石大數(shù)學史概論教案12 20世紀數(shù)學概觀 II

PAGE2PAGE第十二講：20世紀數(shù)學概觀II介紹20世紀的一些數(shù)學研究成果及數(shù)學獎1、數(shù)學研究成果五例四色問題、動力系統(tǒng)、魯金猜想、龐加萊猜想、數(shù)論。1.1四色問題圖論：以圖為研究對象的數(shù)學分支。圖是若干給定點及連接兩點的線所構成的圖形。1736年哥尼斯堡七橋問題，1781年36軍官問題，1859年哈密頓旅行路線圖。1852年首先由英國青年大學生古德里提出“四色問題”。19世紀英國一些著名數(shù)學家進行研究并引起人們的關注：德?摩根（1806－1871年），哈密頓（1805－1865年），凱萊（1821－1895年）等。1878年凱萊發(fā)表《論地圖的著色》，掀起了一場四色問題熱。1879年律師肯泊（英，1849－1922年）宣布證明了“四色問題”并發(fā)表于《美國數(shù)學雜志》上，1890年希伍德（英，1861－1955年）指出了肯泊的錯誤，證明了“五色定理”并一生堅持研究四色問題。四色問題有一個令人迷惑的地方：在更復雜的曲面上，問題的解決反倒容易。如希伍德曾證明了環(huán)面的七色定理。到1968年，數(shù)學家們已解決了除平面和球面以外所有曲面上的地圖四色問題，恰恰是平面和球面這種最簡單的情形，卻呈現(xiàn)出奇特的困難。1976年哈肯和阿佩爾，利用“不可避免構形集”、“可約集”等關鍵意義的概念，采用計算機實驗方法，成功獲得了一組不可避免可約圖，最終解決了四色問題。2、動力系統(tǒng)描述決定性系統(tǒng)的數(shù)學模型都可稱為動力系統(tǒng)，通常所說的動力系統(tǒng)多指由映射迭代生成的系統(tǒng)或常微分系統(tǒng)，其核心問題是結構的穩(wěn)定性。龐加萊關于常微分方程定理理論的一系列課題，成為動力系統(tǒng)理論的出發(fā)點。1912年起伯克霍夫（美，1884－1944年）以三體問題為背景，擴張了動力系統(tǒng)的研究。1913年伯克霍夫（美，1884－1944年）解決“龐加萊的最后問題”：由兩個同心圓構成的圓環(huán)保持面積不變，且在兩同心圓上方向相反的一對一連續(xù)映射，一定在圓環(huán)內(nèi)至少有兩個不動點。1927年伯克霍夫（美，1884－1944年）出版《動力系統(tǒng)》。1937年龐特里亞金（蘇，1908－1988年）提出結構穩(wěn)定性的概念，要求在微小擾動下保持相圖（拓撲結構）不變，使動力系統(tǒng)的研究向大范圍轉(zhuǎn)化。以龐特里亞金（蘇，1908－1988年），斯梅爾（美，1930－）等的工作為代表。動力系統(tǒng)的研究由于拓撲方法和分析方法的有力結合而取得了重大進步，借助于計算機模擬又引發(fā)具有異常復雜性的混沌、分岔、分形理論，這方面的研究涉及眾多的數(shù)學分支。20世紀30年代后的發(fā)展：結構穩(wěn)定性、拓撲學方法、代數(shù)幾何方法。渾沌：1975年李天巖（1945－）－約克定理：周期3蘊涵渾沌，1964年沙克夫斯基（烏，1936－）定理：線段上的連續(xù)自映射f若有3周期點，則f有任意周期點。斯梅爾馬蹄、蝴蝶效應。1967年芒德布羅（法，1924－）在《科學》雜志上發(fā)表文章“英國的海岸線有多長”引起了幾何中空間維數(shù)概念從整數(shù)維數(shù)到分數(shù)維數(shù)的飛躍。芒德布羅認為海岸線長度的超常誤差與海岸線形狀的不規(guī)則有關，由于這種不規(guī)則，不同的測量尺度將得出不同的測量結果。芒德布羅（法，1924－）采用瑞典數(shù)學家1904年發(fā)現(xiàn)的一種曲線“柯克曲線”作為思慮海岸線問題的數(shù)學模型。容易看出柯克曲線的長度是無窮大數(shù)，而它所包圍的面積則是一個有限數(shù)。這種奇怪的現(xiàn)象是由邊界曲線的“無限折曲”引起的。正是通過對這種“無限折曲”過程的深入研究，芒德布羅引進了分數(shù)維數(shù)的概念。對于柯克曲線，其維數(shù)D＝log4/log31.2618?？驴饲€只是具有分數(shù)維數(shù)折幾何圖形的一個例子。1977年芒德布羅正式將具有分數(shù)維的圖形稱為分形（fractal），建立了以這類圖形為對象的數(shù)學分支：分形幾何，并出版了著作《分形：形，機會與維度》，指出大量的物理與生物現(xiàn)象都產(chǎn)生分形，引起了普遍的關注。3、魯金猜想傅里葉（法，1768－1830年）《熱的解析理論》（1822），19世紀狄里克雷（德，1805－1859年）、黎曼（德，1826－1866）、康托（德，1845－1918年）等數(shù)學家研究了傅里葉級數(shù)的收斂性等問題。傅里葉級數(shù)的和：1876年杜?布瓦?瑞芒（德，1831－1889年）表明存在連續(xù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)，它在許多點上發(fā)散，1904年費耶爾（匈，1880－1959年）指出在齊撒羅求和意義下每一連續(xù)函數(shù)f的傅里葉級數(shù)逐點收斂于f，1913年魯金（俄－蘇，1883－1950年）猜想：L2可積函數(shù)的傅里葉級數(shù)幾乎處處收斂于f，1923年柯爾莫哥洛夫（俄－蘇，1903－1987年）定理：L1可積函數(shù)的傅里葉級數(shù)可以處處發(fā)散（W），1966年卡爾松（瑞典，1928－）肯定回答魯金猜想（WA）。4、龐加萊猜想數(shù)學家們已經(jīng)知道：任意一個二維單連通閉曲面都與S^2同胚。1904年的龐加萊（法，1854－1912年）猜想：單連通的三維閉流形同胚于S^3。以后人們又將龐加萊的猜想推廣到n維情形：廣義龐加萊猜想。1961年斯梅爾（美，1930－）證明了n>4的龐加萊猜想（F），但這方法用于解決三維或四維情形時卻顯得無力。1982年弗里德曼（美，1951－）證明了n=4的龐加萊猜想（F），1982年唐納森（英，1957－）發(fā)表4維流形拓撲的論文（F）。2002年佩雷爾曼（俄，1966－）對猜想的證明做了奠基工作，并獲得2006年的菲爾茨獎（拒絕出席頒獎）。2006年6月3日丘成桐在中科院晨興數(shù)學中心宣布，6月4日央視新聞聯(lián)播報道“中國數(shù)學家朱熹平、曹懷東完全破解龐加萊猜想”。5、數(shù)論各個時期一些代表人物。古希臘：畢達哥拉斯（公元前560－前480年）、歐幾里得（公元前325－前265年）、丟番圖（公元200－284年）；17世紀：費馬（法，1601－1665年）；18世紀：歐拉（瑞，1701－1783年）、拉格朗日（法，1736－1813年）；19世紀代數(shù)數(shù)論：高斯（德，1777－1855年）、庫默爾（德，1810－1893年）、戴德金（德，1831－1916年）；19世紀解析數(shù)論：狄里克雷（德，1805－1859年）、黎曼（德，1826－1866年）、阿達瑪（法，1865－1963年）。留給20世紀的數(shù)論問題：素數(shù)判定、哥德巴赫猜想（1742）、費馬大定理（1670）、黎曼假設（1859）。哥德巴赫猜想。1742年哥德巴赫（德，1690－1764年）猜想：（1）每個大于4的偶數(shù)是兩個奇素數(shù)之和；（2）每個大于7的奇數(shù)是三個奇素數(shù)之和。從（1）可以推出（2）成立。歷時兩個半世紀，對這一猜想的研究毫無進展。1912年劍橋ICM上朗道（德，1877－1938年）說：即使要證明下面比較弱的命題也是十分困難的：存在一個正整數(shù)k，使得每個大于2的整數(shù)都是不超過k個素數(shù)之和。1920年哈代（英，1877－1947年）和李特爾伍德（英，1885－1977年）首先將他們創(chuàng)造的圓法應用于數(shù)論的研究，并進行進展。1937年維諾格拉多夫（蘇，1891－1983年）利用圓法和他自己的指數(shù)和估計法，對于大奇數(shù)證明了三素數(shù)定理。這是關于哥德巴赫猜想的第一個實質(zhì)性突破。偶數(shù)哥德巴赫猜想的進展主要是依靠改進篩法取得的。1919年布龍（挪，1885－1978年）利用他的新篩法證明了9+9，以后大約半個世紀的時間內(nèi)，數(shù)學家們利用各種改進的篩法對于較少的k、l，k+l，步步為營地向最終目標逼近。如，1940年布赫塔布（蘇）證明了4+4，1948年瑞尼（匈，1921－1970年）證明了1＋c，1957年王元（中，1930－）證明了2＋3，1962年王元和潘承洞（中，1934－1997年）證明了1＋4，1965年羅斯（英，1925－，F(xiàn)）、邦別里（意，1940－，F(xiàn)）證明了1＋3，1966年陳景潤（中，1933－1996年）宣布了1＋2，并于1973年發(fā)表了全部證明。高斯：“數(shù)學中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來,但證明卻隱藏的極深?！辟M馬大定理。費馬（法，1601－1665年）的最后定理：當n≥3時，方程xn+yn=zn沒有非零整數(shù)解。1770年歐拉（瑞，1707－1783年）證明了n=3的情形，1823年勒讓德（法，1752－1833年）證明了n=5的情形，1980年前對個別情形進行證明。1983年法爾廷斯（德，1954－，F(xiàn)）證明了莫代爾（英，1888－1972年）猜想（1922）：方程xn+yn=1至多有有限個有理數(shù)解，1986年費雷（德）證明了“谷山猜想導出費馬大定理”，谷山（日，1927－1958年）猜想（1955）：有理數(shù)域上的橢圓曲線都是模曲線，995年維爾斯（英，1953－，F(xiàn)WS）證明了谷山猜想。2、數(shù)學獎阿貝爾獎、菲爾茲獎、沃爾夫獎、邵逸夫獎。沃爾夫獎（1978－）：沃爾夫基金會設有：數(shù)學、物理、化學、醫(yī)學、農(nóng)業(yè)五個獎（1981年又增設藝術獎）。1978年蓋爾范德（蘇聯(lián)，1913－）關于泛函分析、群表示論獲獎，1978年西格爾（德，1896－1981年）關于數(shù)論、多復變函數(shù)獲獎，1984年陳省身（中－美，1911－2004）關于微分幾何獲獎。邵逸夫獎（2004－）：2002年11月在香港設立，旨在表彰在學術研究或應用領域取得突破性成果，并對人類生活產(chǎn)生深遠影響的科學家，設天文學、生命科學與醫(yī)學、數(shù)學科學三個獎項（“諾貝爾獎”所沒有的），每年頒獎一次，每項獎金100萬美元。評審委員會主任揚振寧（1922－），1957年獲得諾貝爾物理學獎。2004年陳省身（中－美，1911－2004）關于微分幾何獲獎。2005年維爾斯（英，1953－）因為解決費馬問題獲獎。2006年吳文俊（中，1919－）因為數(shù)學機械化獲獎。2006年9月25日央視“新聞30分”。陳省身簡歷：1911年10月28日出生于浙江省嘉興市，1930年畢業(yè)于南開大學，1934年畢業(yè)于清華大學研究生院，1934－1936年就讀于德國漢堡大學，1937年任昆明西南聯(lián)合大學教授，1943年任美國普林斯頓高等研究院研究員，1946年任原中央研究院數(shù)學研究所代所長，1949年任美國芝加哥大學教授，1960年任伯克萊加州大學教授，1981－1984年任美國國立伯克萊數(shù)學科學研究所首任所長，1984－1992年任南開數(shù)學研究所所長，1992年起任南開數(shù)學研究所名譽所長。南開數(shù)學研究所現(xiàn)為陳省身數(shù)學研究所。院士：原中央研究院院士（1948年），美國國家科學院院士（1961年），英國皇家學會國外會員（1985），意大利林琴科學院外籍院士（1988年），法蘭西學院外籍院士（1989年），中國科學院外籍院士（1994年）。重要獎勵：美國國家科學獎（1975年），德國洪堡獎（1982