三章 彈性力學(xué) 應(yīng)變分析

ysys(y)'(',')第3章應(yīng)分析(Strain3.1變形與應(yīng)變的概念TheConceptofDeformationandStrain本章討物的力之，究力體的形和應(yīng)變。在外(Force作下，體點位要發(fā)變，發(fā)位移(Displacement)。體一點位由剛位移（平加動和形位（含動轉(zhuǎn)動純變）成在主要論體變位移圖3.1所示一彈體受發(fā)生示變其中一移分坐，u(z)v(x,,z)A

w(,y,z)

y知道體位根程變就確首先物微狀步應(yīng)概念圖3所在xy平前兩(,,)0線段pp=0后該兩移到(x)P'(',y')

P(xy)

''x',y0x

P表示沿量sy分xxyy/

為'為(x)(為'為(x)(y)(x),(y)ss00xyxyxx'

P(xys

s

'(')

的位移分量(Displacement)'）000的位移分量(Displacement)P(x,)(x,y)ou(xy)(x,)

uxv'）將位uv按Taylor級數(shù)展開seriesforandv(x)()(x),(y)(y)(x,y)

(x)()),(yy)

u(,(x,y)(,)xy)

y)(,(yP(,y

由于

及

sy

s

則位uv的Taylor展開式可寫為P(y)000

s,s2o

略去高階項(x,)

P'(',y')

sy（）sy點的移分量達(dá)式（）點的位移分表達(dá)式3.2）代入式（3.3），可得

'

('')0

ss

o

(x)

P

y

)

('))另外，由'xxx

sss'y

s

y可知，矢量s的變化量為

=

'

=

())=(x)0000

='

=

()y)(')'y)0注意除去了動部僅含剛性轉(zhuǎn)和純變形/

()deformation(deformationAnalysis()deformation(deformationAnalysis)22ss)2yy

ss

3.4

或簡寫成

i

i,jj

/

在二維情況

ij

/0(i,jxy)

相對位移張量

在三維情況,

i,j

//(i,jxy)

ij

量(relativedisplacementtensor)

()純變形()。并不引起物體的變形y

(經(jīng)剛時的長

Elimination'o

sP(x,)

'

x

ss2x

x

x

y

)y根據(jù)

ss)

sss

s

x

yssss/

對應(yīng)剛體轉(zhuǎn)的相對位移張量，必為反稱張量。任何一個二張量都可以唯一分對應(yīng)剛體轉(zhuǎn)的相對位移張量，必為反稱張量。任何一個二張量都可以唯一分解成個對稱量和一反對量i,jjii,jj,iijjiijjix由于s任意性，y

同理，當(dāng)在oyz和討論時，可得

對應(yīng)剛體轉(zhuǎn)的相對位移張量，必為反稱張量。

i,j

ji

反對稱部分任何一個二張量都可以唯一分解成個稱張量和一反對張量純變形

i,j

(u)(u剛體轉(zhuǎn)動對稱部分將u

ij

11u)()寫成量形式為22uij

ij

ij此處ij

0

ij

應(yīng)變張量（變形）

轉(zhuǎn)動張量對于純變形說

ij

uij

ij

則方程

iijj

可化為現(xiàn)說明應(yīng)變量

ij

siijj的物理意義平行x軸

（3.12）

i

ij

j

xssx行的矢量的位長度o

的伸長或壓縮，為線應(yīng)變同理可知y/

的物理意義是線應(yīng)變

12ys''js'''2'令12ys''js'''2'令與夾角為=x''112x1y121211y，）如有兩矢量變形分別平行于122變形后為2i)+x1y+j)s2221y'x12o

s1

則由兩矢量內(nèi)積定義，有''s'1212y

同時：

'12x

i'1

j)

i'2x2

j)so

2

's1

'

其中：sy

s'1x212y's'1y2s)因均為小量，故略去二次微量，得2'121221y已知：的矢量內(nèi)積為2

'''cos2

'1''''另一方面，角的改為

21，并注意到

為一微小量則有

cos

由于純變形對稱張量，

xy

yx

所以

（）/

，，由此可知，示變形前與坐標(biāo)軸x,y正方向一致的兩正交線段在形后的夾角減量之半，即2y

如將變形前與軸正一致的相互垂直的兩線形過中發(fā)生的夾角改變量稱為變

則

x

或

12

剪應(yīng)變的正號規(guī)定為：當(dāng)兩個正向或負(fù)向）坐標(biāo)間的直角減小為正，反之為于是，我們到二維應(yīng)變情下的全部（三）應(yīng)變分量

柯西方程對于平面問，一點處的應(yīng)狀態(tài)就由這三應(yīng)變分量完全定三維方程用張量可以寫為

ij

()