【中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例】人教版高中必修五：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和?？谝恢旭T海敏（一）教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能:通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。2.過程與方法:通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識解決一些簡單的問題，進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對等差數(shù)列相應(yīng)問題的研究。3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生利用學(xué)過的知識解決與現(xiàn)實(shí)有關(guān)的問題的能力。（二）教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；學(xué)會用公式解決一些實(shí)際問題，體會等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得，靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題（三）學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：講練結(jié)合教學(xué)用具：投影儀

（四）教學(xué)設(shè)想[創(chuàng)設(shè)情景]等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實(shí)際生活中經(jīng)常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時(shí)，高斯的數(shù)學(xué)老師提出了下面的問題：1+2+3+……+100=？當(dāng)時(shí)，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，…，n，…前100項(xiàng)的和的問題。今天我們就來學(xué)習(xí)如何去求等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和。[探索研究]我們先來看看人們由高斯求前100個(gè)正整數(shù)的方法得到了哪些啟發(fā)。人們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個(gè)方法計(jì)算1，2，3，…，n，…的前n項(xiàng)的和：由

1

+

2

+…+n-1

+

n

n

+

n-1

+…+

2

+

1

（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）可知上面這種加法叫“倒序相加法”請同學(xué)們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他發(fā)現(xiàn)了整個(gè)數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和與首項(xiàng)與尾項(xiàng)的和是相等的這個(gè)規(guī)律并且把這個(gè)規(guī)律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的。[等差數(shù)列求和公式的教學(xué)]一般地，稱為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，用表示，即1、

思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進(jìn)行求和。我們用兩種方法表示：

①②由①+②，得

由此得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式對于這個(gè)公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項(xiàng)、尾項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項(xiàng)和了。2、

除此之外，等差數(shù)列還有其他方法（讀基礎(chǔ)教好學(xué)生要介紹）當(dāng)然，對于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也可以有其他的推導(dǎo)途徑。例如：

=

=

=

=這兩個(gè)公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中，就可以得到引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個(gè)公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)內(nèi)在性質(zhì)。第二個(gè)公式反映了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進(jìn)行比較。這兩個(gè)公式的共同點(diǎn)都是知道和n，不同點(diǎn)是第一個(gè)公式還需知道，而第二個(gè)公式是要知道d，解題時(shí)還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。

[公式運(yùn)用]（課本52頁練習(xí)1、2）1、

根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S.⑴⑵

[例題分析]例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的統(tǒng)治》.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？⑴、先閱讀題目；⑵、引導(dǎo)學(xué)生提取有用的信息，構(gòu)件等差數(shù)列模型；⑶、寫這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，并根據(jù)首項(xiàng)和公差選擇前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。解：根據(jù)題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個(gè)等差數(shù)列，表示從2001年起各年投入的資金，其中

，

d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為

（萬元）答：從2001~2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.

例2．已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？

引導(dǎo)學(xué)生分析得到：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是一個(gè)關(guān)于的方程。若要確定其前n項(xiàng)求和公式，則要確定的關(guān)系式，從而求得。分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后，可得到兩個(gè)關(guān)于與d的二元一次方程，由此可以求得與d，從而得到所求前n項(xiàng)和的公式.

解：由題意知

，

將它們代入公式

得到

解這個(gè)關(guān)于與d的方程組，得到=4，d=6，

所以另解：

得

所以

②

②-①，得，

所以

代入①得：

所以有

例題評述：此例題目的是建立等差數(shù)列前n項(xiàng)和與解方程之間的聯(lián)系.已知幾個(gè)量，通過解方程，得出其余的未知量.

例3

已知數(shù)列的前n項(xiàng)為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？解：根據(jù)

＞

與

可知，當(dāng)n＞1時(shí)，

①

當(dāng)n=1時(shí)，

也滿足①式.

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

由此可知，數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列。

這個(gè)例題還給出了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)求法.已知前n項(xiàng)和，可求出通項(xiàng)（n＞1）

用這種數(shù)列的來確定的方法對于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項(xiàng)表達(dá)式，所以最后要驗(yàn)證首項(xiàng)是否滿足已求出的.思考：結(jié)合例3，思考課本51頁“探究”：一般地，如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為其中p、q、r為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？引導(dǎo)分析得出：觀察等差數(shù)列兩個(gè)前n項(xiàng)和公式，和，公式本身就不含常數(shù)項(xiàng)。所以得到：如果一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0，且關(guān)于n的二次型函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列.

例4已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得最大的序號n的值.

分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以寫成，所以可以看成函數(shù)當(dāng)x=n時(shí)的函數(shù)值.另一方面，容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點(diǎn).因此，我們可以利用二次函數(shù)來求n的值.

解：由題意知，等差數(shù)列的公差為，所以

=

于是，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，取最大值.[隨堂練習(xí)]課本52頁“練習(xí)”第1、2、3、4題[補(bǔ)充練習(xí)]1、已知數(shù)列是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列，設(shè)成等差數(shù)列嗎？生：分析題意，解決問題.解：設(shè)首項(xiàng)是，公差為d則：同理可得成等差數(shù)列.2、求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和。解由m=100，得滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個(gè)，所以集合m中的元素共有14個(gè)，從小到大可列為：7，7×2，7×3，7×4，…7×14即：7，14，21，28，…98這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為其中解由m=100，得滿足此不等式的正整數(shù)n共有14