逆變換與逆矩陣優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

換y/→y換y/→yy1022逆變換與矩陣【學(xué)標(biāo)一、知識(shí)與技能：會(huì)用代數(shù)或幾何方法判斷一個(gè)二階矩陣是否存在逆矩陣，存在情況下，會(huì)求逆矩陣二、過程與方法：講練結(jié)合法三、情感態(tài)度和價(jià)值觀：體會(huì)問題的探究與深入方法【學(xué)難】求二階逆矩陣【學(xué)程一、問題情景

變換

（1）這個(gè)對(duì)應(yīng)終歸是什么對(duì)應(yīng)？

（2）這個(gè)對(duì)應(yīng)是否一定可以實(shí)現(xiàn)？在學(xué)過的恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換中，哪些可以實(shí)現(xiàn)，那些不能？由此得到能實(shí)現(xiàn)此這種變換的條件是什么？（不一定能實(shí)現(xiàn)；恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、切變可以實(shí)現(xiàn)，投影不能實(shí)現(xiàn)；是一一對(duì)應(yīng)的變換可以實(shí)現(xiàn)，不是一一對(duì)應(yīng)的不能實(shí)現(xiàn)）（3）對(duì)應(yīng)的矩陣如何表示？若T應(yīng)變換矩陣為A，T應(yīng)的變換矩陣為B，BA=E12二、問題的深入1．相關(guān)定義以上變換T．T作對(duì)方的逆變換，T．T稱互逆的2112相應(yīng)的矩陣A．B滿足：AB=BA=E，稱A是可逆的，稱A的逆矩陣?yán)?．A=，B=，C=

，問B．C是否為A的逆矩陣？解答：B不是，C是思考1：一個(gè)矩陣A存在逆矩陣，逆矩陣唯一嗎？1/4

cc0122ccc0122cc0從直觀角度上看，逆變換是唯一的，逆矩陣也應(yīng)該唯一；可以進(jìn)行驗(yàn)證：A的逆矩陣為B．B，則有：B=BE=B（AB=（BA）B=EB=B121112122

2這樣，一個(gè)矩陣A存在逆矩陣，則其逆矩陣唯一，記為

-1從幾何角度是一個(gè)辦法，但不是最佳辦法，因?yàn)樵S多矩陣不能看出是什么變換。所以從一般的角度加以考慮。首先，零矩陣一定沒有逆矩陣b設(shè)二階非零矩陣的逆矩陣為xx0byy

，則dy②即方程ax③2的方程組也要有解

有解①②組成的xy的方組要有解③④組成的x2y211現(xiàn)用消去法解①②方程組。①×d得：adx+bdy②×b得：cbx=01111差得到

兩式作(ad-bc)x=d，要有解，必須ad-bc≠0，此時(shí)=11

，將之代入②得y=-c對(duì)于③④，實(shí)質(zhì)是將①②中a與c，b與d互換，從而=，y2．結(jié)論一個(gè)二階非零矩陣

b

存在逆矩陣的條件是ad-bc≠（主對(duì)角線積與副對(duì)角線積的差不為0時(shí)

b

-1

=

bcc

bc與原矩陣比較：分母都是ad-bc，分子主對(duì)角線互換，副對(duì)角線變?yōu)槠湎喾磾?shù)即：主角對(duì)角積相減，四元分母盡一般；分子主角兩相換，副角分子數(shù)相反這樣判斷及求逆矩陣方法有幾何法和代數(shù)法兩個(gè)方法例2．判斷下列矩陣是否存在逆矩陣，存在條件下，求其逆矩陣（1）

1

（2）

0

（3）

12/4

=-11030000=-11030000yTAy112cc解）存在逆矩陣，（2）不存在逆矩陣

（3）存在逆矩陣，

1

-1

=

38

思考3：A=，

求A-1

．B-1

．(AB)-1

及B-1

A-1

，由此看出什么規(guī)律，這個(gè)規(guī)律是否對(duì)一般的情況仍然成立？A-1

=，B-1=，(AB)-1=

0-1=，B-1A-1=

0

，(AB)-1

=B-1

A-1對(duì)于一般的

y/T

變換變換

A

，對(duì)應(yīng)矩陣也應(yīng)有(AB)-1

=B-1

A-1這個(gè)結(jié)論還可以用代數(shù)方法證明(AB)(B-1

A-1

)=A(BB-1

)A-1

=AEA-1

=AA-1

=E同理B-1

A-1

)(AB)=E根據(jù)定義有(AB)-1

=B-1

A-1例3．求

12

的逆矩陣（

1

）例4．A．B．C為二階矩陣，AB=AC，A存在逆矩陣，則與C是否相等，證明你的結(jié)論解：AB=ACA-1

AB=A-1

EB=ECB=C這一結(jié)論可以回答：矩陣乘法的消去律在有逆矩陣條件下成立練習(xí)ABC為二階矩陣BA=CAA存在逆矩陣則B與C是否相等證明你的結(jié)（相等）三、小結(jié)：b1一個(gè)二階非零矩陣存在逆矩陣的條件是ad-bc≠（主對(duì)角線積與副對(duì)角線積的b差不為0時(shí)-1=

adbcc

badaad2．(AB)-1

=B

-1

A

-13．A存在逆矩陣時(shí)，AB=AC或BA=CA，則B=C3/4

2121四、