eq\r(3)x2=3,即x2=eq\f(3,2+\r(3))=3(2-eq\r(3)).所以小區(qū)的面積為eq\f(1,2)×1×eq\r(3)+eq\f(1,2)×3(2-eq\r(3))×eq\f(1,2)=eq\f(2\r(3)+6-3\r(3),4)=eq\f(6-\r(3),4)(km2).故選D.(2)法一:如圖,在EF上取點(diǎn)M,N,使EM=FN=eq\f(1,2),連接MA,MD,NB,NC,則MN=1,三棱柱ADM-BCN是直三棱柱,DM=AM=eq\r(AE2-EM2)=eq\f(\r(3),2).設(shè)H為AD的中點(diǎn),連接MH,則MH⊥AD,且MH=eq\r(AM\a\vs4\al(2)-AH2)=eq\f(\r(2),2),∴S△ADM=eq\f(1,2)AD·MH=eq\f(\r(2),4).∴VABCDEF=2VE-ADM+VADM-BCN=2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)+eq\f(\r(2),4)×1=eq\f(\r(2),3).故選A.法二:如圖,取EF的中點(diǎn)G,連接GA,GB,GC,GD,則三棱錐E-ADG與三棱錐G-BCF都是棱長(zhǎng)為1的正四面體,易求得VE-ADG=VG-BCF=eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)=eq\f(\r(2),12),又四棱錐G-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,且側(cè)棱邊長(zhǎng)為1.易求得其高為eq\f(\r(2),2),則VG-ABCD=eq\f(1,3)×1×1×eq\f(\r(2),2)=eq\f(\r(2),6),所以VABCDEF=2VE-ADG+VG-ABCD=2×eq\f(\r(2),12)+eq\f(\r(2),6)=eq\f(\r(2),3).故選A.[答案](1)D(2)Aeq\a\vs4\al(方法(二)補(bǔ)形法)[例2](1)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.8π+16 B.8π-16C.8π+8 D.16π-8(2)如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BCA=90°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AB,AC的中點(diǎn),若BC=CA=CC1,則B1E與A1F[解析](1)由三視圖可知該幾何體為一個(gè)半圓柱去掉一個(gè)直棱柱.其中半圓柱的高為4,底面半圓的半徑為2;直三棱柱的底面為斜邊是4的等腰直角三角形,高為4.半圓柱的體積為V1=eq\f(1,2)π×22×4=8π,直三棱柱的體積為V2=eq\f(1,2)×4×2×4=16.所以所求幾何體的體積為V=V1-V2=8π-16.故選B.(2)如圖,把直三棱柱A1B1C1-ABC補(bǔ)成一個(gè)直平行六面體A1B1D1C1-ABDC,取BD中點(diǎn)G,連接B1G,則B1G∥A1F,∠EB1G即為B1設(shè)BC=CA=CC1=2a則B1G=eq\r((2a)2+a2)=eq\r(5)a,AB=eq\r((2a)2+(2a)2)=2eq\r(2)a,B1E=eq\r((2a)2+(\r(2)a)2)=eq\r(6)a,GE2=BG2+BE2-2BG·BE·cos135°=5a2所以cos∠EB1G=eq\f(B1G2+B1E2-GE2,2B1G·B1E)=eq\f(\r(30),10),故B1E與A1F所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).[答案](1)B(2)eq\f(\r(30),10)[應(yīng)用體驗(yàn)]1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A.64 B.72C.80 D.112解析:選C根據(jù)三視圖可知該幾何體為四棱錐P-ABCD與正方體ABCD-A1B1C1D1的組合體,如圖所示.由三視圖中的數(shù)據(jù)可知,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,其體積V1=43=64.四棱錐P-ABCD的底面為正方形ABCD,高h(yuǎn)=3,且PA=PB,其底面積為S=42=16,則四棱錐P-ABCD的體積V2=eq\f(1,3)Sh=eq\f(1,3)×16×3=16.故所求幾何體的體積V=V1+V2=64+16=80.故選C.2.如圖,曲線y=sineq\f(πx,2)+3把邊長(zhǎng)為4的正方形OABC分成陰影部分和白色部分.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,4)解析:選A如圖所示,設(shè)曲線y=sineq\f(πx,2)+3與線段OC,AB,BC的公共點(diǎn)分別為D,E,F(xiàn).連接DE,設(shè)DE的中點(diǎn)為G,易知G為曲線y=sineq\f(πx,2)+3與DE的交點(diǎn),則D(0,3),E(4,3),F(xiàn)(1,4),G(2,3).因?yàn)榍€y=sineq\f(πx,2)+3與線段DE圍成的左(白色)、右(陰影)兩部分面積相等,所以圖中陰影部分的面積等于矩形DEBC的面積,所以所求概率為eq\f(S矩形DEBC,S矩形OABC)=eq\f(4×1,4×4)=eq\f(1,4).故選A.3.如圖,已知多面體ABCDEFG,AB,AC,AD兩兩垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多面體的體積為()A.2 B.4C.6 D.8解析:選B法一:如圖,把多面體ABCDEFG補(bǔ)成正方體DEPG-ABHM,則VABCDEFG=eq\f(1,2)VDEPG-ABHM=eq\f(1,2)×23=4.故選B.法二:如圖,取DG的中點(diǎn)H,以DA,DE,DH為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體EFHD-BPCA,則三棱錐C-HFG與三棱錐F-PCB全等.所以VABCDEFG=VABPC-DEFH=AB·AC·AD=2×1×2=4.故選B.4.在正三棱錐S-ABC中,側(cè)棱SC⊥側(cè)面SAB,側(cè)棱SC=4eq\r(3),則此正三棱錐的外接球的表面積為________.解析:由正三棱錐中側(cè)棱SC⊥側(cè)
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