《運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)》第五章 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

第五章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程第五章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程【本章重點(diǎn)內(nèi)容】質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程;動(dòng)力學(xué)兩類問題的解法.第五章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程第五章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程§5-1動(dòng)力學(xué)的基本定律§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程§5-1動(dòng)力學(xué)的基本定律第五章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程1.第一定律（慣性定律）如果質(zhì)點(diǎn)不受力作用，那么它或者靜止，或者為勻速直線運(yùn)動(dòng).

物體保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的屬性，稱為慣性.

定律表明，力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因.

2.第二定律(力與加速度關(guān)系定律)質(zhì)點(diǎn)受力作用時(shí)所獲得的加速度與力的大小成正比,與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比,加速度方向與力的方向相同.

動(dòng)力學(xué)基本方程式是矢量式.

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量愈大，愈不易改變它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，它的慣性愈大.

因此質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量.

§5-1動(dòng)力學(xué)的基本定律應(yīng)用第二定律時(shí)應(yīng)注意：（1）力和加速度間的關(guān)系是瞬時(shí)的關(guān)系;

（2）力和加速度間的關(guān)系是矢量的關(guān)系.

質(zhì)量與重量的關(guān)系：質(zhì)量是物體慣性的度量，而重量卻是物體所在地的重力.

是一個(gè)隨地域不同而變的量.

重力加速度一般取g=9.80m/s2

.

國際單位制中，力的單位是kg·m/s2(千克·米/秒2)，叫做牛頓，其代號(hào)為Ｎ（牛）.

W=mg§5-1動(dòng)力學(xué)的基本定律3.第三定律（作用和反作用定律）兩物體間相互的作用力，總是大小相等，方向相反，沿著同一直線.

這個(gè)定律不僅在物體平衡時(shí)適用，也適用于任何形式運(yùn)動(dòng)的物體.

按照牛頓的論述，基本定律是相對(duì)于一個(gè)“絕對(duì)靜止”的參考系而言的.

但絕對(duì)靜止的物體在宇宙中根本不存在.

大量實(shí)踐表明，在一般工程技術(shù)問題中，動(dòng)力學(xué)基本定律對(duì)于與地球固聯(lián)的參考系是適用的，叫做慣性參考系（或基礎(chǔ)參考系）.

§5-1動(dòng)力學(xué)的基本定律§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程第五章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的直角坐標(biāo)形式

將上式兩邊向x、y軸投影，得或

此即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的直角坐標(biāo)形式.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在力

（合力）的作用下沿平面曲線運(yùn)動(dòng)，加速度為

，根據(jù)動(dòng)力學(xué)基本方程§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)形式如果質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知，用弧坐標(biāo)描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)較為方便，把動(dòng)力學(xué)基本方程，向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切向與法向投影，即得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)存在兩類基本問題：第一類基本問題又稱“微分問題”，已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求它所受的力.

解題步驟：（1）分析力（2）分析運(yùn)動(dòng)（3）列運(yùn)動(dòng)方程（4）求解§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程第二類基本問題又稱“積分問題”，已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，求它的運(yùn)動(dòng).這類問題需要將微分方程積分.

解題方法和步驟，基本與第一類基本問題相同.

積分常數(shù)由運(yùn)動(dòng)初始條件決定.

（２）分析運(yùn)動(dòng)鋼絲繩與重物一起以加速度a上升.

（３）屬第一類問題，列運(yùn)動(dòng)方程，求未知量，沿軸x有(m+rAx)a=Fd-W-W1例5-1礦井提升機(jī)提升重物，重物質(zhì)量是m，鋼絲繩單位體積的質(zhì)量為r,它的截面積為A，鋼絲繩以等加速度a沿鉛垂線上升.求鋼絲繩任意截面上的拉力.

解（１）用一假想截面將鋼絲繩在距重物x處切開，以截面下的鋼絲繩和重物為研究對(duì)象.

設(shè)重物重W，鋼絲繩重W1，鋼絲繩拉力為Fd

.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程將W=mg，W1=rAxg，代入上式，即得

Fd=(m+rAx)(a+g)（4）分析討論從結(jié)果看出（a）拉力Fd隨x的變化而不同；（b）Fd由兩部分組成，一部分由于物重和鋼絲繩重引起的靜拉力F，大小等于(m+

rAx)g；另一部分由于加速度而引起動(dòng)拉力，大小等于(m+rAx)a

.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程故

由此可見，當(dāng)物體作加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)載荷系數(shù)總是大于1的.

加速度減小，動(dòng)載荷系數(shù)也減小，小到可以忽略時(shí)，Kd=1，這就是靜載荷情況.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程全部拉力Fd

稱為動(dòng)拉力.

動(dòng)拉力與靜拉力的比值，叫做動(dòng)載荷系數(shù).

以Kd表示，即§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例5-2振動(dòng)輸送臺(tái)如圖所示.

輸送臺(tái)面在鉛垂方向的運(yùn)動(dòng)方程為y=bsinwt(暫不研究x軸方向的運(yùn)動(dòng)).

式中，w=2pf，f稱為頻率，表示每秒振動(dòng)的次數(shù).

物料隨臺(tái)面一起運(yùn)動(dòng)，當(dāng)某頻率時(shí)，物料開始與臺(tái)面分離而向上拋起，求此最小頻率.

(2)分析運(yùn)動(dòng).當(dāng)物料未與臺(tái)面分開時(shí),物料的運(yùn)動(dòng)與臺(tái)面相同，即y=bsinwt

.

(3)列運(yùn)動(dòng)微分方程，求未知量§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程解:(1)屬第一類問題，以物料為研究對(duì)象.

當(dāng)物料未與臺(tái)面分開時(shí)，物料受重力W，臺(tái)面的約束力FN

.式中，W=mg.又根據(jù)已知條件y=bsinwt

，得vy=bw

cos

wt及ay=–bw2sinwt=–(2pf)2bsin

wt=–(2pf)2y代入式(a)，得

–

m(2pf)2y=FN

–mg故FN

=mg–m(2pf)2y當(dāng)物料與臺(tái)面分離時(shí)，

FN=0，得0=mg

–

m(2pf)2y因?yàn)閙≠0所以g–(2pf)2y=0，即§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程由上式可知，當(dāng)y為最大值y=b時(shí)，使物料與臺(tái)面分離的頻率為最小，即若b=2mm則§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例5-3如圖橋式起重機(jī)，其上小車吊一重物，質(zhì)量為m，沿橫向作勻速運(yùn)動(dòng)(大橋不動(dòng))，速度為v0

.

由于突然急剎車，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)O向前擺動(dòng).

設(shè)繩長為l，試求鋼繩的最大拉力.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程解：（1）以重物為研究對(duì)象，其上作用有重力W，鋼繩拉力F.

（2）剎車后，重物由于慣性，繼續(xù)在以O(shè)為圓心，以l為半徑的一段圓弧上運(yùn)動(dòng).

（3）屬第一類問題，運(yùn)動(dòng)軌跡已知，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)形式，得

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程（b）（a）當(dāng)j

=0時(shí)，鋼繩的拉力最大.

這時(shí)重物的速度為v0.

（4）分析討論，剎車前，F(xiàn)=W=mg.

于是§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程從式（b）即得即

若v0=5m/s，l=5m，則

這時(shí)，最大拉力是靜載荷時(shí)的1.51倍.

因此，為了避免剎車時(shí)鋼繩受力過大，一般規(guī)定吊車行走速度不能太大；此外,在不影響吊裝工作安全的條件下，鋼繩應(yīng)盡量長一些，以減小動(dòng)載荷系數(shù).

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例5-4求炮彈的運(yùn)動(dòng)方程.

設(shè)炮彈射出的初速度為v0,并與水平線成傾角j，不計(jì)空氣阻力.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程解：（1）屬第二類問題，以炮彈為研究對(duì)象，它被射出后僅受重力W的作用.

（2）根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，炮彈在垂直平面內(nèi)作平面曲線運(yùn)動(dòng).

（3）由于運(yùn)動(dòng)軌跡未知，采用直角坐標(biāo)法.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程積分一次，得將上式改寫為將上式改寫為§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程再積分一次，得式中，c1、c2、c3為積分常數(shù)，可由運(yùn)動(dòng)的初始條件來確定.

當(dāng)t=0時(shí)，x=0，y=0；vx=v0cosj，vy=v0sinj

.

代入后得c1=v0cosj，c2=v0sinj，c3=0，c4=0§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程（4）分析討論從上式可以看出，對(duì)于同樣v0，當(dāng)j=45°時(shí)，L值最大.

得炮彈運(yùn)動(dòng)方程為消去t，得炮彈軌跡方程為此運(yùn)動(dòng)軌跡是一拋物線.求射程L：當(dāng)炮彈到達(dá)L時(shí)，y=0，代入即得例5-5一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，受一力作用沿直線運(yùn)動(dòng).

此力按規(guī)律F=F0coswt而變化，其中F0與w

均為常數(shù).

在開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度為v0，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程解：（1）取質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象，它受F=F0coswt的力作用.

（2）質(zhì)點(diǎn)M沿直線運(yùn)動(dòng).

（3）以質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)直線為x軸.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程即兩邊積分得即兩邊再積分得§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程則質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為例5-6一質(zhì)點(diǎn)(如飛船等)以初速度v0從地球表面上沿鉛垂方向拋出，求質(zhì)點(diǎn)在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)速度，不計(jì)空氣阻力.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程解：（1）選質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象，它受地球引力F的作用.

根據(jù)萬有引力定律

其中m1為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，m2為地球的質(zhì)量，x為質(zhì)點(diǎn)到地心的距離.

（2）質(zhì)點(diǎn)沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng).（3）選地球中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸x鉛垂向上，得§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程即代入式(a)，并整理得即§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程先確定系數(shù)f.

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在地面時(shí)，地球引力的大小等于質(zhì)點(diǎn)的重力，即x=R時(shí)，F(xiàn)=m1g.

故有現(xiàn)將作以下的變換代入式(b)，得兩邊積分（初始條件為t=0，x=R，v=v0）得§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程如果v02<2gR，則在某一位置x時(shí)，速度將減少為零，此后質(zhì)點(diǎn)將往回落下；

如果v02>2gR，則不論x多大，都不會(huì)減為零，可見欲使物體向上拋射而一去不復(fù)返，最小初速度為

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程如以g=9.8m/s2，R=6370km代入，則v0=11.2km/s，這就是質(zhì)點(diǎn)（或宇宙飛船等）脫離地球引力范圍所需的初速度，稱它為第二宇宙速度.

由此得到在任一位置時(shí)的速度為（4）分析討論由上式可見，質(zhì)點(diǎn)速度隨

x的增加而遞減.

例5-7試分析如圖所示物體在阻尼介質(zhì)中自由降落時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況.

設(shè)物體所受到的介質(zhì)阻力為Fd=cArv2，其中c為阻力系數(shù)，r是介質(zhì)密度，A是物體垂直于速度方向的最大截面積，v是物體降落的速度.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程解：（1）取物體M為研究對(duì)象，它受重力W和介質(zhì)阻力Fd作用.

（2）物體沿直線軌跡運(yùn)動(dòng).

（3）選O為原點(diǎn)，x軸沿鉛垂向下，得

上式表明，運(yùn)動(dòng)開始時(shí)v較小，阻力Fd=cAv2也較小，故W–

cAv2>0，物體加速降落.

但Fd按速度平方迅速增大，當(dāng)速度達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，加速度為零，這時(shí)的速度叫做極限速度，以v極限表示.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程故物體達(dá)到極限速度后，將勻速下降.

極限速度與物體的重量、體積和形狀有關(guān)，故可利用液體分離大小不同的混合物.

§5-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

練5-1一圓錐擺如圖所示.質(zhì)量m=0.1kg的小球系于長l=0.3m的繩上，繩的另一端系在固定點(diǎn)O，并與鉛直線成=60°角.如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求小球的速度v與繩的張力.求:v，F(xiàn).第五章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程這是混合問題.解得解：研究小球其中第五