試驗設計與統(tǒng)計分析

試驗設計與統(tǒng)計分析第一頁，共六十四頁，2022年，8月28日Section5.1

PrincipleofSignificanceTests

假設測驗的基本原理第二頁，共六十四頁，2022年，8月28日一、假設測驗的理論基礎某人宣稱自由球命中率有80%。命中率有80%的射手，實地投射只有8/20命中率的機會不大。實地投射結(jié)果顯示投20球中8球。結(jié)論：命中率有80%的宣稱不可信。命中率有80%的自由球射手投20球命中的次數(shù)應服從二項分布B(20,0.8)。命中的次數(shù)小于或等于8的概率約為0.0001。即重復實地投射20球10,000次只中8球以下的情形約只發(fā)生一次。第三頁，共六十四頁，2022年，8月28日假設宣稱的敘述為真(命中率有80%)，可推得實驗結(jié)果發(fā)生的可能性很低，則該實驗結(jié)果的發(fā)生(實地投射20球中8球)，即為宣稱的敘述不真的好證據(jù)。“ProvebyContradiction”小概率原理一、假設測驗的理論基礎第四頁，共六十四頁，2022年，8月28日例某地區(qū)的當?shù)匦←溒贩N一般667m2產(chǎn)300kg，即當?shù)仄贩N這個總體的平均數(shù)=300(kg)，并從多年種植結(jié)果獲得其標準差=75(kg)，而現(xiàn)有某新品種通過25個小區(qū)的試驗，計得其樣本平均產(chǎn)量為每667m2330kg,即

=330，問新品種產(chǎn)量與當?shù)仄贩N產(chǎn)量是否有顯著差異？二、假設測驗的步驟第五頁，共六十四頁，2022年，8月28日(一)先假設新品種產(chǎn)量與當?shù)仄贩N產(chǎn)量無差異，記作

無效假設或零假設對立假設或備擇假設

二、假設測驗的步驟第六頁，共六十四頁，2022年，8月28日二、假設測驗的步驟(二)在承認上述無效假設的前提下，獲得平均數(shù)的抽樣分布，計算假設正確的概率先承認無效假設，從已知總體中抽取樣本容量為n=25的樣本，該樣本平均數(shù)的抽樣分布具正態(tài)分布形狀，平均數(shù)=300(kg)，標準誤=15(kg)。如果新品種的平均產(chǎn)量很接近300kg，應接受H0。如果新品種的平均產(chǎn)量與300相差很大，應否定H0。但如果試驗結(jié)果與300不很接近也不相差懸殊,就要借助于概率原理，具體做法有以下兩種：第七頁，共六十四頁，2022年，8月28日1.計算概率在假設

為正確的條件下，根據(jù)的抽樣分布算出獲得330kg的概率，或者說算得出現(xiàn)隨機誤差30(kg)的概率：在此，查附表，當u=2時，P(概率)界于0.04和0.05之間，即這一試驗結(jié)果：30(kg)，屬于抽樣誤差的概率小于5%。

二、假設測驗的步驟第八頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.計算接受區(qū)和否定區(qū)在假設H0為正確的條件下，根據(jù)的抽樣分布劃出一個區(qū)間，如在這一區(qū)間內(nèi)則接受H0，如在這一區(qū)間外則否定H0。由于

因此，在的抽樣分布中，落在()區(qū)間內(nèi)的有95%，落在這一區(qū)間外的只有5%。二、假設測驗的步驟第九頁，共六十四頁，2022年，8月28日如果以5%概率作為接受或否定H0的界限，則上述區(qū)間()為接受假設的區(qū)域，簡稱接受區(qū)(acceptanceregion)；和為否定假設的區(qū)域，簡稱否定區(qū)(rejectionregion)。同理，若以1%作為接受或否定H0的界限，則()為接受區(qū)域，和為否定區(qū)域。二、假設測驗的步驟第十頁，共六十四頁，2022年，8月28日如上述小麥新品種例，

=300，,1.96=29.4(kg)。因之，它的兩個2.5%概率的否定區(qū)域為

≤300－29.4和

≥300+29.4，即大于329.4(kg)和小于270.6(kg)的概率只有5％。圖5%顯著水平假設測驗圖示（表示接受區(qū)域和否定區(qū)域）二、假設測驗的步驟第十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日(三)根據(jù)“小概率事件實際上不可能發(fā)生”原理接受或否定假設當由隨機誤差造成的概率P小于5%或1%時，就可認為它不可能屬于抽樣誤差，從而否定假設。如P<0.05，則稱這個差數(shù)是顯著的。如P<0.01，則稱這個差數(shù)是極顯著的。用來測驗假設的概率標準5%或1%等，稱為顯著水平(significancelevel)。

一般以表示，如=0.05或=0.01。二、假設測驗的步驟第十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日綜合上述，統(tǒng)計假設測驗的步驟可總結(jié)如下：(1)對樣本所屬的總體提出統(tǒng)計假設，包括無效假設和備擇假設。(2)規(guī)定測驗的顯著水平值。(3)在為正確的假定下，根據(jù)平均數(shù)()或其他統(tǒng)計數(shù)的抽樣分布，獲得實際差數(shù)(如等)由誤差造成的概率(P值)。或者根據(jù)已規(guī)定概率，如=0.05,劃出兩個否定區(qū)域如:和。(4)將規(guī)定的值和算得的P值相比較，或者將試驗結(jié)果和否定區(qū)域相比較，從而作出接受或否定無效假設的推斷。二、假設測驗的步驟第十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日

如果統(tǒng)計假設為,則備擇假設為,在假設測驗時所考慮的概率為曲線左邊一尾概率和右邊一尾概率的總和。這類測驗稱為兩尾測驗(two-tailedtest)，它具有兩個否定區(qū)域。如果統(tǒng)計假設為,則其對應的備擇假設必為。因而，這個對應的備擇假設僅有一種可能性,而統(tǒng)計假設僅有一個否定區(qū)域，即曲線的右邊一尾。這類測驗稱一尾測驗(one-tailedtest)。一尾測驗還有另一種情況，即，,這時否定區(qū)域在左邊一尾.

三、兩尾測驗與一尾測驗第十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日0-1.96x+1.96x0.950.0250.025左尾右尾否定區(qū)否定區(qū)接受區(qū)雙尾測驗(two-sidedtest)三、兩尾測驗與一尾測驗第十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日0.950.950.050.051.64-1.64H0：≤0HA：>0假設：否定區(qū)H0：≥0HA：<0左尾測驗右尾測驗單尾測驗(one-sidedtest)接受區(qū)接受區(qū)三、兩尾測驗與一尾測驗第十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日u0.05=1.64u0.01=2.33單尾測驗分位數(shù)雙尾測驗分位數(shù)u0.05=1.96u0.01=2.58２２否定區(qū)否定區(qū)否定區(qū)接受區(qū)接受區(qū)查表時，單尾概率等于雙尾概率乘以2＞三、兩尾測驗與一尾測驗第十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日假設測驗的兩類錯誤H0正確

H0錯誤否定H0錯誤()推斷正確(1-)接受H0推斷正確(1-)錯誤()第一類錯誤（typeIerror），又稱棄真錯誤或錯誤;第二類錯誤（typeII

error），又稱納偽錯誤或錯誤第一類錯誤的概率為顯著水平值。第二類錯誤的概率為值。四、假設測驗的兩類錯誤第十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日關于兩類錯誤的討論可總結(jié)如下：(1)在樣本容量n固定的條件下，提高顯著水平(取較小的值)，如從5%變?yōu)?%則將增大第二類錯誤的概率值。(2)在n和顯著水平相同的條件下，真總體平均數(shù)和假設平均數(shù)的相差(以標準誤為單位)愈大，則犯第二類錯誤的概率值愈小。(3)為了降低犯兩類錯誤的概率，需采用一個較低的顯著水平，如

=0.05；或適當增加樣本容量。(4)如果顯著水平已固定下來，則改進試驗技術和增加樣本容量可以有效地降低犯第二類錯誤的概率。四、假設測驗的兩類錯誤第十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日Section5.2

SignificanceTestsforMeans

平均數(shù)的假設測驗第二十頁，共六十四頁，2022年，8月28日一、t分布數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的假設下，隨機樣本的均數(shù)服從正態(tài)N(μ,σ2/n)標準差σ未知，用樣本標準差s估計以標準化后服從標準正態(tài)以標準化后則服從t分布的標準差估計值又稱為的標準誤(standarderrorofmean,簡記為)第二十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日0標準正態(tài)分布t分布自由度9t分布自由度2一、t分布第二十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日t分布圖形與正態(tài)分布圖形相似都具有對稱于零、單峰及鐘形的特性t分布圖形的散布(spread)比正態(tài)分布圖形大，t分布圖形的尾端具有較大的概率以替代來標準化，使得t分布有較大的變異性。t分布自由度越大圖形越接近正態(tài)。樣本容量越大s估計σ越可靠，估計值造成的額外變異性越小。一、t分布第二十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日在自由度為的t分布曲線圖下，右方與左方的面積和為a,則稱為自由度為的t分布概率為a的雙側(cè)臨界值?？刹楸怼?面積為a/2面積為a/2一、t分布第二十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日在自由度為的t分布曲線圖下，右方的面積為a,則稱為自由度為的t分布概率為a的單側(cè)臨界值?？刹楸怼?面積為a一、t分布第二十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日-tt0一、t分布第二十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日t界值表1.8122.228-2.228tf(t)ν=10的t分布圖第二十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日[例1]某春小麥良種的千粒重34g，現(xiàn)自外地引入一高產(chǎn)品種，在8個小區(qū)種植，得其千粒重(g)為：35.6、37.6、33.4、35.1、32.7、36.8、35.9、34.6，問新引入品種的千粒重與當?shù)亓挤N有無顯著差異？這里總體為未知，又是小樣本，故需用t測驗；又新引入品種千粒重可能高于也可能低于當?shù)亓挤N，故需作兩尾測驗。測驗步驟為：二、單個樣本平均數(shù)的假設測驗第二十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日H0：34g；對HA：34g。顯著水平=0.05。測驗計算：查附表，v=7時，t0.05=2.365。現(xiàn)實得|t|<=2.365，故P>0.05。推斷：接受H0：34g，即新引入品種千粒重與當?shù)亓挤N千粒重指定值沒有顯著差異。二、單個樣本平均數(shù)的假設測驗第二十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日由兩個樣本平均數(shù)的相差，以測驗這兩個樣本所屬的總體平均數(shù)有無顯著差異。測驗方法成組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比較成對數(shù)據(jù)的比較三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第三十頁，共六十四頁，2022年，8月28日(一)成組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比較如果兩個處理為完全隨機設計的兩個處理，各供試單位彼此獨立，不論兩個處理的樣本容量是否相同，所得數(shù)據(jù)皆稱為成組數(shù)據(jù)，以組(處理)平均數(shù)作為相互比較的標準。在兩個樣本的總體方差和為未知，但可假定，而兩個樣本又為小樣本時，用t測驗。

三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第三十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日從樣本變異算出平均數(shù)差數(shù)的均方，其兩樣本平均數(shù)的差數(shù)標準誤為：于是有：由于假設故自由度三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第三十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日[例2]調(diào)查某農(nóng)場每畝30萬苗和35萬苗的稻田各5塊，得畝產(chǎn)量(單位：kg)于表1，試測驗兩種密度畝產(chǎn)量的差異顯著性。表1兩種密度的稻田畝產(chǎn)(kg)y1(30萬苗)y2(35萬苗)400450420440435445460445425420假設H0:兩種密度的總體產(chǎn)量沒有差異，即對顯著水平=0.05

測驗計算：=428kg=440kg

SS1=1930SS2=550

故三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第三十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日查附表，v=4+4=8時,t0.05=2.306。現(xiàn)實得|t|=1.08<t0.05，故P>0.05。推斷：接受假設

，兩種密度的畝產(chǎn)量沒有顯著差異。三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第三十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日(二)成對數(shù)據(jù)的比較若試驗設計是將性質(zhì)相同的兩個供試單位配成一對，并設有多個配對，然后對每一配對的兩個供試單位分別隨機地給予不同處理，則所得觀察值為成對數(shù)據(jù)。成對數(shù)據(jù)，由于同一配對內(nèi)兩個供試單位的試驗條件很是接近，而不同配對間的條件差異又可通過同一配對的差數(shù)予以消除，因而可以控制試驗誤差，具有較高的精確度。在分析試驗結(jié)果時，只要假設兩樣本的總體差數(shù)的平均數(shù)，而不必假定兩樣本的總體方差和相同。三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第三十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日設兩個樣本的觀察值分別為x1和x2，共配成n對，各個對的差數(shù)為d=x1－x2，差數(shù)的平均數(shù)為，則差數(shù)平均數(shù)的標準誤為：它具有v=n－1。若假設

，則上式改為：即可測驗三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第三十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日[例3]選生長期、發(fā)育進度、植株大小和其他方面皆比較一致的兩株番茄構成一組，共得7組，每組中一株接種A處理病毒，另一株接種B處理病毒，以研究不同處理方法的飩化病毒效果，表2結(jié)果為病毒在番茄上產(chǎn)生的病痕數(shù)目，試測驗兩種處理方法的差異顯著性。表2

A、B兩法處理的病毒在番茄上產(chǎn)生的病痕數(shù)組別y1(A法)y2(B法)d11025－152131213814－64315－125512－762027－77618－12三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第三十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日假設：兩種處理對飩化病毒無不同效果，即

；對

。顯著水平

。查附表,v=7-1=6時,t0.01=3.707。實得現(xiàn)|t|>t0.01，故P<0.01。推斷：否定

，接受

，即A、B兩法對飩化病毒的效應有極顯著差異。三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第三十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日成對數(shù)據(jù)和成組數(shù)據(jù)平均數(shù)比較的不同:(1)成對數(shù)據(jù)和成組數(shù)據(jù)平均數(shù)比較所依據(jù)的條件不同。前者是假定各個配對的差數(shù)來自差數(shù)的分布為正態(tài)的總體,具有N(0，)；而每一配對的兩個供試單位是彼此相關的。后者則是假定兩個樣本皆來自具有共同(或不同)方差的正態(tài)總體，而兩個樣本的各個供試單位都是彼此獨立的。(2)在實踐上，如將成對數(shù)據(jù)按成組數(shù)據(jù)的方法比較，容易使統(tǒng)計推斷發(fā)生第二類錯誤，即不能鑒別應屬顯著的差異。故在應用時需嚴格區(qū)別。三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第三十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日Section5.3

SignificanceTestsforProportion

百分數(shù)的假設測驗第四十頁，共六十四頁，2022年，8月28日測驗某一樣本百分數(shù)所屬總體百分數(shù)與某一理論值或期望值p0的差異顯著性。由于樣本百分數(shù)的標準誤為：故由即可測驗H0:p=p0。一、單個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第四十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日[例4]以紫花和白花的大豆品種雜交，在F2代共得289株，其中紫花208株，白花81株。如果花色受一對等位基因控制，則根據(jù)遺傳學原理，F(xiàn)2代紫花株與白花株的分離比率應為3∶1，即紫花理論百分數(shù)p=0.75，白花理論百分數(shù)q=1－p=0.25。問該試驗結(jié)果是否符合一對等位基因的遺傳規(guī)律？一、單個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第四十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日因為實得|u|<u0.05，故P>0.05。

推斷：接受H0:p=0.75，即大豆花色遺傳是符合一對等位基因的遺傳規(guī)律的，紫花植株百分數(shù)=0.72和p=0.75的相差系隨機誤差。如果測驗H0:p=0.25，結(jié)果完全一樣。假設大豆花色遺傳符合一對等位基因的分離規(guī)律，紫花植株的百分數(shù)是75%，即H0:p=0.75；對HA:p≠0.75。顯著水平0.05，作兩尾測驗,u0.05=1.96。測驗計算：一、單個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第四十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日測驗兩個樣本百分數(shù)和所屬總體百分數(shù)p1和p2的差異顯著性.設兩個樣本某種屬性個體的觀察百分數(shù)分別為和，而兩樣本總體該種屬性的個體百分數(shù)分別為p1和

p2，則兩樣本百分數(shù)的差數(shù)標準差為：即可對H0:p1=p2作出假設測驗。故由二、兩個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第四十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日[例5]調(diào)查低洼地小麥378株(n1)，其中有銹病株355株(x1)，銹病率93.92%()；調(diào)查高坡地小麥396株(n2)，其中有銹病346株(x2)，銹病率87.31%()。試測驗兩塊麥田的銹病率有無顯著差異？假設H0：兩塊麥田的總體銹病率無差別，即H0:p1

=p2；對HA:p1≠p2

。取

，兩尾測驗，u0.05=1.96。測驗計算：二、兩個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第四十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日實得|u|>u0.05，故P<0.05，推斷：否定H0:p1

=p2

接受HA

:p1≠p2

，即兩塊麥田的銹病率有顯著差異。二、兩個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第四十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日Section5.4

EstimatingConfidenceInterval

區(qū)間估計第四十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日所謂參數(shù)的區(qū)間估計,是指在一定的概率保證之下,估計出一個范圍或區(qū)間以能夠覆蓋參數(shù)。這個區(qū)間稱置信區(qū)間(confidenceinterval)，區(qū)間的上、下限稱為置信限(confidencelimit)，區(qū)間的長度稱為置信距。一般以L1和L2分別表示置信下限和上限。保證該區(qū)間能覆蓋參數(shù)的概率以P=(1－)表示，稱為置信系數(shù)或置信度。一、什么是區(qū)間估計第四十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日并有在總體方差為未知時置信區(qū)間為：上式中的為置信度P=(1－)時t分布的t臨界值。二、單一總體平均數(shù)的置信區(qū)間第四十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日[例6]例1已算得某春小麥良種在8個小區(qū)的千粒重平均數(shù)，。試估計在置信度為95%時該品種的千粒重范圍。由附表查得v=7時

t0.05=2.365，故有，即推斷：該品種總體千粒重在33.8~36.6g之間的置信度為95%。在表達時亦可寫作形式，即該品種總體千粒重95%置信度的區(qū)間是35.2±(2.365×0.58)=35.2±1.4(g)

，即33.8~36.6g。二、單一總體平均數(shù)的置信區(qū)間第五十頁，共六十四頁，2022年，8月28日三、兩總體平均數(shù)差數(shù)的置信區(qū)間(一)成組數(shù)據(jù)如果兩總體方差未知，但相等，即，則的1-置信區(qū)間為：并有以上的為平均數(shù)差數(shù)標準誤，是置信度為1－

，自由度為v=n1+n2－2時t分布的臨界值。第五十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日[例7]試估計例2資料兩種密度667m2產(chǎn)量差數(shù)在置信度為99%時的置信區(qū)間。在前面已算得：由附表查得v=8時，t0.01=3.355

故有L1=(428－440)－(3.355×11.136)=－

49.4，

L2=(428－440)+(3.355×11.136)=25.4(kg)。結(jié)果說明，667m2栽30萬畝苗的產(chǎn)量可以比667m2栽35萬苗的每畝少收49.4kg至每畝多收25.4kg，波動很大。所以這個例子是接受的.的。三、兩總體平均數(shù)差數(shù)的置信區(qū)間第五十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日(二)成對數(shù)據(jù)由可得的1-置信區(qū)間:并有為置信度為1－，v=n－1時t分布的臨界t值。其中三、兩總體平均數(shù)差數(shù)的置信區(qū)間第五十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日[例8]試求例3資料的99%置信限。在例3已算得：并由附表查得v=6時t0.01=3.707

于是有：L1=－8.3－(3.707×1.997)=－15.7(個)，L2=－8.3+(3.707×1.997)=－0.9(個)。

或?qū)懽饕陨螸1和L2皆為負值，表明A法處理病毒在番茄上產(chǎn)生的病痕數(shù)要比B法減小0.9~15.7個，此估計的置信度為99%。三、兩總體平均數(shù)差數(shù)的置信區(qū)間第五十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日(一)單一總體百分數(shù)的置信區(qū)間在置信度P=1－

下，對總體p置信區(qū)間的近似估計為：并有以上式中四、百分數(shù)的置信區(qū)間第五十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日[例9]調(diào)查100株玉米，得到受玉米螟危害的為20株，即=20/100=0.2或=20。試計算95%置信度的玉米螟危害率置信區(qū)間。故L1=0.2－(1.96×0.04)=0.1216，L2=0.2+(1.96×0.04)=0.2784四、百分數(shù)的置信區(qū)間第五十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日(二)兩個二項總體百分數(shù)差數(shù)的置信區(qū)間在1－

的置信度下，p1－p2的置信區(qū)間為：并有其中四、百分數(shù)的置信區(qū)間第五十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日[例10]例5已測知低洼地小麥的銹病率=93.92%(n1=378)，高坡地小麥的銹病率=87.31%(n2=396)，它們有顯著差異。試按95%置信度估計兩地銹病率相差的置信區(qū)間。由附表查得u0.05=1.96，而故有

L1=(0.9392－0.8731)－(1.96×0.02075)=0.0256，

L2=(0.9392－0.8731)+(1.96