模型的參數(shù)估計(jì)課件

6.3模型的參數(shù)估計(jì)數(shù)學(xué)建模的一個(gè)重要工作是建立變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式,但公式中幾乎總是涉及一些參數(shù).

如用下面三個(gè)數(shù)學(xué)式描述肥素的施肥水平對(duì)土豆產(chǎn)量的影響：要得到最終可應(yīng)用于實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停仨毚_定公式中的各個(gè)參數(shù)求模型中參數(shù)的估計(jì)值有三種常用方法：圖解法、統(tǒng)計(jì)法、機(jī)理分析法。

對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木纫蟛桓?只需對(duì)參數(shù)做出粗略估計(jì)時(shí)可采用圖解法.例6.3.1

磷施肥量與土豆產(chǎn)量的關(guān)系式

需估計(jì)三個(gè)參數(shù)A、B、C,觀察圖7.3，數(shù)據(jù)點(diǎn)都位于直線y=43的下方，并且數(shù)據(jù)點(diǎn)越來(lái)越靠近這條直線，可以估計(jì)A=43.

1．圖解法解決方法：直接量出高低浪之間的高度差為6.6米，

量出海浪變化周期約為12.3小時(shí)

得經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯㈩l率的估計(jì)代入(2)式,有代入x(0)=c=2.4及

x(23)=3.6

得關(guān)于海浪潮隨時(shí)間變化的另一經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ湍Ｐ蛻?yīng)用預(yù)測(cè)12月5日下午1:00的海浪潮高度為

x(109)=2.4cos(5.11×109)－2.7sin(5.11×109)=2.4cos(55.7)－2.7sin(55.7)=2.4cos(5.430－2.7sin(55.7)≈3.6(米).

誤差分析這一時(shí)刻潮位的實(shí)際觀察值為4.1米,相對(duì)誤差大約是12%,請(qǐng)考慮一下成因.仔細(xì)分析圖5.5,可發(fā)覺(jué)圖中(1)x=0似乎不是海浪高低潮位的中值;(2)振幅隨時(shí)間的延續(xù)似乎在輕微地增大.思考

怎樣考慮這些細(xì)節(jié)來(lái)修改模型,以獲得更準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)呢？2.統(tǒng)計(jì)法

應(yīng)選取μ(x)中的未知參數(shù),使S達(dá)最小值當(dāng)回歸函數(shù)為μ(x)=a+bx，回歸模型～N(0,σ2)稱為一元線性回歸模型,其殘差平方和為

對(duì)S分別求關(guān)于a,b

的偏導(dǎo)數(shù),并令其等于零得線性方程組如下：整理得正規(guī)方程(組)如下：

求得解其中一元線性回歸模型參數(shù)估計(jì)公式得到磷施肥量和土豆產(chǎn)量的經(jīng)驗(yàn)公式分析有例6.3.2

若用威布爾函數(shù)作為磷施肥量和土豆產(chǎn)量的回歸函數(shù)與目測(cè)法的結(jié)論驚人一致.相對(duì)于新變量x，lnz,這是一元線性函數(shù).

特點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)分析法應(yīng)用于變量間存在相關(guān)關(guān)系的情形,并且需要較多數(shù)據(jù)為基礎(chǔ).

3.機(jī)理分析法通過(guò)對(duì)問(wèn)題的內(nèi)部機(jī)理進(jìn)行分析,找出變量間的因果關(guān)系,從而確定出參數(shù).兩邊取對(duì)數(shù),有例6.3.3錄像機(jī)磁帶計(jì)數(shù)器模型在一臺(tái)錄像機(jī)上有一個(gè)四位數(shù)字的記數(shù)器.1.在磁帶開(kāi)始運(yùn)行時(shí)設(shè)置為“0000”，“180分鐘”結(jié)束時(shí)顯示讀數(shù)為“1849”,實(shí)際所花的時(shí)間為185分20秒.2.記數(shù)器從“0084”轉(zhuǎn)到“0147”時(shí)用了3分21秒的時(shí)間.

現(xiàn)在記數(shù)器上顯示為“1428”,問(wèn)余下的磁帶是否足夠再記錄60分鐘長(zhǎng)的節(jié)目？

已建立經(jīng)驗(yàn)公式

上式化為可利用的數(shù)據(jù)如下

時(shí)間t0t1t1+3.35185.33讀數(shù)n(t)0008401471849t=0，n=0是模型的初始條件,將后三組數(shù)據(jù)代入得關(guān)于t1,