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有限元方法與應(yīng)用

材料非線性張有為工程力學(xué)系材料非線性要點(diǎn)材料非線性問題分類非線性彈性問題彈塑性問題彈塑性有限元分析

彈塑性本構(gòu)關(guān)系

彈塑性有限元分析材料非線性問題的來源材料非線性的來源:體系的非線性是由于材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的非線性引起增壓器渦輪機(jī)輪盤葉片組件彈塑性變形分析類型特點(diǎn)描述方法應(yīng)力和應(yīng)變僅材料非線性位移和應(yīng)變無限小,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的僅材料非線性工程應(yīng)力工程應(yīng)變材料非線性問題的來源引例:

解:由于僅考慮材料非線性,因此a和b兩段的應(yīng)變可表示為

力平衡關(guān)系可表示為

此外本構(gòu)關(guān)系可表示為

彈性加載塑性加載彈性卸載

材料非線性問題的來源(1)在初始加載階段,由于外載荷較小,a和b兩段將均處于彈性變形范圍,有

(2)隨著載荷的增加,a段均處于彈性,b段處于塑性,即

由加載曲線可知a段將一直處于彈性變形階段材料非線性問題的來源(3)載荷達(dá)到峰值后,系統(tǒng)將處于彈性卸載,即有

外載荷與交界處位移之間的關(guān)系曲線如下圖所示材料非線性問題分類非線性彈性問題應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為非線性,且加載與卸載應(yīng)力應(yīng)變間的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同。彈塑性問題加載的過程中同時(shí)產(chǎn)生可恢復(fù)的彈性變形和不可恢復(fù)的塑性變形。彈塑性應(yīng)力和應(yīng)變間不再保持一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,應(yīng)變不僅依賴于當(dāng)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài),而且還依賴于整個(gè)的加載歷史。彈塑性本構(gòu)關(guān)系2.1材料的彈塑性性質(zhì)(1)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)理想彈塑性材料應(yīng)變硬化材料低碳鋼拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線頸縮階段強(qiáng)化階段屈服階段彈性階段彈塑性本構(gòu)關(guān)系(2)幾點(diǎn)說明由于彈塑性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不是一一對(duì)應(yīng)的,因此研究彈塑性問題時(shí),只有在確定的加載(或卸載)條件下才有明確的意義。為了避免應(yīng)力應(yīng)變間的多值性帶來的困難,不宜追求全應(yīng)力與全應(yīng)變之間的全量本構(gòu)關(guān)系,應(yīng)建立在一定加載路線條件下的增量關(guān)系。

彈塑性本構(gòu)關(guān)系為簡(jiǎn)化分析,結(jié)構(gòu)工程中可采用理想彈塑性模型和彈性線性強(qiáng)化模型,它們的主要參數(shù)僅有屈服應(yīng)力、彈性模量和硬化(軟化)模量H,塑性階段主要特征是:EEH

理想塑性應(yīng)力強(qiáng)化應(yīng)力軟化彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系2.2塑性力學(xué)基基本法則(1)初始屈服條條件EEH-屈服準(zhǔn)則則此條件規(guī)定定了材料開開始塑性變變形時(shí)的應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)。。對(duì)于各向同同性材料,,在一般應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)下下開始進(jìn)入入塑性變形形的條件是是彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系(1.1)VonMises準(zhǔn)則(1913年)其中彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系VonMises準(zhǔn)則在三維維主應(yīng)力空空間中可表表示為彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系(1.2)Tresca準(zhǔn)則(1864年)其中彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系(1.3)Mohr-Coulomb準(zhǔn)則(1773年)(1.4)Rankine(朗肯)準(zhǔn)則(1876年)最大剪應(yīng)力力為屈服決決定性因素素,但剪應(yīng)應(yīng)力的臨界界值不是常常數(shù),而是是在那一點(diǎn)點(diǎn)上同一平平面中正應(yīng)應(yīng)力的函數(shù)數(shù)。最大主應(yīng)力力達(dá)到抗拉拉強(qiáng)度時(shí),,材料發(fā)生生拉伸破壞壞。適用于巖土土材料適用于巖土土材料彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系(2)流動(dòng)法則流動(dòng)法則用用來規(guī)定材材料進(jìn)入塑塑性變形后后的塑性應(yīng)應(yīng)變?cè)隽吭谠诟鱾€(gè)方向向上的分量量和應(yīng)力分分量以及應(yīng)應(yīng)力增量之之間的關(guān)系系。VonMises流動(dòng)法則為為彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系非關(guān)聯(lián)塑性性:若塑性勢(shì)函函數(shù)與后繼繼屈服應(yīng)力力函數(shù)表達(dá)達(dá)式不同,,則稱之為為非關(guān)聯(lián)塑塑性關(guān)聯(lián)塑性::若流動(dòng)法則則中塑性勢(shì)勢(shì)函數(shù)取為為后繼屈服服應(yīng)力函數(shù)數(shù)相同的表表達(dá)式,稱稱之為和屈屈服函數(shù)相相關(guān)聯(lián)的塑塑性勢(shì),即即關(guān)聯(lián)塑性性對(duì)于金屬材材料,一般般采用關(guān)聯(lián)聯(lián)流動(dòng)法則則。對(duì)于泥土和和顆粒狀材材料,一般般采用非關(guān)關(guān)聯(lián)流動(dòng)法法則。彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系(3)硬化法則硬化法則是是用來規(guī)定定材料進(jìn)入入塑性變形形后的后繼繼屈服函數(shù)數(shù)在應(yīng)力空空間中變化化的規(guī)則。。后繼屈服函函數(shù)的一般般形式為理想塑性材材料的后繼繼屈服函數(shù)數(shù)為即無硬化效效應(yīng),后繼繼屈服函數(shù)數(shù)與初始屈屈服函數(shù)一一致。彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系(3.1)各向同性硬硬化法則當(dāng)材料進(jìn)入入塑性變形形后,加載載曲面在各各個(gè)方向均均勻的向外外擴(kuò)張,但但其形狀、、中心及其其在主應(yīng)力力空間中的的方位均保保持不變其中VonMises后繼屈服函函數(shù)材料的塑性性模量(硬化系數(shù))對(duì)于多數(shù)金金屬材料的的分析均采采用各向同同性強(qiáng)化法法則彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系(3.2)運(yùn)動(dòng)硬化法法則此法則規(guī)定定材料在進(jìn)進(jìn)入塑性變變形以后,,加載曲面面在應(yīng)力空空間中作一一剛體運(yùn)動(dòng)動(dòng),但其形形狀、大小小和方位均均保持不變變后繼屈服函數(shù)Prager運(yùn)動(dòng)硬化法則Zeigler修正運(yùn)動(dòng)硬化法則則彈塑性本構(gòu)關(guān)系(a)Prager運(yùn)動(dòng)硬化法則其中VonMises屈服條件下的Prager運(yùn)動(dòng)硬化后繼屈服服函數(shù)此法則規(guī)定加載曲曲面中心的移動(dòng)是是沿著表征當(dāng)前應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力點(diǎn)點(diǎn)的法線方向一般情況下Prager運(yùn)動(dòng)硬化法則只能能用于完全的9維應(yīng)力空間,其在在各應(yīng)力子空間((如平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài))中應(yīng)用較為困困難,主要是由于于在子應(yīng)力空間中中很難保證初始屈屈服曲面與后繼屈屈服曲面形式上的的一致性彈塑性本構(gòu)關(guān)系(b)Zeigler修正運(yùn)動(dòng)硬化法則則其中VonMises屈服條件下的Zeigler修正運(yùn)動(dòng)硬化后繼繼屈服函數(shù)此法則規(guī)定加載曲曲面沿聯(lián)結(jié)其中心心和當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)的的向量方向移動(dòng)移動(dòng)張量的偏移分分量Prager運(yùn)動(dòng)硬化法則和Zeigler修正運(yùn)動(dòng)硬化法則則的區(qū)別僅在于加加載曲面移動(dòng)的方方向不同彈塑性本構(gòu)關(guān)系(3.3)混合硬化法則同時(shí)考慮各向同性性硬化和運(yùn)動(dòng)硬化化兩種法則(由Hodge首先提出)后繼屈服函數(shù)一般情況下其中移動(dòng)張量Prager運(yùn)動(dòng)硬化法則Zeigler修正運(yùn)動(dòng)硬化法則則混合硬化主要用于于反向加載和循環(huán)環(huán)加載的情況M為材料參數(shù)彈塑性本構(gòu)關(guān)系(4)加卸載準(zhǔn)則該準(zhǔn)則用來判斷從從某塑性狀態(tài)出發(fā)發(fā),材料是處于繼繼續(xù)塑性加載還是是彈性卸載,其將將決定計(jì)算過程中中是采用彈塑性本本構(gòu)關(guān)系還是彈性性本構(gòu)關(guān)系。理想彈塑性各向同性硬化運(yùn)動(dòng)硬化混合硬化彈塑性本構(gòu)關(guān)系2.3彈塑性增量應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變關(guān)系(1)建立應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系系所遵循的原則當(dāng)材料的應(yīng)力點(diǎn)已已經(jīng)處于屈服面上上繼續(xù)彈塑性加載載時(shí),需要應(yīng)用彈彈塑性增量的應(yīng)力力應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行彈彈塑性行為的分析析彈塑性本構(gòu)關(guān)系(2)各向同性硬化材料料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系系(a)一致性條件(b)流動(dòng)法則其中后繼屈服函數(shù)的全全導(dǎo)數(shù)彈塑性本構(gòu)關(guān)系(c)彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)關(guān)系其中塑性矩陣彈性矩陣矩陣形式矩陣形式彈塑性本構(gòu)關(guān)系(c.1)三維空間問題的應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系三維空間問題的彈彈性、塑性矩陣((各向同性硬化材材料)三維空間問題的應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變分量彈塑性本構(gòu)關(guān)系(c.2)軸對(duì)稱和平面應(yīng)變變問題的應(yīng)力應(yīng)變變關(guān)系軸對(duì)稱問題的應(yīng)力力應(yīng)變分量平面應(yīng)變問題的應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變分量軸對(duì)稱問題和平面面應(yīng)變問題的彈性性矩陣和塑性矩陣陣分別可由三維問問題對(duì)應(yīng)的矩陣去去掉最后兩行和兩兩列得到。彈塑性本構(gòu)關(guān)系(c.3)平面應(yīng)力問題的應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系平面應(yīng)力問題的應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變分量平面應(yīng)力問題的彈彈性、塑性矩陣其中彈塑性本構(gòu)關(guān)系(3)其它硬化材料的應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(a)理想彈塑性材料(b)運(yùn)動(dòng)硬化材料(c)混合硬化材料屈服條件應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的獲獲得彈塑性本構(gòu)關(guān)系2.4彈塑性全量應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變關(guān)系(略)全量理論的基本假假設(shè)應(yīng)力主方向和應(yīng)變變主方向重合,且且在整個(gè)加載過程程中主方向保持不不變?nèi)坷碚摰倪m用性性及特點(diǎn)一般情況下很難滿滿足全量理論基本本假設(shè)若實(shí)際分析中為單參數(shù)加載且變形滿足小應(yīng)變條件時(shí),上述假設(shè)設(shè)近似成立全量理論使得整個(gè)個(gè)分析包括本構(gòu)關(guān)關(guān)系的建立得到簡(jiǎn)簡(jiǎn)化彈塑性有限元分析析3.1彈塑性有限元分析析概述對(duì)于小變形的彈塑塑性問題,幾何方方程與彈性分析相相同,不同之處是是單元的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可可能是線性的或非非線性的,因此集合單元得得到的總剛度矩陣陣是與應(yīng)力水平相相關(guān)而出現(xiàn)的非線線性方程組。求解彈塑性問題,,一般采用荷載增量量法。當(dāng)出現(xiàn)屈服點(diǎn)后后,每次增加的荷荷載應(yīng)適當(dāng)減小。。彈塑性有限元分析析3.2彈塑性問題的增量量方程由于材料和結(jié)構(gòu)的彈彈塑性行為與加載載及變形歷史相關(guān)關(guān),在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的的彈塑性分析時(shí),,通常將載荷分成成若干個(gè)增量,然然后對(duì)于每一載荷荷增量,將彈塑性性方程線性化,從從而使得彈塑性非非線性分析轉(zhuǎn)化為為一系列線性問題題增量方程(1)平衡方程(2)幾何關(guān)系(3)物理方程(4)邊界條件其中彈塑性有限元分析析3.3彈塑性問題的增量量有限元格式虛位移原理(增量量形式)引入應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系系矩陣形式彈塑性有限元分析析有限元離散單元內(nèi)位移插值應(yīng)變位移關(guān)系系統(tǒng)平衡方程單元節(jié)點(diǎn)增量位移移向量型函數(shù)矩陣應(yīng)變矩陣彈塑性剛度矩陣不平衡力向量其中外載荷向量?jī)?nèi)力向量避免解的漂移彈塑性有限元分析析增量有限元實(shí)施步步驟(1)線性化彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系(2)形成增量有限元方方程(3)求解增量有限元方方程,獲得增量位位移(4)積分本構(gòu)方程確定定新的應(yīng)力狀態(tài)(5)檢查平衡條件,若若不滿足平衡條件件,則繼續(xù)迭代即檢查外載荷向量量和內(nèi)力向量是否否滿足平衡此處迭代可選擇非非線性方程組求解解的歐拉法、N-R法或mN-R法3彈塑性有限元分析析每一增量步中

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