第一章高等代數(shù)多項(xiàng)式

第一章高等代數(shù)多項(xiàng)式第一頁，共59頁。多項(xiàng)式推薦教材：《高等代數(shù)簡明教程》(上、下冊)藍(lán)以中著《高等代數(shù)》(上、下冊)丘維聲著《高等代數(shù)學(xué)》(第2版)姚慕生、吳泉水著推薦習(xí)題集：《高等代數(shù)精選題解》楊子胥著《高等代數(shù)中的典型問題與方法》李志慧、李永明著《高等代數(shù)題解精粹》錢吉林著第二頁，共59頁。多項(xiàng)式

第一章多項(xiàng)式第三頁，共59頁。緒論與準(zhǔn)備知識一、復(fù)數(shù)

◆復(fù)數(shù)的概念◆復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；模與幅角◆復(fù)數(shù)的三角表示，歐拉公式◆代數(shù)基本定理◆

的根第四頁，共59頁。準(zhǔn)備知識二、數(shù)域的概念●在有理數(shù)范圍內(nèi)不能進(jìn)行因式分解，但在實(shí)域內(nèi)就可以分解。

●在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有根，但在復(fù)數(shù)域內(nèi)就有一對共軛復(fù)根。1、數(shù)的認(rèn)識過程自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)2、數(shù)的范圍對問題的影響

NZQRC第五頁，共59頁。多項(xiàng)式§1數(shù)環(huán)和數(shù)域§1數(shù)環(huán)和數(shù)域數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，人們對數(shù)的認(rèn)識經(jīng)歷了一個(gè)長期的發(fā)展過程，由自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù)，然后是實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)。數(shù)學(xué)中的許多問題都和數(shù)的范圍有關(guān)，數(shù)的范圍不同，對同一問題的回答可能也不相同。例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有根，但在復(fù)數(shù)域內(nèi)就有一對共軛復(fù)根。在有理數(shù)范圍內(nèi)不能進(jìn)行因式分解，但在實(shí)域內(nèi)就可以分解。第六頁，共59頁。多項(xiàng)式§1數(shù)環(huán)和數(shù)域我們通常考慮的數(shù)的范圍主要包括全體實(shí)數(shù)、全體有理數(shù)以及全體復(fù)數(shù)等，它們具有一些不同的性質(zhì)，但也有很多共同的性質(zhì)，在代數(shù)中經(jīng)常將具有共同性質(zhì)的對象統(tǒng)一進(jìn)行討論。一個(gè)數(shù)集中，數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算稱為數(shù)的代數(shù)運(yùn)算。若數(shù)集P中任何兩個(gè)數(shù)做某一運(yùn)算后的結(jié)果仍然在這個(gè)數(shù)集P中，則稱該數(shù)集P對這個(gè)運(yùn)算是封閉的。自然數(shù)集N對加、乘運(yùn)算封閉，對減、除不封閉。整數(shù)集Z對加、減、乘運(yùn)算封閉，對除不封閉。有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C對加、減、乘、除

(除數(shù)不為0)四種運(yùn)算都封閉。第七頁，共59頁。多項(xiàng)式§1數(shù)環(huán)和數(shù)域根據(jù)數(shù)集對運(yùn)算的封閉情況，可以得到兩類數(shù)集：數(shù)環(huán)和數(shù)域。一、數(shù)環(huán)定義1：若P是由一些復(fù)數(shù)組成的非空集合，若數(shù)集P對加、減、乘三種運(yùn)算都封閉，即對a，b∈P，總有a+b，a-b，a?b∈P，則稱數(shù)集P是一個(gè)數(shù)環(huán)。例如：整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C都是數(shù)環(huán)。例1

除了以上數(shù)環(huán)外，是否還有其他數(shù)環(huán)？有沒有最小數(shù)環(huán)？例2

一個(gè)數(shù)環(huán)是否一定包含0元？除零環(huán)外，是否還有只包含有限個(gè)元素的數(shù)環(huán)？第八頁，共59頁。多項(xiàng)式§1數(shù)環(huán)和數(shù)域例3

證明是包含的最小數(shù)環(huán)。二、數(shù)域定義2：若P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包含0和1，如果數(shù)集P對加、減、乘、除(除數(shù)不為0)四種運(yùn)算都封閉，則稱數(shù)集P是一個(gè)數(shù)域。定義3：若P是一個(gè)數(shù)環(huán)，如果①數(shù)集P內(nèi)含有一個(gè)非零數(shù)②對a，b∈P，且b≠0，有a/b∈P，則稱數(shù)集P是一個(gè)數(shù)域。例如：有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C都是數(shù)域。第九頁，共59頁。多項(xiàng)式§1數(shù)環(huán)和數(shù)域例4

證明是一個(gè)數(shù)域。例5

設(shè)證明P2，P是一個(gè)數(shù)域，而且P是包含P1和P2的最小數(shù)域。例6

證明任何數(shù)域都包含有理數(shù)域Q。例7

在Q與R之間是否還有別的數(shù)域?R與C之間呢？例8

設(shè)F1和F2是兩個(gè)數(shù)域，證明：

1）F1∩F2是一個(gè)數(shù)域；

2）F1∪F2是數(shù)域的充分必要條件是F1?F2或F2?F1。第十頁，共59頁。多項(xiàng)式§2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算§2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算一、一元多項(xiàng)式的定義定義1：設(shè)

x

是一個(gè)文字(或符號)，n

是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，表達(dá)式其中a0，a1，…，an全屬于數(shù)域P，稱為系數(shù)在數(shù)域

P

中的一元多項(xiàng)式，或簡稱為數(shù)域

P

上的一元多項(xiàng)式。定義1在以下兩方面推廣了中學(xué)的多項(xiàng)式定義：這里的x不再局限為實(shí)數(shù)，而是任意的文字或符號。多項(xiàng)式中的系數(shù)可以在任意數(shù)域中。常數(shù)項(xiàng)，或稱零次項(xiàng)稱為首項(xiàng)，其中首項(xiàng)系數(shù)an≠0第十一頁，共59頁。多項(xiàng)式§2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算例如：是Q上的一元多項(xiàng)式。是R上的一元多項(xiàng)式。是C上的一元多項(xiàng)式。而都不是多項(xiàng)式。定義2：如果在多項(xiàng)式f

(x)與g(x)中，除去系數(shù)為零的項(xiàng)外，同次項(xiàng)的系數(shù)相等，那么就稱多項(xiàng)式

f

(x)

或

g(x)

相等，記為f

(x)

=

g(x)第十二頁，共59頁。多項(xiàng)式§2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算定義3：設(shè)非負(fù)整數(shù)

n

稱為多項(xiàng)式

f

(x)

的次數(shù)，記為例如：幾類特殊的多項(xiàng)式：零次多項(xiàng)式：次數(shù)為0的多項(xiàng)式，即非零常數(shù)。零多項(xiàng)式：系數(shù)全為0的多項(xiàng)式，即f

(x)=0。對零多項(xiàng)式不定義次數(shù)，因此，在使用次數(shù)符號時(shí)，總假定f

(x)≠0。首一多項(xiàng)式：首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式。第十三頁，共59頁。多項(xiàng)式§2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算二、多項(xiàng)式的運(yùn)算定義4：設(shè)是數(shù)域P上次數(shù)分別為n和m的多項(xiàng)式(不妨假設(shè)m≤n)，則多項(xiàng)式f

(x)和g(x)的和，差為：當(dāng)m<n時(shí)，設(shè)bm+1=…=bn=0。多項(xiàng)式f

(x)和g(x)的乘積為：第十四頁，共59頁。多項(xiàng)式§2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算多項(xiàng)式的運(yùn)算(加、減、乘)滿足以下運(yùn)算規(guī)律：加法交換律：

f

(x)+g(x)

=

g(x)+f(x)加法結(jié)合律：

[f

(x)+g(x)]+h(x)=f

(x)+[g(x)+h(x)]乘法交換律：

f

(x)?g(x)=g(x)?f

(x)乘法結(jié)合律：

[f

(x)?g(x)]?h(x)

=

f

(x)?[g(x)?h(x)]乘法對加法的分配律：

f

(x)?[g(x)+h(x)]=f

(x)?g(x)+f

(x)?h(x)乘法對減法的分配律：

f

(x)?[g(x)-h(x)]=f

(x)?g(x)-f

(x)?h(x)第十五頁，共59頁。多項(xiàng)式§2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算三、多項(xiàng)式的次數(shù)定理定理1：設(shè)

f

(x)

≠

0，g(x)

≠

0，則①當(dāng)

f

(x)

±

g(x)

≠

0時(shí)，有②第十六頁，共59頁。多項(xiàng)式§2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算推論1：f

(x)?g(x)

=

0當(dāng)且僅當(dāng)f

(x)

=

0或

g(x)

=

0。由推論2可知，一元多項(xiàng)式滿足乘法的消去律。推論2：若f

(x)?g(x)

=

f

(x)?h(x)，且f

(x)

≠

0，則

g(x)

=

h(x)。定義5：記P

[x]={數(shù)域P上所有一元多項(xiàng)式全體}，由于P

[x]對多項(xiàng)式的加、減、乘法封閉，故稱P

[x]為數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)。若記Pn

[x]={數(shù)域P上所有次數(shù)小于n的一元多項(xiàng)式全體+零多項(xiàng)式}，那么Pn[x]是數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)嗎？第十七頁，共59頁。帶余除法：對于P

[x]中的任意兩個(gè)多項(xiàng)式f

(x)與g(x)，其中g(shù)(x)

≠

0，則一定存在P

[x]中的多項(xiàng)式q(x)，r(x)使得

f

(x)

=

q(x)g(x)+r(x)成立，其中或者r(x)

=

0，并且這樣的q(x)和r(x)是唯一確定的。多項(xiàng)式§3整除的概念和性質(zhì)§3整除的概念和性質(zhì)一、帶余除法例1用帶余除法，求g(x)除

f

(x)所得的商式和余式，其中

商式余式第十八頁，共59頁。多項(xiàng)式§3整除的概念和性質(zhì)二、多項(xiàng)式的整除性定義1：設(shè)f

(x)，g(x)∈P

[x]，若存在h(x)∈P

[x]使得

f

(x)

=

g(x)h(x)則稱

g(x)

整除

f

(x)，記為g(x)

|

f

(x)。否則稱g(x)不能整除

f

(x)，記為g(x)|f

(x)。定義2：設(shè)f

(x)，g(x)∈P

[x]，當(dāng)g(x)

|

f

(x)時(shí)，g(x)稱作f

(x)的因式，f

(x)稱作g(x)的倍式。第十九頁，共59頁。多項(xiàng)式§3整除的概念和性質(zhì)當(dāng)

g(x)

≠

0

時(shí)，帶余除法給出了整除性的一個(gè)判別法。定理1：對任意的

f

(x)，g(x)∈P

[x]，其中g(shù)(x)

≠

0，則g(x)

|

f

(x)的充要條件是g(x)除f

(x)的余式r(x)

=

0。例3設(shè)f

(x)，g(x)，h(x)∈P

[x]，其中h(x)

≠

0。證明：

h(x)

|

(f

(x)-g(x))當(dāng)且僅當(dāng)f

(x)與g(x)除以h(x)所得的余式相等。

例2

試求多項(xiàng)式整除的條件。

第二十頁，共59頁。多項(xiàng)式§3整除的概念和性質(zhì)三、整除的性質(zhì)性質(zhì)1

(a)對任意的

f

(x)∈P

[x]，有f

(x)|f

(x)；(b)對任意的

f

(x)∈P

[x]，有

f

(x)|0；

(c)對任意的

f

(x)∈P

[x]，a

≠

0，有

a

|f

(x)；性質(zhì)2對任意的f

(x)，g(x)∈P

[x]，若f

(x)|g(x)，且g(x)|f

(x)那么f

(x)

=

cg(x)和g(x)

=

df

(x)，其中c，d為非零常數(shù)。性質(zhì)3對任意的f

(x)，g(x)，h(x)∈P

[x]，若f

(x)|g(x)，且g(x)|h(x)，那么f

(x)|h(x)。(整除的傳遞性)第二十一頁，共59頁。多項(xiàng)式§3整除的概念和性質(zhì)性質(zhì)4對任意的f

(x)，g(x)，h(x)∈P

[x]，若h(x)|f

(x)，且h

(x)|g(x)，那么h(x)|(

f

(x)

±

g(x)

)。性質(zhì)5

對任意的f

(x)，gi(x)∈P

[x]，i=1,2,…,r，若f

(x)|gi(x)那么對任意的ui(x)∈P

[x]，i=1,2,…,r，有

f

(x)|(u1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+…+ur(x)gr(x))性質(zhì)7對任意的f

(x)∈P

[x]，c∈P且c

≠

0，有f

(x)|cf

(x)。稱作多項(xiàng)式g1(x),g2(x),…,gr(x)的一個(gè)組合性質(zhì)6對任意的f

(x)，g(x)∈P

[x]，若

f

(x)|g(x)，則對任意的h(x)∈P

[x]，有f

(x)|h(x)g(x)。第二十二頁，共59頁。多項(xiàng)式§3整除的概念和性質(zhì)例4設(shè)g1(x)g2(x)|f1(x)f2(x)，

1)證明：若f1(x)|g1(x)，f1(x)

≠

0，則g2(x)|f2(x)；2)若g1(x)|f1(x)，是否有g(shù)2(x)|f2(x)?多項(xiàng)式的根與因式分解會因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。問題：數(shù)域P上的多項(xiàng)式

f(x)

與g(x)

的整除性是否會因?yàn)閿?shù)域的擴(kuò)大而改變？第二十三頁，共59頁。多項(xiàng)式§4最大公因式§4最大公因式一、兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式定義1：對任意的f

(x)，g(x)∈P

[x]，若存在h(x)∈P

[x]

，使得

h(x)|f

(x)，h(x)|g(x)，則稱h(x)是f

(x)和g(x)的一個(gè)公因式。定義2：對任意的f

(x)，g(x)∈P

[x]，d(x)是多項(xiàng)式f

(x)和g(x)的一個(gè)公因式。若對f

(x)和g(x)的任意一個(gè)公因式h(x)，都有h(x)

|

d(x)，則稱d(x)是多項(xiàng)式f

(x)和g(x)的最大公因式。第二十四頁，共59頁。多項(xiàng)式§4最大公因式所要考慮的問題：(1)任何兩個(gè)多項(xiàng)式是否都有最大公因式？(存在性問題)(2)若存在最大公因式，如何求？(求法問題)(3)最大公因式是否唯一？(唯一性問題)引理1：對任意的f

(x)，g(x)∈P

[x]，若其帶余除法為

f

(x)

=

q(x)g(x)+r(x)則兩對多項(xiàng)式f

(x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因式和最大公因式。由引理1知，求f

(x)和g(x)的最大公因式可以轉(zhuǎn)化為求g(x)和r(x)的最大公因式。第二十五頁，共59頁。多項(xiàng)式§4最大公因式定理1：對任意的f

(x)，g(x)∈P

[x]，存在最大公因式d(x)，而且d(x)可以表示為f

(x)和g(x)的一個(gè)組合，即存在多項(xiàng)式u(x)，v(x)∈P

[x]

，使得

d(x)

=

u(x)f

(x)+v(x)g(x)。定理1表明對任意的兩個(gè)多項(xiàng)式都存在最大公因式d(x)，而且d(x)是這兩個(gè)多項(xiàng)式的一個(gè)組合。由定理1的證明過程可以構(gòu)造出求最大公因式的方法：輾轉(zhuǎn)相除法。若對不全為零的多項(xiàng)式，用符號(f

(x)，g(x))表示首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式，那么(f

(x)，g(x))是唯一確定的。第二十六頁，共59頁。多項(xiàng)式§4最大公因式例1設(shè)求(

f

(x)，g(x)

)，并求u(x)，v(x)使得

(

f

(x)，g(x)

)

=

u(x)f

(x)+v(x)g(x)。例2設(shè)g(x)

≠

0，h(x)為任意多項(xiàng)式。證明：

(

f

(x)，g(x))

=

(

f

(x)-h(x)g(x)，g(x))二、兩個(gè)多項(xiàng)式互素定義3：對任意的f

(x)，g(x)∈P

[x]，若(

f

(x)，g(x))=1，則稱多項(xiàng)式

f(x)

和

g(x)

互素。顯然

f(x)

和

g(x)

互素，那么它們的公因式只有零次多項(xiàng)式。反之，f(x)

和

g(x)

的公因式只有零次多項(xiàng)式，則f(x)和g(x)互素。第二十七頁，共59頁。多項(xiàng)式§4最大公因式定理2：對任意的f

(x)，g(x)∈P

[x]，多項(xiàng)式f(x)和g(x)互素的充要條件是存在多項(xiàng)式u(x)，v(x)∈P

[x]

，使得

u(x)f

(x)+v(x)g(x)

=

1。性質(zhì)1(f

(x)，h(x))=1，(g(x)，h(x))=1，則(f

(x)g(x)，h(x))=1多項(xiàng)式互素的性質(zhì)性質(zhì)2(f

(x)，g(x))=1，f

(x)|g(x)h(x)，則f

(x)|h(x)性質(zhì)3f1(x)|g(x)，f2(x)|g(x)，且(f1(x)，f2(x))=1，則

f1(x)f2(x)|g(x)第二十八頁，共59頁。多項(xiàng)式§4最大公因式例3設(shè)f

(x)，g(x)為兩個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式。證明：若(

f

(x)，g(x)

)=1，則存在多項(xiàng)式u(x)，v(x)滿足

u(x)f

(x)+v(x)g(x)=1，其中并且滿足這樣條件的多項(xiàng)式

u(x)，v(x)

是唯一的。例4設(shè)f

(x)，g(x)為兩個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式。證明：多項(xiàng)式f

(x)和g(x)不互素的充要條件是存在多項(xiàng)式h(x)，k(x)滿足

h(x)f

(x)+k(x)g(x)=0，其中。第二十九頁，共59頁。多項(xiàng)式§4最大公因式三、多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式定義4：設(shè)f1(x)，f2(x)，…，fs(x)∈P

[x]，s≥2，若存在多項(xiàng)式h(x)∈P

[x]，有h(x)|fi(x)，i=1，2，…，s，則稱h(x)是多項(xiàng)式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)的一個(gè)公因式。定義5：設(shè)f1(x)，f2(x)，…，fs(x)∈P

[x]，s≥2，若多項(xiàng)式d(x)是多項(xiàng)式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)的公因式，而且這組多項(xiàng)式的任意一個(gè)公因式都整除d(x)，則稱多項(xiàng)式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)的最大公因式。符號(f1(x)，f2(x)，…，fs(x))表示這組多項(xiàng)式的首一最大公因式。第三十頁，共59頁。多項(xiàng)式§4最大公因式定理3：若f1(x)，f2(x)，…，fs-1(x)的最大公因式存在，則多項(xiàng)式f1(x)，…，fs-1(x)，fs(x)

的最大公因式也存在，而且

(f1(x)，…，fs-1(x)，fs(x))=((f1(x)，…，fs-1(x))，fs(x))進(jìn)而存在多項(xiàng)式u1(x)，u2(x)，…，us(x)使得

u1(x)f1(x)+…+us(x)fs(x)=(f1(x)，…，fs-1(x)，fs(x)

)例5

設(shè)求(f1(x)，f2(x)，f3(x))，并求u1(x)，u2(x)，u3(x)使得

u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+u3(x)f3(x)=(f1(x)，f2(x)，f3(x))第三十一頁，共59頁。多項(xiàng)式§4最大公因式定義6：設(shè)多項(xiàng)式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)∈P

[x]，s≥2，若(f1(x)，f2(x)，…，fs(x))=1，則稱f1(x)，f2(x)，…，fs(x)互素。定義7：設(shè)多項(xiàng)式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)∈P

[x]，s≥2，若對i，j=1，2，…，s，i

≠

j，有(fi(x)，fj(x))=1，則稱f1(x)，f2(x)，…，fs(x)兩兩互素。性質(zhì)4：若f1(x)，f2(x)，…，fs(x)兩兩互素，則f1(x)，f2(x)，…，fs(x)互素，反之則不一定成立。第三十二頁，共59頁。多項(xiàng)式§5因式分解定理§5因式分解定理一、不可約多項(xiàng)式定義1：設(shè)p(x)是數(shù)域P上次數(shù)≥1的多項(xiàng)式，如果它不能表示成數(shù)域P上的兩個(gè)次數(shù)比p(x)低的多項(xiàng)式的乘積，則稱p(x)為數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式。否則，稱為可約多項(xiàng)式。由定義可知：一次多項(xiàng)式都是不可約多項(xiàng)式。多項(xiàng)式的可約性與系數(shù)域有關(guān)。對零多項(xiàng)式和零次多項(xiàng)式，不討論它們的可約性。第三十三頁，共59頁。多項(xiàng)式§5因式分解定理不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)性質(zhì)1若p(x)是不可約多項(xiàng)式，則只有c|p(x)和cp(x)|p(x),其中c∈P，且c

≠

0。性質(zhì)2若p(x)是不可約多項(xiàng)式，則對任意的多項(xiàng)式f

(x)，有p(x)|f

(x)或者(p(x)，f

(x))=1。性質(zhì)3若p(x)是不可約多項(xiàng)式，且對任意兩個(gè)多項(xiàng)式f

(x),g(x)有p(x)|f

(x)g(x)，則p(x)|f

(x)或者p(x)|g(x)。推論1若p(x)是不可約多項(xiàng)式，且p(x)|f1(x)f2(x)…fs(x)，則對某個(gè)fi(x)，1≤i≤s，有p(x)|fi(x)。第三十四頁，共59頁。多項(xiàng)式§5因式分解定理例1設(shè)p(x)為數(shù)域P上的次數(shù)大于零的多項(xiàng)式。證明：若p(x)對任意多項(xiàng)式f

(x)有p(x)|f

(x)或(p(x)，f

(x))=1，則p(x)是數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式。(性質(zhì)2的逆命題)例2設(shè)p(x)為數(shù)域P上的次數(shù)大于零的多項(xiàng)式。若對任意兩個(gè)多項(xiàng)式f

(x)和g(x)，當(dāng)p(x)|f

(x)g(x)時(shí)必有p(x)|f

(x)或者p(x)|g(x)。證明p(x)一定是數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式。(性質(zhì)3的逆命題)二、因式分解定理定理1：數(shù)域P上任意一個(gè)次數(shù)≥1的多項(xiàng)式f

(x)都可以分解成數(shù)域P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積。(存在性定理)第三十五頁，共59頁。多項(xiàng)式§5因式分解定理定理2：數(shù)域P上任意一個(gè)次數(shù)≥1的多項(xiàng)式f

(x)分解成數(shù)域P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積

f

(x)=p1(x)p2(x)…pr(x)若不記零次多項(xiàng)式的差異和因式的排列次序，那么f

(x)分解成不可約因式的乘積的分解式是唯一的。(唯一性定理)即若有兩個(gè)分解式

f

(x)=p1(x)p2(x)…pr(x)=q1(x)q2(x)…qt(x)則有

①r

=

t②適當(dāng)調(diào)整qj(x)的位置后，有

pi(x)=ciqi(x)i=1，2，…，r定理1和2在理論上有其重要性，但沒有給出一個(gè)具體的分解方法。實(shí)際上，普遍可行的因式分解方法并不存在。第三十六頁，共59頁。多項(xiàng)式§5因式分解定理三、標(biāo)準(zhǔn)(典型)分解式在多項(xiàng)式f

(x)的分解式中，把每一個(gè)不可約因式的首項(xiàng)系數(shù)提出來，使它們成為首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，再把相同的不可約因式合并，于是f

(x)的分解式就變成其中an是f

(x)是首項(xiàng)系數(shù)，p1(x)，…，ps(x)是首項(xiàng)為1的不可約多項(xiàng)式，k1，…，ks為正整數(shù)，這種分解式稱為f

(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式。第三十七頁，共59頁。多項(xiàng)式§5因式分解定理由標(biāo)準(zhǔn)分解式的定義可知每個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式是唯一的。利用多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否整除另一個(gè)多項(xiàng)式。(3)利用兩個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式，可以直接寫出它們的最大公因式。雖然利用標(biāo)準(zhǔn)分解式可以很方便地寫出最大公因式，但是標(biāo)準(zhǔn)分解式并不容易求得，因此求最大公因式的一般方法還是輾轉(zhuǎn)相除法。第三十八頁，共59頁。多項(xiàng)式§5因式分解定理例3

求在Q[x]，R[x]上的分解式。例4證明：多項(xiàng)式f

(x)與g(x)互素的充要條件是對任意的正整數(shù)n，f

n(x)和gn(x)都互素。例5設(shè)f

(x)與g(x)為兩個(gè)不全為零的多項(xiàng)式，n是任意整數(shù)證明：

(

f

(x)，g(x))n

=

(f

n(x)，gn(x))第三十九頁，共59頁。多項(xiàng)式§6重因式§6重因式定義1不可約多項(xiàng)式p(x)稱為f

(x)的k重因式，如果pk(x)|f

(x)而pk+1|f(x)。當(dāng)k

=

1時(shí)，p(x)稱為f

(x)的單因式。當(dāng)k

>

1時(shí)，p(x)稱為f

(x)的重因式。如果f

(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：則p1(x)，p2(x)，…，ps(x)分別是f

(x)的k1重，k2重，…，ks重因式。第四十頁，共59頁。多項(xiàng)式§6重因式定義2多項(xiàng)式f

(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)是比f

(x)低一次的多項(xiàng)式

f'(x)=annxn-1+an-1(n-1)xn-2+…+a1一階導(dǎo)數(shù)f'(x)的導(dǎo)數(shù)稱為f

(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記為f''(x)。f''(x)的導(dǎo)數(shù)稱為f

(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記為f'''(x)。f

(x)的k階導(dǎo)數(shù)記為f(k)(x)。一個(gè)n次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)n-1次多項(xiàng)式，它的n階導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)常數(shù)，它的n+1階導(dǎo)數(shù)就是零。第四十一頁，共59頁。多項(xiàng)式§6重因式多項(xiàng)式的基本求導(dǎo)法則：1)(f

(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2)(cf

(x))'=cf'(x)3)(f

(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f

(x)g'(x)4)(f

m(x))'=mf

m-1(x)f'(x)定理1若不可約多項(xiàng)式p(x)是f

(x)的k重因式(k

>1)，則p(x)是f'(x)的k-1重因式。推論1若不可約多項(xiàng)式p(x)是f

(x)的k重因式(k

≥1)，則p(x)是f

(x)，f'(x)，…，f(k-1)(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式。第四十二頁，共59頁。多項(xiàng)式§6重因式推論2不可約多項(xiàng)式p(x)是f

(x)的重因式的當(dāng)且僅當(dāng)p(x)是f

(x)與f'(x)的公因式。推論3多項(xiàng)式f

(x)無重因式的充要條件是f

(x)與f'(x)互素。例1

求多項(xiàng)式有重因式的條件。例2

用分離重因式方法求多項(xiàng)式在Q上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。第四十三頁，共59頁。多項(xiàng)式§7多項(xiàng)式函數(shù)§7多項(xiàng)式函數(shù)一、多項(xiàng)式函數(shù)的定義定義1設(shè)f

(x)∈P

[x]，對任意的x∈P，作映射f：

x→f

(x)∈P映射

f

確定了數(shù)域P上的一個(gè)函數(shù)f

(x)，f

(x)稱為P上的多項(xiàng)式函數(shù)。定義2設(shè)f

(x)∈P

[x]，對任意的c∈P，數(shù)

f

(c)=ancn+an-1cn-1+…+a0稱為當(dāng)x=c時(shí)多項(xiàng)式函數(shù)f

(x)的值，若f

(c)=0，則稱c為f

(x)在數(shù)域P中的根或零點(diǎn)。第四十四頁，共59頁。多項(xiàng)式§7多項(xiàng)式函數(shù)二、余數(shù)定理和綜合除法定理1(余數(shù)定理)用一次多項(xiàng)式x-c去除多項(xiàng)式f

(x)，所得的余式就是一個(gè)常數(shù)，即這個(gè)多項(xiàng)式在x=c時(shí)的值f

(c)。問題：有沒有更簡單的方法確定帶余除法

f

(x)=q(x)(x-c)+r利用綜合除法求q(x)與r時(shí)應(yīng)注意：多項(xiàng)式系數(shù)按降冪排列，有缺項(xiàng)必須補(bǔ)上零除式x+b應(yīng)變?yōu)閤-(-b)第四十五頁，共59頁。多項(xiàng)式§7多項(xiàng)式函數(shù)例1求用x+2除f

(x)=x5+x3+2x2+8x-5的商和余式。例3每個(gè)多項(xiàng)式f

(x)都可以唯一表示為x-x0的方冪和，即

c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+…+cn(x-xn)n

的形式，其中c0，c1，…，cn為常數(shù)。例4把f

(x)=x5+x3+2x2+8x-5表示為x+2的方冪和。例2設(shè)f

(x)=x4+2x3-3x2+4x-5，求f

(1+i)。第四十六頁，共59頁。多項(xiàng)式§7多項(xiàng)式函數(shù)定理2(因式定理)

(x-c)是多項(xiàng)式f

(x)的一個(gè)因式的充要條件是f

(c)=0。例5當(dāng)a，b是什么數(shù)時(shí)，f

(x)能被g(x)整除？其中f

(x)=x4-3x3+6x2+ax+b，g(x)=x2-1。三、多項(xiàng)式的根定義3若x-c是f

(x)的k重因式，則稱c是f

(x)的一個(gè)k重根。當(dāng)k=1時(shí)，c稱為f

(x)的一個(gè)單根。第四十七頁，共59頁。多項(xiàng)式§7多項(xiàng)式函數(shù)定理3(根的個(gè)數(shù)定理)

P[x]中的n次多項(xiàng)式(n

≥

0)在數(shù)域P中的根至多有n個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算。定理4設(shè)f

(x)，g(x)∈P

[x]，它們的次數(shù)都不超過n。若在P中有n+1個(gè)不同的數(shù)使得f

(x)與g(x)的值相等。問題：設(shè)a1，a2，…，an是P中n個(gè)不同的數(shù)，b1，b2，…，bn是P中n個(gè)任意的數(shù)，能否確定一個(gè)n-1次多項(xiàng)式f

(x)，使得

f

(ai)=bi，i=1，2，…，n第四十八頁，共59頁。多項(xiàng)式§7多項(xiàng)式函數(shù)四、多項(xiàng)式相等與多項(xiàng)式函數(shù)相等的關(guān)系1、多項(xiàng)式相等，即f

(x)=g(x)?對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等。2、多項(xiàng)式函數(shù)相等，即f

(x)=g(x)??c∈P有f

(c)=g(c)。定理5P

[x]中兩個(gè)多項(xiàng)式f

(x)和g(x)相等的充要條件是它們在P上定義的多項(xiàng)式函數(shù)相等。第四十九頁，共59頁。多項(xiàng)式§8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式§8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式問題：對于P

[x]中的多項(xiàng)式多項(xiàng)式f

(x)，它在數(shù)域P上未必有根，但在復(fù)數(shù)域C上是否有根?定理1(代數(shù)基本定理)每個(gè)次數(shù)≧1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一個(gè)根。定理2每個(gè)次數(shù)≧1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中一定有一個(gè)一次因式。一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式第五十頁，共59頁。多項(xiàng)式§8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式定理3任何次數(shù)≧1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有n個(gè)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)。推論1復(fù)數(shù)域上任何次數(shù)≧1的多項(xiàng)式都是可約的，即復(fù)數(shù)域上，不可約多項(xiàng)式只能是一次多項(xiàng)式。推論2任何一個(gè)次數(shù)≧1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都能分解為一次因式的乘積，在適當(dāng)排序后，這個(gè)分解是唯一的。第五十一頁，共59頁。多項(xiàng)式§8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式一般的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上的根與系數(shù)的關(guān)系。設(shè)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=a0(x-α1)(x-α2)…(x-