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文檔簡介

第四節(jié)一元復合函數求導法則本節(jié)內容:一、多元復合函數求導的鏈式法則二、多元復合函數的全微分微分法則多元復合函數的求導法則

第九章一、多元復合函數求導的鏈式法則定理.

若函數處偏導連續(xù),在點t可導,則復合函數證:設t

取增量△t,則相應中間變量且有鏈式法則有增量△u,△v,(全導數公式)(△t＜0時,根式前加“–”號)若定理中說明:例如:易知:但復合函數偏導數連續(xù)減弱為偏導數存在,則定理結論不一定成立.推廣:1)中間變量多于兩個的情形.設下面所涉及的函數都可微.2)中間變量是多元函數的情形.例如,例如,又如,當它們都具有可微條件時,有注意:這里表示f(x,(x,y))固定y

對x

求導表示f(x,v)固定v

對x

求導口訣:與不同,分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導例1.設解:例2.解:例3.設

求全導數解:注意：多元抽象復合函數求導在偏微分方程變形與驗證解的問題中經常遇到,下列兩個例題有助于掌握這方面問題的求導技巧與常用導數符號.為簡便起見,引入記號例4.設

f

具有二階連續(xù)偏導數,求解:令則(當在二、三象限時,)例5.設二階偏導數連續(xù),求下列表達式在解:

已知極坐標系下的形式(1),則題目

已知注意利用已有公式同理可得題目二、多元復合函數的全微分設函數的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復合函數都可微,其全微分表達形式都一樣,這性質叫做全微分形式不變性.例1.例6.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以內容小結1.復合函數求導的鏈式法則“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”例如,2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是中間變量,思考與練習解答提示:P82題7P82題7;8(2);P131題11……P82題8(2)①②

作業(yè)

P822;4;6;9;10;*12(4);*13P131題11第五節(jié)備用題1.已知求解:

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