虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算第一頁，共六十三頁，2022年，8月28日9-1位移計(jì)算概述一、靜定結(jié)構(gòu)的位移

靜定結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化、支座移動(dòng)以及制造誤差等因素作用下，結(jié)構(gòu)的某個(gè)截面通常會(huì)產(chǎn)生水平線位移、豎向線位移以及角位移。1.截面位移桁架受荷載作用剛架受荷載作用ABCABC第二頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.廣義位移

通常把兩個(gè)截面的相對(duì)水平位移、相對(duì)豎向位移以及相對(duì)轉(zhuǎn)角叫做廣義位移。

A、B截面豎向位移之和

A、B截面相對(duì)豎向位移AB(a)支座B下沉ABCC'溫度變化ABC'C第三頁，共六十三頁，2022年，8月28日qABAB(b)(c)

A、B截面相對(duì)豎向位移

A、B截面相對(duì)水平位移第四頁，共六十三頁，2022年，8月28日(e)(d)AlB

為AB桿轉(zhuǎn)角A

為A左、右截面相對(duì)轉(zhuǎn)角第五頁，共六十三頁，2022年，8月28日一、虛功

力P在由非該力引起的位移Δ上所作的功叫作虛功。右圖簡支梁，先加上，則兩截面1、2之位移分別為、。然后加，則1、2截面產(chǎn)生新的位移。P1P2129-2虛功和虛功原理第六頁，共六十三頁，2022年，8月28日實(shí)功：虛功：虛功強(qiáng)調(diào)作功的力與位移無關(guān)。P1P212第七頁，共六十三頁，2022年，8月28日二、變形體虛功原理

定義：設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)該變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上做的外虛功W恒等于各微段應(yīng)力的合力在變形上作的內(nèi)虛功Wi

，即W=Wi

。第八頁，共六十三頁，2022年，8月28日下面討論W及Wi的具體表達(dá)式。條件(1）存在兩種狀態(tài)：第一狀態(tài)為作用有平衡力系；第二狀態(tài)為給定位移及變形。以上兩種狀態(tài)彼此無關(guān)。

(2）力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。

(3）上述虛功原理適用于彈性和非彈性

結(jié)構(gòu)。第九頁，共六十三頁，2022年，8月28日第二狀態(tài)（給定位移和變形）q(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）第十頁，共六十三頁，2022年，8月28日外力虛功：微段ds的內(nèi)虛功dWi：整根桿件的內(nèi)虛功為：第十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日根據(jù)虛功方程W=Wi，所以有：結(jié)構(gòu)通常有若干根桿件，則對(duì)全部桿件求總和得：第十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日小結(jié)：只要求兩個(gè)條件：力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。上述虛功原理適用于各類結(jié)構(gòu)（靜定、超靜定、桿系及非桿系結(jié)構(gòu)），適用于彈性或非彈性結(jié)構(gòu)。

考慮了桿件的彎曲、剪切及軸向變形。1)2)3)第十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日

變形體虛功原理有兩種應(yīng)用形式，即虛力原理和虛位移原理。虛力原理：虛設(shè)平衡力系求位移;虛位移原理：虛設(shè)位移求未知力。用變形體虛力原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移，是將求位移這一幾何問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題。所以

在變形體虛功方程中，若外力只是一個(gè)單位荷載，則虛功方程為：9-3單位荷載法計(jì)算位移和位移計(jì)算一般公式第十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日

下面以圖示剛架為例對(duì)位移計(jì)算的一般公式加以具體說明。給定位移、變形虛設(shè)平衡力系A(chǔ)BC1.

欲求，則在C截面加上豎向單位載荷，則該靜定剛架就產(chǎn)生了一組平衡力系。ABC第十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.位移計(jì)算一般公式外力虛功內(nèi)虛功所求位移——給定的位移和變形。力和位移無關(guān)。3.小結(jié)

——單位載荷在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的內(nèi)力和支座反力，、、、第十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日一、荷載作用在下位移的計(jì)算公式及計(jì)算位移的步驟

虛設(shè)平衡力系CABDP=1給定位移、變形

求下圖示結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移。PCABqDκ,γ0,

εΔDH,ΔDV,θD(MP,QP,NP

)D9-4荷載作用下的位移計(jì)算第十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日

若結(jié)構(gòu)只有荷載作用，則位移計(jì)算一般公式為：

上式適用的條件是：小變形，材料服從虎克定律，即體系是線性彈性體。

在荷載作用下，應(yīng)變與內(nèi)力

的關(guān)系式如下：（式中k為剪應(yīng)力不均勻系數(shù)）第十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日正負(fù)號(hào)規(guī)則：1）不規(guī)定和的正負(fù)號(hào)，只規(guī)定乘積的正負(fù)號(hào)。若和使桿件同一側(cè)纖維受拉伸長，則乘積為正，反之為負(fù)；正MP正MP負(fù)MP第十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日2）和以拉力為正，壓力為負(fù)；3）和的正負(fù)號(hào)見下圖。求位移步驟如下：①沿?cái)M求位移方向虛設(shè)性質(zhì)相應(yīng)的單位載荷；②求結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力；③利用位移計(jì)算一般公式求位移。第二十頁，共六十三頁，2022年，8月28日二、各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式1.梁和剛架

在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計(jì)算公式為：

在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對(duì)位移的影響不容忽略。

對(duì)于深梁，即h/l較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。第二十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.桁架

桁架各桿只有軸力，所以位移計(jì)算公式為：4.拱拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略：3.組合結(jié)構(gòu)用于彎曲桿用于二力桿第二十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日例9-1

求簡支梁中點(diǎn)豎向位移，并討論剪切變形對(duì)位移的影響。qxAMPQPql/2xA0.5ABCl/2l/2P=1ABqCl/2l/2第二十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日解：第二十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日

若桿截面為矩形，則k=1.2；又μ=1/3，則E/G=2(1+μ)=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1/10，則

h/l=1/2，則可見，剪切變形的影響不能忽略。第二十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日9-5圖乘法

圖乘法是一種求積分的簡化計(jì)算方法，它把求積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求幾何圖形的面積與豎標(biāo)的乘積的運(yùn)算。一、圖乘法基本公式為方便討論起見，把積分改寫成。第二十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日Mi圖yxMk圖dω=MkdxMk(x)xx0dxAByxMi(x)=xtgαxx0ABy0第二十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日說明：(1）條件：AB桿為棱柱形直桿，即EI等于常數(shù)；Mi與Mk圖形中有一個(gè)是直線圖形。(2）y0與ω的取值：y0一定取自直線圖形，ω則取自另一個(gè)圖形，且取ω的圖形的形心位置是已知的，不必另行求解。(3）若y0與ω在桿軸或基線的同一側(cè)，則乘積y0ω取正號(hào)；若y0與ω不在桿軸或基線的同一側(cè)，則乘積y0ω取負(fù)號(hào)。第二十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日二、常見圖形的幾何性質(zhì)l/2l/2二次拋物線hωl二次拋物線hω二次拋物線3l/4l/4hω5l/83l/8二次拋物線hω第二十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日三、圖乘法舉例

運(yùn)用圖乘法進(jìn)行計(jì)算時(shí),關(guān)鍵是對(duì)彎矩圖進(jìn)行分段和分塊,尤其是正確的進(jìn)行分塊。M1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/3第三十頁，共六十三頁，2022年，8月28日

分段——

圖均應(yīng)分為對(duì)應(yīng)的若干段，然后進(jìn)行計(jì)算。ABCDABCDMP第三十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日分塊——只對(duì)或中的一個(gè)圖形進(jìn)行分塊，另一個(gè)圖形不分塊。ABABMP1MP2第三十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日例9-2

求。解：作圖圖，如上圖所示。分段：，分為AC、CB兩段。分塊：圖的CB段分為兩塊。MPACBEI1EI2ω1ω2ω31PCBy1y2y3EI1EI2A第三十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日

此題還可以這樣處理：先認(rèn)為整個(gè)AB桿的剛度是，再加上剛度為的AC段，再減去剛度為的AC段即可。CBACACAω1ω2ω2MPEI2EI2EI1EI2+-PACBACACEI2EI2EI1EI2y2y2+-y11第三十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日例9-3

求,EI等于常數(shù)。解：作圖圖，如右圖所示。分段：，分為AC、CB兩段。分塊：圖的AC段分為兩塊。ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB2ω1MPω2y2y1第三十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日

如果將AC段的圖如下圖那樣分塊，就比較麻煩。16A4C84圖例9-4

求,EI等于常數(shù)。作圖圖，如下頁圖所示。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC第三十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日1/21y1ω2y381244MP圖ω1ω3y2圖1ACBBAC（kN.m)第三十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日例9-5

求,EI等于常數(shù)。解：

作圖及圖，如右所示。分段：，分為AB、BC兩段。分塊：圖的BC段分為兩塊。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/31ω2y3y1圖圖14126ω1ω3（kN.m)第三十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日1/61/62/31/31ω2y3y1圖圖14126ω1ω3（kN.m)第三十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日例9-6

求ΔCH，EI等于常數(shù)。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP圖和圖見下頁圖。分塊：MP圖的AB段分為兩塊。第四十頁，共六十三頁，2022年，8月28日4ω2y3=412ω1MP圖(kN.m)2m2y22y1圖1ω3ABC4第四十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日

靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化作用下各桿能自由變形，所以結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力。1.是溫度改變值，而非某時(shí)刻的溫度。某時(shí)刻溫度另一時(shí)刻溫度t1,t2是溫度改變值9-6溫度作用時(shí)的位移計(jì)算第四十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日

2.溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。截面上、下邊緣溫差：對(duì)于矩形截面桿件，，。hb桿軸線處溫度改變值：h1h2ht1t2dsh1h2ht1t2t2-

t1dt第四十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.微段ds的應(yīng)變拉應(yīng)變彎曲應(yīng)變剪應(yīng)變4.位移計(jì)算公式第四十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日小結(jié)：(1）正負(fù)號(hào)規(guī)則：及溫度變化使桿件同一側(cè)纖維伸長（彎曲方向相同），則乘積為正，反之為負(fù)。以溫度升高為正，降低為負(fù)，以拉力為正，壓力為負(fù)。(2）第四十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日例9-7

求圖示剛架C截面水平位移。已知桿件線膨脹系數(shù)為，桿件矩形橫截面高為h。解：CABdd1CABddCAB圖圖第四十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日第四十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日9-7支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算說明：1）等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)是公式推導(dǎo)而得出，不能去掉。2）若

與方向相同，則乘積為正，反之為負(fù)。

若靜定結(jié)構(gòu)只有支座移動(dòng)而無其他因素作用，則結(jié)構(gòu)只產(chǎn)生剛體位移而無變形，故對(duì)于桿件的任意微段，應(yīng)變均為零。所以支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算公式為：第四十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日例9-8

已知?jiǎng)偧苤ё鵅向右移動(dòng)a,求。解：1）求CABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求D第四十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日CADB10.50.5h/dh/d求ΔDHd/2d/22）求CADB1/h1/h00求ΔφCd/2d/2113）求CABhd/2d/2aD第五十頁，共六十三頁，2022年，8月28日9-8線性變形體的互等定理

互等定理適用于線性變形體系，即體系產(chǎn)生的是小變形，且桿件材料服從虎克定律。一、功的互等定理功的互等本質(zhì)上是虛功互等。下圖給出狀態(tài)I和狀態(tài)II。狀態(tài)IIAB12abAB12ab狀態(tài)I第五十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日令狀態(tài)I的平衡力系在狀態(tài)II的位移上做虛功，得到：狀態(tài)IIAB12abAB12ab狀態(tài)I第五十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日

同樣，令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功，得到：所以即第五十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日定理在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。二、位移互等定理定理在任一線性變形體系中，由荷載P1引起的與荷載P2相應(yīng)的位移影響系數(shù)等于由荷載P2引起的與荷載P1相應(yīng)的位移影響系數(shù)。即即第五十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日由功的互等定理可得：

在線性變形體系中，位移Δij與力Pj的比值是一個(gè)常數(shù)，記作，即：或于是所以狀態(tài)II12狀態(tài)I12第五十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日1212說明：(1)

也稱為柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移。

i產(chǎn)生位移的方位；j

產(chǎn)生位移的原因。(2)

P1和P2可以是集中力也可以是集中力偶，則相應(yīng)的和就是線位移影響系數(shù)或角位移影響系數(shù)。即荷載可以是廣義荷載，而位移則是廣義位移。兩個(gè)廣義位移的量綱可能不等，但它們的影響系數(shù)在數(shù)值和量綱上仍然保持相等。第五十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日例9-9

驗(yàn)證位移互等定理。解：a/2a/21EIP1=FΔ212a/2a/21EIP2=MΔ122FFa/4M11a/41/2M/2第五十七頁，共六十三頁，2022