有限單元法課件

本人程序：序號(hào)程序名稱功能1NMFRS可用于加筋土數(shù)值計(jì)算，除了常規(guī)方法外，還可用等效附件應(yīng)力法計(jì)算2NM02.2NM3D.1可用于土石壩、地基等土工結(jié)構(gòu)物平面應(yīng)變情況、三維情況的應(yīng)力應(yīng)變計(jì)算3NM2dc.2除了具備NM02.2的全部功能外，還可對軸對稱問題進(jìn)行計(jì)算。除了可計(jì)算常規(guī)應(yīng)力應(yīng)變問題，還可以用比奧固結(jié)理論計(jì)算固結(jié)問題4NM3dc.1將NM2dc.2擴(kuò)展到三維，解決了三維情況下應(yīng)力應(yīng)變、固結(jié)計(jì)算等問題5EFMdam用無單元法計(jì)算二維平面應(yīng)變問題，無單元和常規(guī)有限元通過界面相耦合6NMflow.1基于無單元法的滲流計(jì)算。主要針對有自由面的二維滲流問題。可以計(jì)算穩(wěn)定滲流、水位驟降、尤其水位驟升情況下的滲流問題NM2dc.3NMFW2D.1NM3dc.2NMFW3D.1高等土力學(xué)講義土工數(shù)值計(jì)算中的有限單元法清華大學(xué)水利系巖土所2005年5月介玉新jieyx@1概述2比奧固結(jié)理論的有限元格式3有限單元法的求解方法4有限元計(jì)算中的處理方法5文獻(xiàn)閱讀和編程中注意事項(xiàng)6案例分析：理論、經(jīng)驗(yàn)和直覺目錄1殷宗澤，土工原理與計(jì)算，中國水利水電出版社，19962龔曉南，土工計(jì)算機(jī)分析，中國建筑工業(yè)出版社，20003朱百里，沈珠江，計(jì)算土力學(xué)，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，19904朱伯芳，有限單元法原理與應(yīng)用，中國水利水電出版社，20005王勖成，邵敏，有限單元法基本原理和數(shù)值方法，清華大學(xué)出版社，1997王勖成，有限單元法，清華大學(xué)出版社，20036Desai，巖土工程數(shù)值方法，1981參考文獻(xiàn)1概述基本方程：比奧固結(jié)方程基本方法：有限差分法有限單元法FLAC常用方法本講義以平面應(yīng)變情況為例講解1概述1.1平衡方程總應(yīng)力表示的平衡方程：以孔壓表示的平衡方程：其中：符號(hào)規(guī)定：彈性力學(xué)符號(hào)規(guī)定?？讐阂岳瓰檎?，壓為負(fù)1概述1.1平衡方程以總水頭表示的平衡方程：其中：記1概述1.2連續(xù)性方程體積壓縮：流出水量：水的壓縮：QV=-V·

dVC=Ss·h·dV連續(xù)性要求：Q＝V-C達(dá)西定律＋1概述1.2連續(xù)性方程Ss0以孔壓表示以總水頭表示1概述比奧固結(jié)方程平衡方程與連續(xù)性方程聯(lián)立以總水頭表示以孔壓表示若水頭為0，退化為一般的應(yīng)力應(yīng)變問題；若土骨架不變，退化為滲流控制方程1概述求解比奧固結(jié)方程，還需要：物理方程：幾何方程：邊界條件：力、位移邊界水頭、流量邊界1概述1.3有限單元法的基本原理里茲法：構(gòu)造泛函離散化要求：泛函的駐值能夠滿足微分方程和邊界條件變分原理：若由范函的駐值條件=0能夠求得對應(yīng)連續(xù)問題的解，則定義描述和求解該問題的定理統(tǒng)稱為變分原理泛函來源：伯努利：最速降線問題泛函：函數(shù)的函數(shù)1概述1.3有限單元法的基本原理分片離散化伽遼金法：試函數(shù)取試函數(shù)為權(quán)函數(shù)的加權(quán)殘值法加權(quán)殘值=0有限單元法本質(zhì)：求解二維、三維情況下偏微分方程的一種方法里茲法：便于理論分析伽遼金法：便于構(gòu)造有限元格式，理解相關(guān)概念1概述1.3有限單元法的基本原理有限元原理里茲法變分原理最速降線問題泛函分析伽遼金法加權(quán)殘值法虛位移原理不具一般性1概述1.3有限單元法的基本原理本構(gòu)方程本質(zhì)：非線形彈性模型：————由事物內(nèi)部因素控制，故稱物理方程研究[D]陣（物理方程）及其變化，也即和的關(guān)系及其變化如Duncan-Chang模型：研究E、及其變化彈塑性模型：將變形分為兩部分：可恢復(fù)部分：廣義虎克定律不可恢復(fù)部分：塑性理論1概述1.3有限單元法的基本原理不可恢復(fù)部分（塑性部分）：塑性理論產(chǎn)生不可恢復(fù)變形（塑性變形）的條件屈服準(zhǔn)則f=k屈服標(biāo)準(zhǔn)的變化硬化規(guī)律f=F(H)塑性變形發(fā)生后各應(yīng)變分量之間的關(guān)系流動(dòng)規(guī)則：塑性勢g已知f,F,g，可以得到：本構(gòu)關(guān)系研究，大多是在找f,F,g1概述1.3有限單元法的基本原理匯總：有限單元法偏微分方程的解法研究本構(gòu)關(guān)系物理關(guān)系（方程）研究有限變形（大變形）理論幾何關(guān)系（方程）研究大應(yīng)變：拉面小應(yīng)變大轉(zhuǎn)動(dòng)：乒乓球壓癟本講義內(nèi)容2比奧固結(jié)理論的有限元格式用伽遼金方法推導(dǎo)，以平面4節(jié)點(diǎn)單元為例2.1伽遼金方法概述2.2以總水頭為未知數(shù)的比奧固結(jié)理論有限元格式2.3以孔壓為未知數(shù)的比奧固結(jié)理論有限元格式2比奧固結(jié)理論的有限元格式2.1伽遼金方法概述伽遼金法：取試函數(shù)為權(quán)函數(shù)的加權(quán)殘值法參考：龔曉南《土工計(jì)算機(jī)分析》2比奧固結(jié)理論的有限元格式加權(quán)殘值法：2.1伽遼金方法概述某系統(tǒng)在域V上在邊界S上Q：待求函數(shù)F,G：微分算子(微分運(yùn)算關(guān)系)設(shè)試函數(shù)有：Ui

:待定系數(shù)Ti

:形式已確定的試函數(shù)代入微分方程和邊界條件，有殘值：2比奧固結(jié)理論的有限元格式2.1伽遼金方法概述消去殘值的方程：內(nèi)部殘值方程邊界殘值方程加權(quán)殘值法2比奧固結(jié)理論的有限元格式2.1伽遼金方法概述伽遼金法：權(quán)函數(shù)取為試函數(shù)設(shè)試函數(shù)Ui

:單元節(jié)點(diǎn)未知量，位移或孔壓（水頭）Ni

:形函數(shù)（試函數(shù)）n

:單元節(jié)點(diǎn)數(shù)取形函數(shù)Ni為權(quán)函數(shù)：內(nèi)部殘值方程邊界殘值方程2比奧固結(jié)理論的有限元格式2.2以總水頭為未知數(shù)的比奧固結(jié)理論有限元格式2.2.1平衡方程的有限元格式2.2.2連續(xù)方程的有限元格式2.2.3增量形式的有限元格式2比奧固結(jié)理論的有限元格式2.2.1平衡方程的有限元格式總應(yīng)力表示的平衡方程形函數(shù)Ni：平面4節(jié)點(diǎn)4邊形單元：N1N2N3N4邊界條件2比奧固結(jié)理論的有限元格式單元內(nèi)部殘值方程對任一權(quán)函數(shù)（形函數(shù)）Ni

(i=1,2,34)邊界殘值方程2比奧固結(jié)理論的有限元格式利用分部積分法：2比奧固結(jié)理論的有限元格式單元內(nèi)部殘值方程2比奧固結(jié)理論的有限元格式邊界殘值方程2比奧固結(jié)理論的有限元格式對N1~N4四個(gè)形函數(shù)均成立，共有8個(gè)等式矩陣形式2比奧固結(jié)理論的有限元格式總應(yīng)力2比奧固結(jié)理論的有限元格式2比奧固結(jié)理論的有限元格式平衡方程有限元格式其中：多出一項(xiàng)2比奧固結(jié)理論的有限元格式2.2.2連續(xù)方程的有限元格式流量邊界條件總水頭表示的連續(xù)方程單元內(nèi)部殘值方程對任一權(quán)函數(shù)（形函數(shù)）Ni

(i=1,2,34)邊界殘值方程2比奧固結(jié)理論的有限元格式利用分部積分法：2比奧固結(jié)理論的有限元格式單元內(nèi)部殘值方程2比奧固結(jié)理論的有限元格式流量邊界條件邊界殘值方程2比奧固結(jié)理論的有限元格式邊界殘值方程單元內(nèi)部殘值方程2比奧固結(jié)理論的有限元格式對N1~N4四個(gè)形函數(shù)均成立，共有4個(gè)等式矩陣形式v=x+

y2比奧固結(jié)理論的有限元格式2比奧固結(jié)理論的有限元格式連續(xù)方程的有限元格式其中：2比奧固結(jié)理論的有限元格式其中：平衡方程與連續(xù)方程聯(lián)立多出一項(xiàng)2比奧固結(jié)理論的有限元格式2.2.3增量形式的有限元格式參考：龔曉南《土工計(jì)算機(jī)分析》時(shí)段tn-1~tn

之間，有：平衡方程增量形式其中：在相減中約去2比奧固結(jié)理論的有限元格式連續(xù)方程在時(shí)段tn-1~tn

上積分：通常情況ytf(t)tn-1tn一般取0.5~1，通常取2/32比奧固結(jié)理論的有限元格式將積分成果代入方程：其中：2比奧固結(jié)理論的有限元格式其中平衡方程與連續(xù)方程聯(lián)立2比奧固結(jié)理論的有限元格式2.3以孔壓為未知數(shù)的比奧固結(jié)理論有限元格式2.3.1平衡方程的有限元格式2.3.2連續(xù)方程的有限元格式2.3.3增量形式的有限元格式2比奧固結(jié)理論的有限元格式2.3.1平衡方程的有限元格式總應(yīng)力表示的格式以孔壓表示的格式2比奧固結(jié)理論的有限元格式2比奧固結(jié)理論的有限元格式2.3.2連續(xù)方程的有限元格式總水頭表示的格式2比奧固結(jié)理論的有限元格式2比奧固結(jié)理論的有限元格式其中：平衡方程與連續(xù)方程聯(lián)立多出一項(xiàng)2比奧固結(jié)理論的有限元格式2.2.3增量形式的有限元格式時(shí)段tn-1~tn

之間，有：平衡方程增量形式其中：與總水頭表示的荷載增量相同2比奧固結(jié)理論的有限元格式連續(xù)方程在時(shí)段tn-1~tn

上積分：其中：2比奧固結(jié)理論的有限元格式其中平衡方程與連續(xù)方程聯(lián)立2比奧固結(jié)理論的有限元格式其中匯總水頭為未知數(shù)孔壓為未知數(shù)注意：關(guān)于連續(xù)方程的推導(dǎo)龔曉南書中漏掉一項(xiàng)；殷宗澤書中不具一般性。2比奧固結(jié)理論的有限元格式作業(yè)直接用孔壓表示的連續(xù)方程推導(dǎo)以孔壓為未知數(shù)的有限元格式，即用下式推導(dǎo)：注意流量邊界處理作業(yè)求直立邊坡的臨界坡高Hcr，已知H=19.3kN/m3c=68kPa=27.6要求，用Bishop方法，并與上、下限解的成果進(jìn)行比較0.374H3有限單元法的求解方法3.1填筑分期，加載分級(jí)3.2每期荷載下的計(jì)算方法3有限單元法的求解方法3.1填筑分期，加載分級(jí)分期：模擬施工和加載過程，第一期一般為地基分級(jí)：每一期內(nèi)荷載分段施加，考慮土應(yīng)力應(yīng)變的非線性231F3有限單元法的求解方法3.2每期荷載下的計(jì)算方法增量法迭代法計(jì)算方法基本增量法中點(diǎn)增量法直接迭代法N-R迭代法常用方法常用方法3有限單元法的求解方法1增量法基本增量法：中點(diǎn)增量法:一般取上一級(jí){}對應(yīng)的[D]陣FF方法1：取F/2先初算一次，得到：{}[D]{}{}然后用F加載，用F/2對應(yīng)的[D]計(jì)算方法2：先直接用F初算一次，用得到的{}與上一級(jí)的{}平均，以計(jì)算[D]，然后再用F計(jì)算，作為正式成果。或者用兩次計(jì)算的[K]平均。推薦采用方法13有限單元法的求解方法補(bǔ)充解釋由于找不到起始點(diǎn)（即零點(diǎn)），所以只能得到土的切線模量，得不到割線模量F割線模量切線模量只對局部有效，所以嚴(yán)格講，哪一荷載對應(yīng)的模量都不合適FFn-1FnKulhawy、Duncan等對一側(cè)限約束的一維柱體進(jìn)行計(jì)算，并與理論解比較中點(diǎn)增量法誤差約為基本增量法的一半，如果分層較密，中點(diǎn)增量法與理論解誤差有望<5%表明：3有限單元法的求解方法參考：Desai《巖土工程數(shù)值方法》3有限單元法的求解方法2迭代法直接迭代法：Newton-Raphson迭代法:用割線模量直接迭代F不能適用于土用切線模量進(jìn)行迭代F3有限單元法的求解方法修正的Newton-Raphson迭代法:FF迭代過程中切線模量不變N-R迭代法修正的N-R迭代法常用方法雖然收斂慢些，但不必每次計(jì)算[K]陣，所以整體速度更快3有限單元法的求解方法3增量迭代法增量法和迭代法混合，在每一增量步內(nèi)用迭代法計(jì)算說明：一些方法，如余量迭代法、初應(yīng)力法、初應(yīng)變法等本質(zhì)上都是N-R方法或修正的N-R方法4有限元計(jì)算中的處理方法4.1地基土單元處理4.2新填土單元處理4.3鄧肯-張模型的處理4.4界面單元4.5不可壓縮材料4有限元計(jì)算中的處理方法4.1地基土單元處理4.2新填土單元處理方法1：方法2:直接給應(yīng)力賦值，應(yīng)變、位移置0用有限元計(jì)算，應(yīng)變、位移置0，只保留應(yīng)力1新填土單元應(yīng)變、位移置0，只保留應(yīng)力，應(yīng)力可通過有限元計(jì)算或直接賦值2為防止新填土單元約束下部土體，可取其模量為下部土體模量的1/500~1/1000最大豎向位移一般在中間4有限元計(jì)算中的處理方法4.3鄧肯-張模型的處理1加卸載判斷參考Duncan的FEDAM84程序SSSS上：加載，模量取EtSS<SS上：卸載，彈性模量切線模量Et彈性模量Eur4有限元計(jì)算中的處理方法2土單元受拉時(shí)，即3<0本人建議：對砂土，模量取1/100~1/1000Et對粘性土，模量取1/3Et左右模量取小值1/100~1/1000Et未拉壞時(shí)，拉壞時(shí)，4有限元計(jì)算中的處理方法33>0，但3較小

切線模量3＝0時(shí)無法計(jì)算通常取計(jì)算Et0取50kPa或100kPa4有限元計(jì)算中的處理方法4.4界面單元兩種材料性質(zhì)相差較大時(shí)，兩者之間應(yīng)設(shè)界面單元如土與混凝土，不設(shè)界面單元，混凝土中計(jì)算應(yīng)力可能過大常用：Goodman單元Desai接觸面單元1432Goodman單元殷宗澤、朱伯芳書中介紹較好4有限元計(jì)算中的處理方法4.5不可壓縮材料一般情況下：＝0~0.50.5稱不可壓縮材料，會(huì)出現(xiàn)自鎖現(xiàn)象如果>0.49，?。?.49如飽和土在不排水情況下不可壓縮材料在力學(xué)上有專門的處理方法，如減縮積分5文獻(xiàn)閱讀和編程中注意事項(xiàng)關(guān)于文獻(xiàn)閱讀①書中難免錯(cuò)誤和疏漏，應(yīng)多拿幾本書比較著看，不可只盯一本書原因a問題本身不易說清b作者有的熟悉，有的不熟悉c作者以訛傳訛d打印錯(cuò)誤e其它原因輪扁斫輪KanaliCanal七月流火Hammer積分歷史原因lgln圖表軟件關(guān)于比奧理論的書床井臺(tái)馬踏飛“隼”5文獻(xiàn)閱讀和編程中注意事項(xiàng)②關(guān)鍵的、基本的原理要自己推導(dǎo)一下舉例自己推導(dǎo)能使概念清晰實(shí)在無法推導(dǎo)，應(yīng)多找?guī)妆緯ハ嘈σ幌垄圻m當(dāng)做筆記繁簡適當(dāng)太簡不起作用，太繁令自己疲憊不堪,望而生畏比奧固結(jié)理論及有限元格式推導(dǎo)三維接觸面剛度矩陣、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系推導(dǎo)滲流自由面，5本書5中寫法總之：應(yīng)當(dāng)博采眾長，自己把握清楚5文獻(xiàn)閱讀和編程中注意事項(xiàng)關(guān)于程序編寫①先大致學(xué)習(xí)一下別人程序②編寫前寫好變量說明和程序框圖，至少概要框圖，不要拿起來就編③基本公式、算法要自己推導(dǎo)以免書中有錯(cuò)，且使自己概念清晰④做好記錄，有來有回兩個(gè)本子，一為日常記錄，一為階段性工作整理⑤要在精力充沛的時(shí)段編程序。合理安排時(shí)間，不要勉強(qiáng)應(yīng)付⑥修改程序時(shí)不要隨手。要做好修改記錄，并事先做好計(jì)劃⑦及時(shí)整理好文檔材料及最終框圖文檔材料內(nèi)容建議：理論原理變量說明程序框圖處理技巧繁簡適當(dāng)5文獻(xiàn)閱讀和編程中注意事項(xiàng)關(guān)于程序使用了解其計(jì)算原理、處理方法，最好剖析其源程序，弄清前因后果，做到心中有數(shù)大多數(shù)情況下是使用別人程序，此時(shí)需要注意：總之，要養(yǎng)成良好的編程和運(yùn)用程序的習(xí)慣，要按部就班，不要弄巧成拙有限元是求解偏微分方程的工具。平常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，大多數(shù)情況下不是有限元本身的錯(cuò)誤，而是使用者的誤解和不恰當(dāng)應(yīng)用（有限元）Shouldonlybeusedbyacompete