2022-2023學(xué)年廣東省梅州市豐順縣潭江中學(xué)九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2022-2023學(xué)年廣東省梅州市豐順縣潭江中學(xué)九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．一元二次方程2x2﹣x＝1的一次項系數(shù)和常數(shù)項依次是（）A．﹣1和1 B．﹣1和﹣1 C．2和﹣1 D．﹣1和32．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)b的取值有關(guān)3．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必須滿足的條件是（）A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜04．下列說法：①三點確定一個圓；②圓中最長弦是直徑；③長度相等的弧是等弧；④三角形只有一個外接圓．其中真命題有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．有兩個事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點數(shù)為偶數(shù)．下列說法正確的是（）A．事件A、B都是隨機事件 B．事件A、B都是必然事件 C．事件A是隨機事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是隨機事件6．若將拋物線y＝x2﹣2x+1沿著x軸向左平移1個單位，再沿y軸向下平移2個單位，則得到的新拋物線的頂點坐標(biāo)是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（1，2） D．（﹣1，2）7．如圖，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'．此時恰好點C在A'C'上，A'B交AC于點E，則△ABE與△ABC的面積之比為（）A． B． C． D．8．關(guān)于二次函數(shù)y＝x2+2x﹣8，下列說法正確的是（）A．圖象的對稱軸在y軸的右側(cè) B．圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，8） C．圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣2，0）和（4，0） D．y的最小值為﹣99．若四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周長相等，且△AOB，△BOC，△COD的內(nèi)切圓半徑分別為3，4，6，則△DOA的內(nèi)切圓半徑是（）A． B． C． D．以上答案均不正確10．如圖，若AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝65°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．25° B．45° C．55° D．75°二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．方程x2＝1的解是．12．一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2﹣8x+12＝0的根，則該三角形的周長為．13．二次函數(shù)y＝3x2﹣6x﹣3圖象的對稱軸是．14．用配方法將方程x2﹣4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式（m、n為常數(shù)），則＝．15．一個不透明的袋子里裝有4個紅球和2個黃球，它們除顏色外其余都相同，從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為．16．有5張正面分別寫有數(shù)字﹣3、﹣1、2、3、4的卡片，5張卡片除了數(shù)字不同外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，記卡片上的數(shù)字為a．抽取后不放回，再從中抽取一張，記卡片上的數(shù)字為b，則抽取的數(shù)字a、b能使一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限的概率為．17．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，點O是AB的中點，將OB繞點O向三角形外部旋轉(zhuǎn)α角時（0°＜α＜180°），得到OP，當(dāng)△ACP恰為軸對稱圖形時，α的值為．三、解答題：第18，19.20小題5分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．（1）（x﹣5）2﹣9＝0（2）x2+4x﹣2＝019．解方程：2x2﹣4x+1＝0．20．紅花中學(xué)現(xiàn)要從甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生中，選派兩位同學(xué)分別作為①號選手和②號選手代表學(xué)校參加全縣漢字聽寫大賽．（1）請用樹狀圖或列表法列舉出各種可能選派的結(jié)果；（2）求恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率．21．如圖，P是⊙O外的一點，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，C是上的任意一點，過點C的切線分別交PA、PB于點D、E．（1）若PA＝4，求△PED的周長；（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度數(shù)．22．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點A（3，0）、B（2，3），點B關(guān)于原點對稱點為C．（1）寫出C點的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積．23．如圖，等邊△ABC邊長為4，E是邊BC上動點，EH⊥AC于H，過E作EF∥AC，交線段AB于點F，在線段AC上取點P，使PE＝EB．設(shè)EC＝x（0＜x≤2）．（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；（2）Q是線段AC上的動點，當(dāng)四邊形EFPQ是平行四邊形時，求平行四邊形EFPQ的面積（用含x的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)（2）中的平行四邊形EFPQ面積最大值時，以E為圓心，r為半徑作圓，根據(jù)⊙E與此時平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)，求相應(yīng)的r的取值范圍．24．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（3，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點C，點P為x軸上方拋物線上的動點，點F為y軸上的動點，連接PA，PF，AF．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖1，當(dāng)點F的坐標(biāo)為（0，﹣4），求出此時△AFP面積的最大值；（3）如圖2，是否存在點F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．25．如圖1，⊙O為銳角三角形ABC的外接圓，點D在上，AD交BC于點E，點F在AE上，滿足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，設(shè)∠ACB＝α．（1）用含α的代數(shù)式表示∠BFD．（2）如圖2，若FG∥AC交BC于點G，BE＝FG，連結(jié)BD，DG，求證：△BDE≌△FDG．（3）在（2）的條件下，如圖3，當(dāng)AD為⊙O的直徑，的長為2時，求的長．

參考答案一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．一元二次方程2x2﹣x＝1的一次項系數(shù)和常數(shù)項依次是（）A．﹣1和1 B．﹣1和﹣1 C．2和﹣1 D．﹣1和3【分析】首先把1從等號右邊移到等號左邊，再確定一次項系數(shù)和常數(shù)項．解：2x2﹣x＝1，移項得：2x2﹣x﹣1＝0，一次項系數(shù)是﹣1，常數(shù)項是﹣1．故選：B．【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．2．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)b的取值有關(guān)【分析】先求出“Δ”的值，再根據(jù)根的判別式判斷即可．解：x2+bx﹣2＝0，Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8，∵不論b為何值，b2≥0，∴Δ＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．【點評】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b2﹣4ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2﹣4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根．3．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必須滿足的條件是（）A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0【分析】根據(jù)在Δ≥0的前提下用公式法解一元二次方程，即可確定答案．解：∵a＝1，b＝p，c＝q，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0時，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，故選：A．【點評】本題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．4．下列說法：①三點確定一個圓；②圓中最長弦是直徑；③長度相等的弧是等??；④三角形只有一個外接圓．其中真命題有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)確定圓的條件、三角形外接圓、圓的有關(guān)概念判斷即可．解：①不在同一直線上的三點確定一個圓，原命題是假命題；②圓中最長弦是直徑，是真命題；③在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，原命題是假命題；④三角形只有一個外接圓，是真命題；故選：C．【點評】此題考查了真命題與假命題，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．5．有兩個事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點數(shù)為偶數(shù)．下列說法正確的是（）A．事件A、B都是隨機事件 B．事件A、B都是必然事件 C．事件A是隨機事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是隨機事件【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件．首先判斷兩個事件是必然事件、隨機事件，然后找到正確的答案．解：事件A、一年最多有366天，所以367人中必有2人的生日相同，是必然事件；事件B、拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點數(shù)為1、2、3、4、5、6共6種情況，點數(shù)為偶數(shù)是隨機事件．故選：D．【點評】該題考查的是對必然事件的概念的理解；解決此類問題，要學(xué)會關(guān)注身邊的事物，并用數(shù)學(xué)的思想和方法去分析、看待、解決問題．用到的知識點為：必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．6．若將拋物線y＝x2﹣2x+1沿著x軸向左平移1個單位，再沿y軸向下平移2個單位，則得到的新拋物線的頂點坐標(biāo)是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（1，2） D．（﹣1，2）【分析】先配方得到y(tǒng)＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，則拋物線y＝x2﹣2x+1的頂點坐標(biāo)為（1，0），然后把點（1，0）沿著x軸向左平移1個單位，再沿y軸向下平移2個單位得到點（0，﹣2）．解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴拋物線y＝x2﹣2x+1的頂點坐標(biāo)為（1，0），∵拋物線y＝x2﹣2x+1沿著x軸向左平移1個單位，再沿y軸向下平移2個單位，∴平移后得拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，﹣2）．故選：B．【點評】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．7．如圖，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'．此時恰好點C在A'C'上，A'B交AC于點E，則△ABE與△ABC的面積之比為（）A． B． C． D．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝60°，則△BCC'是等邊三角形，∠CBC'＝60°，得出∠BEA＝90°，設(shè)CE＝a，則BE＝a，AE＝3a，求出，可求出答案．解：∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝60°，∴△BCC'是等邊三角形，∴∠CBC'＝60°，∴∠ABA'＝60°，∴∠BEA＝90°，設(shè)CE＝a，則BE＝a，AE＝3a，∴，∴，∴△ABE與△ABC的面積之比為．故選：D．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．關(guān)于二次函數(shù)y＝x2+2x﹣8，下列說法正確的是（）A．圖象的對稱軸在y軸的右側(cè) B．圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，8） C．圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣2，0）和（4，0） D．y的最小值為﹣9【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．解：∵二次函數(shù)y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），∴該函數(shù)的對稱軸是直線x＝﹣1，在y軸的左側(cè)，故選項A錯誤；當(dāng)x＝0時，y＝﹣8，即該函數(shù)與y軸交于點（0，﹣8），故選項B錯誤；當(dāng)y＝0時，x＝2或x＝﹣4，即圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（2，0）和（﹣4，0），故選項C錯誤；當(dāng)x＝﹣1時，該函數(shù)取得最小值y＝﹣9，故選項D正確；故選：D．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．9．若四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周長相等，且△AOB，△BOC，△COD的內(nèi)切圓半徑分別為3，4，6，則△DOA的內(nèi)切圓半徑是（）A． B． C． D．以上答案均不正確【分析】設(shè)△DOA的內(nèi)切圓半徑為r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周長為L，分別表示出四個三角形的面積，再根據(jù)四邊形兩對角線分割成的四個三角形中相對的兩個三角形面積之積相等列出方程，即可解出r．解：設(shè)△DOA的內(nèi)切圓半徑為r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周長為L，則S△AOB＝L?3＝L，S△BOC＝L?4＝2L，S△COD＝L?6＝3L，S△DOA＝Lr，∵S△AOB?S△COD＝S△COB?S△DOA，∴L?3L＝2L?Lr，∴r＝．故選：A．【點評】本題主要考查了三角的內(nèi)切圓與內(nèi)心性質(zhì)、四邊形面積蝴蝶定理的應(yīng)用．知道三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半、熟悉四邊形蝴蝶定理是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，若AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝65°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．25° B．45° C．55° D．75°【分析】首先連接AD，由AB為⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠ADB＝90°，繼而求得∠A的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得答案．解：連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝65°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝25°，∴∠BCD＝∠A＝25°．故選：A．【點評】此題考查了圓周角定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．方程x2＝1的解是±1．【分析】因為x2＝1，從而把問題轉(zhuǎn)化為求1的平方根．解：∵x2＝1∴x＝±1．【點評】解決本題的關(guān)鍵是理解平方根的定義，注意一個正數(shù)的平方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)．12．一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2﹣8x+12＝0的根，則該三角形的周長為13．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝6，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到三角形第三邊長為6，然后計算三角形的周長．解：x2﹣8x+12＝0，（x﹣2）（x﹣6）＝0，x﹣2＝0或x﹣6＝0，所以x1＝2，x2＝6，而2+2＝4＜5，所以三角形第三邊長為6，此時三角形的周長為2+5+6＝13．故答案為13．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三邊的關(guān)系．13．二次函數(shù)y＝3x2﹣6x﹣3圖象的對稱軸是直線x＝1．【分析】直接利用對稱軸公式可求得對稱軸．解：對稱軸是直線x＝＝1，即直線x＝1．故答案為：直線x＝1．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確記憶二次函數(shù)對稱軸公式是解題關(guān)鍵．14．用配方法將方程x2﹣4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式（m、n為常數(shù)），則＝1．【分析】根據(jù)配方法即可求出答案．解：∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x+4＝3，∴（x﹣2）2＝3，∴m＝﹣2，n＝3，∴原式＝1，故答案為：1【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．15．一個不透明的袋子里裝有4個紅球和2個黃球，它們除顏色外其余都相同，從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為．【分析】用紅球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可．解：∵從袋中任意摸出一個球共有6種等可能結(jié)果，其中摸出的球是紅球的有4種結(jié)果，∴從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為＝，故答案為：．【點評】本題考查了概率的知識．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．16．有5張正面分別寫有數(shù)字﹣3、﹣1、2、3、4的卡片，5張卡片除了數(shù)字不同外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，記卡片上的數(shù)字為a．抽取后不放回，再從中抽取一張，記卡片上的數(shù)字為b，則抽取的數(shù)字a、b能使一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限的概率為．【分析】從這5個數(shù)中找到抽取的數(shù)字a、b能使一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限的結(jié)果數(shù)，再依據(jù)概率公式計算可得．解：如圖所示：在這5張卡片中隨機抽取一張，抽取后不放回，再從中抽取一張，共有20種等可能結(jié)果，其中抽取的數(shù)字a、b能使一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限的有6種情況，∴符合條件的概率為＝．故答案為：．【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．也考查了一次函數(shù)圖象與性質(zhì)．17．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，點O是AB的中點，將OB繞點O向三角形外部旋轉(zhuǎn)α角時（0°＜α＜180°），得到OP，當(dāng)△ACP恰為軸對稱圖形時，α的值為50°或65°或80°．【分析】分三種情形討論①如圖1中，當(dāng)AC＝AP時，②如圖2中，當(dāng)PC＝PA時，③如圖3中，當(dāng)CA＝CP時，分別利用全等三角形的性質(zhì)計算即可．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AO＝OB，∴OC＝OA＝OB，∴∠OAC＝∠ACO＝25°，∠COB＝50°，∠AOC＝130°．①如圖1中，當(dāng)AC＝AP時，在△AOC和△AOP中，，∴△AOC≌△AOP（SSS），∴∠AOC＝∠AOP＝130°，∴α＝∠POB＝50°．②如圖2中，當(dāng)PC＝PA時，同理可證△OPA≌△OPC，∴∠POA＝∠POC＝（360°﹣∠AOC）＝115°，∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝65°．③如圖3中，當(dāng)CA＝CP時，同理可證△COA≌△COB，∴∠COP＝∠AOC＝130°，∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝80°故答案為：50°或65°或80°．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會題分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題：第18，19.20小題5分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．（1）（x﹣5）2﹣9＝0（2）x2+4x﹣2＝0【分析】（1）根據(jù)直接開方法即可求出答案；（2）根據(jù)配方法即可求出答案；解：（1）∵（x﹣5）2﹣9＝0，∴（x﹣5）2＝9，∴x﹣5＝±3，∴x1＝8，x2＝2．（2）∵x2+4x﹣2＝0，∴x2+4x+4＝6，∴（x+2）2＝6，∴x+2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．19．解方程：2x2﹣4x+1＝0．【分析】先化二次項系數(shù)為1，然后把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．解：由原方程，得x2﹣2x＝﹣，等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得x2﹣2x+1＝，配方，得（x﹣1）2＝，直接開平方，得x﹣1＝±，x1＝1+，x2＝1﹣．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移項，把常數(shù)項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，即化成x2+px+q＝0，然后配方．20．紅花中學(xué)現(xiàn)要從甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生中，選派兩位同學(xué)分別作為①號選手和②號選手代表學(xué)校參加全縣漢字聽寫大賽．（1）請用樹狀圖或列表法列舉出各種可能選派的結(jié)果；（2）求恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率．【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；（2）由（1）可求得恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的有8種情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：（1）畫樹狀圖得：則共有12種等可能的結(jié)果；（2）∵恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的有8種情況，∴恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率為：＝．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．如圖，P是⊙O外的一點，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，C是上的任意一點，過點C的切線分別交PA、PB于點D、E．（1）若PA＝4，求△PED的周長；（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度數(shù)．【分析】（1）可通過切線長定理將相等的線段進行轉(zhuǎn)換，得出三角形PDE的周長等于PA+PB的結(jié)論；（2）連接AB，根據(jù)切線長定理求證PA＝PB，再三角形內(nèi)角和定理求出∠PAB和∠PBA的度數(shù)，然后再利用BF為圓直徑即可求出∠AFB的度數(shù)．解：（1）∵DA，DC都是圓O的切線，∴DC＝DA，同理EC＝EB，∵P是⊙O外的一點，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B∴PA＝PB，∴三角形PDE的周長＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，即三角形PDE的周長是8；（2）連接AB，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠P＝40°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，∵BF⊥PB，BF為圓直徑∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．答：（1）若PA＝4，△PED的周長為8；（2）若∠P＝40°，∠AFB的度數(shù)為70°．【點評】本題考查的是切線長定理，題圖提供了很多等線段，分析圖形時關(guān)鍵是要仔細探索，找出圖形的各對相等切線長．22．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點A（3，0）、B（2，3），點B關(guān)于原點對稱點為C．（1）寫出C點的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反可得答案；（2）分別計算出△AOB和△AOC的面積，再求和即可．解：（1）B（2，3）關(guān)于原點對稱點為C（﹣2，﹣3）；（2）∵S△AOB＝，S△AOC＝，∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC＝9．【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，以及三角形的面積，關(guān)鍵是掌握掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律．23．如圖，等邊△ABC邊長為4，E是邊BC上動點，EH⊥AC于H，過E作EF∥AC，交線段AB于點F，在線段AC上取點P，使PE＝EB．設(shè)EC＝x（0＜x≤2）．（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；（2）Q是線段AC上的動點，當(dāng)四邊形EFPQ是平行四邊形時，求平行四邊形EFPQ的面積（用含x的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)（2）中的平行四邊形EFPQ面積最大值時，以E為圓心，r為半徑作圓，根據(jù)⊙E與此時平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)，求相應(yīng)的r的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)三角形ABC是等邊三角形和EF∥AC，可得等邊三角形BEF，則可寫出與EF相等的線段；（2）根據(jù)（1）可知EF＝BE＝4﹣x，要求平行四邊形的面積，只需求得EF邊上的高．作EH⊥AC于H，根據(jù)30度的直角三角形EHC進行表示EH的長，進一步求得平行四邊形的面積；（3）根據(jù)二次函數(shù)的頂點式或頂點的公式法求得平行四邊形的面積的最大值時x的值，分析平行四邊形的位置和形狀．然后根據(jù)公共點的個數(shù)分析圓和平行四邊形的各邊的位置關(guān)系，進一步根據(jù)圓和直線的位置關(guān)系求得r的取值范圍．解：（1）BE、PE、BF三條線段中任選兩條．（2）連接FP，作EQ∥FP交FE于E設(shè)EC為x∵EH⊥AC，∴∠EHC＝90°∴△CHE為直角三角形∵△ABC為等邊三角形，∴∠C＝60°在Rt△CHE中，∠CHE＝90°，∠C＝60°，∠HEC＝180°﹣∠C﹣∠EHC＝30°∴2HC＝EC∵HE2＝EC2﹣HC2∴EH＝x，∵EF∥AC，F(xiàn)P∥EQ∴四邊形EFPQ為平行四邊形∴PQ＝FE又∵PE＝BE∴PQ＝EF＝BE＝4﹣x∴S平行四邊形EFPQ＝﹣x2+2x．（3）S平行四邊形EFPQ＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，∴當(dāng)x＝2時，S平行四邊形EFPQ有最大值．此時E、F、P分別為△ABC三邊BC、AB、AC的中點，且點C、點Q重合∴平行四邊形EFPQ是菱形．過E點作ED⊥FP于D，∴ED＝EH＝．∴當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)是2個時，0＜r＜；當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)是4個時，r＝；當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)是6個時，＜r＜2；當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)是3個時，r＝2；當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)是0個時，r＞2．【點評】綜合運用了等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形的知識、直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系．24．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（3，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點C，點P為x軸上方拋物線上的動點，點F為y軸上的動點，連接PA，PF，AF．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖1，當(dāng)點F的坐標(biāo)為（0，﹣4），求出此時△AFP面積的最大值；（3）如圖2，是否存在點F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）如圖1，過點P作PQ∥y軸交直線AF于點Q，運用待定系數(shù)法可得直線AF的解析式為y＝x﹣4，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），則Q（t，t﹣4），利用三角形面積公式可得S△AFP＝PQ?OA＝（﹣t2+t+7）×3＝﹣（t﹣）2+，再運用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案；（3）設(shè)P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F(xiàn)（0，n），分兩種情況：①當(dāng)AP＝AF，∠PAF＝90°時，②當(dāng)AP＝PF，∠APF＝90°時，分別討論計算即可．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（3，0）、B（﹣1，0），∴，解得：，∴該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖1，過點P作PQ∥y軸交直線AF于點Q，設(shè)直線AF的解析式為y＝kx+d，∵A（3，0），F(xiàn)（0，﹣4），∴，解得：，∴直線AF的解析式為y＝x﹣4，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），則Q（t，t﹣4），∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣4）＝﹣t2+t+7，∴S△AFP＝PQ?OA＝（﹣t2+t+7）×3＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，﹣1＜t＜3，∴當(dāng)t＝時，△AFP面積的最大值為；（3）設(shè)P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F(xiàn)（0，n），∵A（3，0），∴OA＝3，OF＝|n|，①當(dāng)AP＝AF，∠PAF＝90°時，如圖2，過點P作PD⊥x軸于點D，則∠ADP＝90°＝∠AOF，∴∠PAD+∠APD＝90°，∵∠PAD+∠FAO＝90°，∴∠APD＝∠FAO，在△APD和△FAO中，，∴△APD≌△FAO（AAS），∴PD＝OA，AD＝OF，∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，∴﹣m2+2m+3＝3，解得：m＝0或2，當(dāng)m＝0時，P（0，3），AD＝3，∴OF＝3，即|n|＝3，∵點F在y的負半軸上，∴n＝﹣3，∴F（0，﹣3）；當(dāng)m＝2時，P（2，3），AD＝1，∴OF＝1，即|n|＝1，∵點F在y的負半軸上，∴n＝﹣1，∴F（0，﹣1）；②當(dāng)AP＝PF，∠APF＝90°時，如圖3，過點P作PD⊥x軸于點D，PG⊥y軸于點G，則∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝90°，∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝90°，∴四邊形PDOG是矩形，∴∠FPG+∠FPD＝90°，∵∠APD+∠FPD＝∠APF＝90°，∴∠FPG＝∠APD，在△FPG和△APD中，，∴△FPG≌△APD（AAS），∴PG＝PD，F(xiàn)G＝