高考總復習 第6節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第6節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考試要求1.理解對數(shù)的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；2.通過具體實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點；3.知道對數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)(a>0，且a≠1).知識梳理1.對數(shù)的概念一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么就稱b是以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對數(shù)的性質、運算性質與換底公式(1)對數(shù)的性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數(shù)的運算性質如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)換底公式：logaN＝3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(其中a>0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1).(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質a>10<a<1圖象性質定義域：(0，＋∞)值域：R當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)y＝ax稱為y＝logax的反函數(shù)，反之，y＝logax也稱為y＝ax的反函數(shù).一般地，如果函數(shù)y＝f(x)存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)記作y＝f－1(x).它們的圖象關于直線y＝x對稱.[常用結論與微點提醒]1.換底公式的兩個重要結論(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).2.在第一象限內，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，限.，函數(shù)圖象只在第一、四象診斷自測1.判斷下列結論的正誤.(在括號內打“√”或“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對數(shù)函數(shù).()(3)函數(shù)y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同.()(4)當x>1時，若logax>logbx，則a<b.()解析(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)錯.(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)為對數(shù)函數(shù)，故(2)錯.(4)若0<b<1<a，則當x＞1時，logax＞logbx，故(4)錯.答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.(新教材必修第一冊P127T3改編)log29×log34＋2log510＋log50.25＝()A.0B.2C.4D.6解析原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.答案D3.(教材必修1P83例2改編)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，則()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b解析∵0<a<1，b<0，c＝log＝log23>1.∴c>a>b.答案D4.(2018·全國Ⅲ卷)設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則()A.a＋b<ab<0C.a＋b<0<abB.ab<a＋b<0D.ab<0<a＋b解析由題設，得＝log0.30.2>0，＝log0.32<0.∴0<＋＝log0.30.4<1，即0<<1.又a>0，b<0，故ab<a＋b<0.答案B5.(2019·蘇州調研)已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，且a≠1)的圖象如圖，則下列結論成立的是()A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1解析由題圖可知，函數(shù)在定義域內為減函數(shù)，所以0<a<1.又當x＝0時，y>0，即logac>0，所以0<c<1.答案D6.(2020·無錫調研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝log2(－x)＋m，且f＝，則m＝________.解析由f＝，且f(x)為奇函數(shù).∴f＝－f＝－，因此log2＋m＝－，則m＝1－.答案1－考點一對數(shù)的運算【例1】(1)設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于()A.B.10C.20D.100(2)計算：＝________.解析(1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，則＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝.(2)原式＝＝＝＝＝＝1.答案(1)A(2)1規(guī)律方法1.在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應注意互化.【訓練1】(1)(2019·北京卷)在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2).已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()lgA.1010.1D.10－10.1，ab＝ba，則a＝________，b＝________.B.10.1C.lg10.1(2)(多填題)已知a>b>1，若logab＋logba＝解析(1)依題意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所給公式得(－26.7)＝25.25.lg＝－1.45－所以lg＝25.25×＝10.1，即＝1010.1.(2)設logba＝t，則t>1，因為t＋所以t＝2，則a＝b2.又ab＝ba，＝，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.答案(1)A(2)42考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應用【例2】(1)(2020·常州調研)已知lga＋lgb＝0，則函數(shù)f(x)＝a－x與函數(shù)g(x)＝logbx的圖象可能是()(2)已知函數(shù)f(x)＝圍是________.且關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范解析(1)由lga＋lgb＝0，得ab＝1.∴f(x)＝a－x因此f(x)＝bx與g(x)＝logbx單調性相同.A，B，D中的函數(shù)單調性相反，只有C的函數(shù)單調性相同.＝＝bx，(2)如圖，在同一坐標系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線y＝－x＋a在y軸上的截距.由圖可知，當a>1時，直線y＝－x＋a與y＝f(x)只有一個交點.答案(1)C(2)(1，＋∞)規(guī)律方法1.在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結合法求解.【訓練2】(1)若函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，則，，的大小關系是()A.C.>>>>B.D.>>>>(2)當x∈(1，2)時，不等式(x－1)2<logax恒成立，則a的取值范圍是()A.(0，1)B.(1，2)C.(1，2]D.解析(1)由題意可得，，，分別看作函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)圖象上的點(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))與原點連線的斜率.結合圖象可知當a>b>c時，>>.(2)由題意，易知a>1.如圖，在同一坐標系內作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax，x∈(1，2)的圖象.若y＝logax過點(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.根據(jù)題意，函數(shù)y＝logax，x∈(1，2)的圖象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.結合圖象，a的取值范圍是(1，2].答案(1)B(2)C考點三解決與對數(shù)函數(shù)性質有關的問題多維探究角度1比較大小【例3－1】(1)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，則a，b，c的大小關系是()A.a＝b<cB.a＝b>cC.a<b<cD.a>b>c(2)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關系為()A.a<c<bC.b<c<aB.a<b<cD.c<a<b解析(1)因為a＝log23＋log2log32<log33＝1.所以a＝b>c.＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝(2)因為y＝log5x是增函數(shù)，所以a＝log52<log5＝0.5.因為y＝log0.5x是減函數(shù)，所以b＝log0.50.2>log0.50.5＝1.因為y＝0.5x是減函數(shù)，所以0.5＝0.51<c＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c<1.所以a<c<b.答案(1)B(2)A規(guī)律方法比較冪或對數(shù)值的大小，若冪的底數(shù)相同或對數(shù)的底數(shù)相同，通常利用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)的單調性進行比較，若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進行比較.角度2解簡單的對數(shù)不等式【例3－2】(1)(2020·鎮(zhèn)江調研)已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(1)＝2，則不等式f(log2x)>2的解集為()A.(2，＋∞)B.∪(2，＋∞)C.∪(，＋∞)D.(，＋∞)(2)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析(1)因為偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2，即|log2x|>1，解得0<x<或x>2.(2)當a>1時，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是減函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，則f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>a，解得1<a<.當0<a<1時，f(x)在[1，2]上是增函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.∴8－a<a且8－2a>0，此時解集為?.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是答案(1)B(2).規(guī)律方法形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況討論.角度3對數(shù)型函數(shù)性質的綜合應用【例3－3】(2020·連云港調研)已知函數(shù)f(x)＝log2.(1)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，求a的取值范圍；(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值的差不小于2，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0，∴l(xiāng)og2(1＋a)＝0，∴a＝0.當a＝0時，f(x)＝－x是R上的奇函數(shù).所以a＝0.(2)若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，則＋a>0恒成立.即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0，則a的取值范圍是[0，＋∞).(3)由已知得函數(shù)f(x)是減函數(shù)，故f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.由題設得log2(1＋a)－log2則log2(1＋a)≥log2(4a＋2).≥2，∴解得－<a≤－.故實數(shù)a的取值范圍是.規(guī)律方法1.研究函數(shù)性質，要樹立定義域優(yōu)先的原則，討論函數(shù)的一切問題都在定義域上進行.2.解題注意幾點：(1)由f(0)＝0，得a＝0，需驗證f(－x)＝－f(x).(2)f(x)的定義域為R，轉化為不等式恒成立問題.(3)第(3)問運用轉化思想，把對數(shù)不等式轉化為等價的代數(shù)不等式.【訓練3】(1)(多選題)(角度1)設不為1的實數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c＞0，下列選項錯誤的是()A.logcb＞logabC.ba＞bcB.logab＞logacD.ab＞cb(2)(角度2)設f(x)＝lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是________.(3)(角度3)已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(m，n)，且函數(shù)g(x)＝mx2－2bx＋n在[1，＋∞)上單調遞減，則實數(shù)b的取值范圍是________.解析(1)因為b為定值，當a＞c＞1時，logcb＞logab；當1＞a＞c＞0時，logcb＜logab，故A錯誤；因為底數(shù)a，b與1的大小關系不確定，故B，C錯誤；因為y＝xb(b＞0)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，而a＞c＞0，故ab＞cb，故D正確，故選ABC.(2)由f(x)是奇函數(shù)可得a＝－1，∴f(x)＝lg，定義域為(－1，1).由f(x)<0，可得0<<1，∴－1<x<0.(3)∵函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(m，n)，令x＋2＝1，求得x＝－1，f(x)＝3，可得函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(－1，3)，∴m＝－1，n＝3.∵函數(shù)g(x)＝mx2－2bx＋n＝－x2－2bx＋3，在[1，＋∞)上單調遞減，∴－≤1，即b≥－1，所以實數(shù)b的取值范圍為[－1，＋∞).答案(1)ABC(2)(－1，0)(3)[－1，＋∞)贏得高分基本初等函數(shù)的應用“瓶頸題”突破以基本初等函數(shù)為載體考查函數(shù)的應用，?？汲Ｐ?命題多與函數(shù)零點(不等式)、參數(shù)的求值交匯，如2017·全國Ⅲ卷·T15，2018·全國Ⅰ卷·T9，2019·全國Ⅲ卷·T11，解題的關鍵是活用函數(shù)的圖象與性質，重視導數(shù)的工具作用.【典例】(2020·淄博模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex，g(x)＝lnf(a)＝g(b)，則b－a的最小值為()＋，對任意a∈R，存在b∈(0，＋∞)，使A.2－1C.2－ln2解析存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，B.e2－D.2＋ln2則ea＝ln＋，令t＝ea＝ln＋>0.∴a＝lnt，b＝2et－，則b－a＝2et－－lnt.設φ(t)＝2et－－lnt，則φ′(t)＝2et－－(t>0).顯然φ′(t)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，當t＝時，φ′＝0.∴φ′(t)有唯一零點t＝.故當t＝時，φ(t)取得最小值φ答案D＝2＋ln2.思維升華1.解題的關鍵：(1)由f(a)＝g(b)，引入?yún)?shù)t表示a，b兩個量.(2)構造函數(shù)，轉化為求函數(shù)的最值.2.可導函數(shù)唯一極值點也是函數(shù)的最值點，導數(shù)是求解函數(shù)最值的工具.【訓練】(2020·宿遷模擬)函數(shù)f(x)＝若互不相等的實數(shù)a，b，c滿足f(a)＝f(b)＝f(c)，則2a＋2b＋2c的取值范圍是()A.(16，32)C.(17，35)B.(18，34)D.(6，7)解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.不妨設a<b<c，則a<0，b>0.由f(a)＝f(b)，得1－2a＝2b－1，則2a＋2b＝2.又f(a)＝f(b)＝f(c)，結合圖象，得0<5－c<1，則4<c<5.∴16<2c<32.故18<2a＋2b＋2c<34.答案BA級基礎鞏固一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)＝則f(2＋log23)的值為()A.24B.16C.12D.8解析因為3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.答案A2.(2020·南京模擬)已知實數(shù)a＝2ln2，b＝2＋2ln2，c＝(ln2)2，則a，b，c的大小關系是()A.c<b<aC.b<a<cB.a<c<bD.c<a<b解析由于0<ln2<1，所以a＝2ln2∈(1，2)，b>2，c＝(ln2)2∈(0，1).因此b>a>c.答案D3.若函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可能是()解析由f(x)在R上是減函數(shù)，知0<a<1.又y＝loga(|x|－1)是偶函數(shù)，定義域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴當x>1時，y＝loga(x－1)的圖象由y＝logax的圖象向右平移一個單位得到.因此選項D正確.答案D4.(2020·濰坊調研)若函數(shù)f(x)＝|x|＋x3，則f(lg2)＋f＋f(lg5)＋f＝()A.2B.4C.6D.8解析由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.又lg＝－lg2，lg＝－lg5.所以原式＝2|lg2|＋2|lg5|＝2(lg2＋lg5)＝2.答案A5.若函數(shù)f(x)＝logaA.(0，＋∞)(a>0，且a≠1)在區(qū)間B.(2，＋∞)內恒有f(x)>0，則f(x)的單調遞增區(qū)間為()C.(1，＋∞)D.解析令M＝x2＋x，當x∈時，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函數(shù)y＝logaM為增函數(shù)，又M＝－，因為M的單調遞增區(qū)間為.又x2＋x>0，所以x>0或x<－，所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞).答案A二、填空題6.(2020·北京模擬)已知23log4x＝27，則x的值為________.解析23log4x＝2log2x＝x，又27＝33＝(32)＝9，所以x＝9，所以x＝9.答案97.(2019·全國Ⅱ卷)已知f(x)是奇函數(shù)，且當x<0時，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，則a＝________.解析由題意得，當x>0，－x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝eln2－a＝2－a＝8＝23，即2－a＝23，所以a＝－3.答案－38.設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是________.解析當x≤1時，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；當x>1時，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.綜上可知，x≥0.答案[0，＋∞)三、解答題9.已知函數(shù)f(x)＝log2(a為常數(shù))是奇函數(shù).(1)求a的值與函數(shù)f(x)的定義域；(2)若當x∈(1，＋∞)時，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解(1)因為函數(shù)f(x)＝log2所以f(－x)＝－f(x)，是奇函數(shù)，所以log2即log2＝－log2＝log2，，所以a＝1，f(x)＝log2，令>0，解得x<－1或x>1，所以函數(shù)的定義域為{x|x<－1或x>1}.(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，當x>1時，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因為x∈(1，＋∞)時，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范圍是(－∞，1].10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝logx.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解(1)當x<0時，－x>0，則f(－x)＝log(－x).因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝(2)因為f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函數(shù)，且f(0)＝0>－2，所以不等式f(x2－1)>－2轉化為f(|x2－1|)>f(4).又因為函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以|x2－1|<4，解得－<x<，即不等式的解集為(－B級能力提升，).11.(2019·浙江卷)在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的圖象可能是()解析若a>1，則y＝因此0<a<1.單調遞減，A，B，D不符合，且y＝loga過定點，C項不符合，當0<a<1時，函數(shù)y＝ax的圖象過定點(0，1)，在R上單調遞減，于是函數(shù)y＝1)，在R上單調遞增，函數(shù)y＝loga的圖象過定點(0，上單調遞減.因此，的圖象過定點，在選項D中的兩個圖象符合.答案D12.(2017·全國Ⅰ卷)設x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A.2x<3y<5zC.3y<5z<2xB.5z<2x<3yD.3y<2x<5z解析令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z為正數(shù)，∴t>1.則x＝log2t＝∴2x－3y＝，同理，y＝，z＝.－＝＝>0，∴2x>3y.又∵2x－5z＝－＝＝<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.答案D13.設實數(shù)a，b是關于x的方程|lgx|＝c的兩個不同實數(shù)根，且a<b<10，則abc的取值范圍是________.解析由題意知，如圖，在(0，10)上，函數(shù)y＝|lgx|的圖象和直線y＝c有兩個不同交點，所以ab＝1，0<c<lg10＝1，所以abc的取值范圍是(0，1).答案(0，1)14.已知函數(shù)f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)當x∈[1，4]時，求函數(shù)h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果對任意的x∈[1，4]不等式f(x2)·f(解(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(l