彈簧活塞系統(tǒng)的仿真

煙臺大學(xué)學(xué)士畢業(yè)論文（設(shè)計）-PAGE1-1引言現(xiàn)代的科學(xué)、技術(shù)、工程中的大量數(shù)學(xué)模型都可以用微分方程來描述，很多近代自然科學(xué)的基本方程就是微分方程.從微積分理論形成以來，人們就一直用微分方程來描述、解釋或預(yù)見各種自然現(xiàn)象，不斷地取得顯著成效.自從MATLAB/Simulink出現(xiàn)之后，人們更加容易地求解、描述微分方程，使得該類數(shù)學(xué)模型更加直觀，更易操作.本文就是利用了MATLAB/Simulink對物理學(xué)中一類彈簧活塞的運動系統(tǒng)的問題進(jìn)行了建模與仿真.首先給出了問題的數(shù)學(xué)模型（微分方程），然后討論了該模型的可控性，最后使用MATLAB/Simulink對模型進(jìn)行了圖形描述，通過討論圖形的穩(wěn)定性分析了輸入函數(shù)（控制）的取值．2預(yù)備知識2.1狀態(tài)空間的基本概念1）狀態(tài)表征系統(tǒng)運動的信息和行為.任何一個系統(tǒng)在特定時刻都有一個特定的狀態(tài)，系統(tǒng)在時刻的狀態(tài)由時刻的系統(tǒng)狀態(tài)（初始狀態(tài)）和時的輸入唯一確定的．2）狀態(tài)變量狀態(tài)變量是一個完全表征系統(tǒng)時間域行為的的最小內(nèi)部變量組．3）狀態(tài)向量設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為，，…，，那么用它們作為分量所組成的一個列向量就成為狀態(tài)向量，記作，并且狀態(tài)的維數(shù)定義為其組成狀態(tài)變量，，…，的個數(shù)，即dim=n．狀態(tài)空間以狀態(tài)變量，，…，為坐標(biāo)軸構(gòu)成的維空間稱為狀態(tài)空間．狀態(tài)方程指描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組（連續(xù)時間系統(tǒng)）或一階差分方程組（離散時間系統(tǒng)）．它表征了系統(tǒng)由輸入引起的內(nèi)部狀態(tài)的變化的規(guī)律.連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的一般形式表示為，其中是連續(xù)時間系統(tǒng)的維狀態(tài)變量；是連續(xù)時間系統(tǒng)的維狀態(tài)變量；是維向量函數(shù)．輸出方程是指描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間關(guān)系的代數(shù)方程.它表征了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化和輸入所引起的系統(tǒng)輸出變化規(guī)律.連續(xù)時間系統(tǒng)輸出方程的一般形式表示為，其中是連續(xù)時間系統(tǒng)的維輸出向量；是維向量函數(shù)，；其余定義同上．7）狀態(tài)空間表達(dá)式是指狀態(tài)方程與輸出方程的組合，構(gòu)成對系統(tǒng)動態(tài)行為的完整描述.系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式也稱為動態(tài)方程.它表征一個系統(tǒng)完整的動態(tài)過程，連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式一般形式為，通常，對于線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為，其中維狀態(tài)向量，維狀態(tài)變量，系統(tǒng)矩陣，輸入矩陣，輸出矩陣，直接傳輸矩陣．2.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性定義2.2.1設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，．若存在一分段連續(xù)控制向量，能在內(nèi)，將系統(tǒng)從任意的初態(tài)轉(zhuǎn)移至任意終態(tài)，則系統(tǒng)完全能控.定理2.2.1線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件為，其中，是能控性矩陣．2.3線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制律定義2.3.1設(shè)線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)反饋下受控系統(tǒng)的輸入為，為反饋增益矩陣，為參考輸入，將上式代入線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，得到狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式．2.4李雅普諾夫穩(wěn)定性理論定義2.4.11)自治系統(tǒng)不受外部影響即沒有輸入作用的一類動態(tài)系統(tǒng).對于連續(xù)時間非線性時變系統(tǒng)，自治系統(tǒng)狀態(tài)方程具有形式，其中為維狀態(tài)，為顯含時間變量的維向量函數(shù).對于連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，自治系統(tǒng)狀態(tài)方程具有形式為．2)平衡狀態(tài)對于連續(xù)時間非線性時變系統(tǒng)，其自治方程滿足屬性，則稱為平衡狀態(tài)．3)初態(tài)設(shè)的解是，則稱為狀態(tài)方程的初態(tài)．2.4.2李雅普諾夫第一法穩(wěn)定性定理設(shè)線性定常系統(tǒng)，則線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)如下，1)李氏穩(wěn)定的充要條件為，2)漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件為，3)不穩(wěn)定的充要條件為，

3問題的提出3.1問題的提出彈簧活塞系統(tǒng)屬于控制系統(tǒng)的一類，要研究此類問題，需要先通過微分方程（組），傳遞函數(shù)，動態(tài)方程等建立其運動的數(shù)學(xué)模型.根據(jù)具體情況選擇一定的物理量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出變量，利用牛頓定律，能量守恒定律等物理定律建立彈簧活塞系統(tǒng)的動態(tài)方程模型.然后利用MATLAB中的Simulink來建立該系統(tǒng)的動態(tài)仿真．經(jīng)過多次調(diào)試，最終是系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)．3.2問題描述圖3.1是一個彈簧活塞系統(tǒng),在穩(wěn)定運行時，重力（質(zhì)量）的作用將通過彈簧、活塞來維持平衡，由此，整個系統(tǒng)在外來因素力作用下的響應(yīng)，就可利用相對于平衡狀態(tài)的偏差量變化來描述，設(shè)圖中、可分別表示為,相對于穩(wěn)定工作點的位移量,系統(tǒng)：彈力為，的阻力為，的阻力為，利用牛頓定律即可建立彈簧活塞系統(tǒng)模型.圖3.1彈簧活塞系統(tǒng)

4問題分析和建模由上圖3.1,令輸入為輸入量，，的位移量，為輸出量，選取狀態(tài)變量，，，．根據(jù)牛頓定律對有，對有，把，，，及代入上面兩個式子，整理得狀態(tài)方程為 輸出方程為寫成矩陣形式為

5動態(tài)系統(tǒng)的Simulink仿真5.1彈簧活塞系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制根據(jù)線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制律，設(shè)狀態(tài)反饋下受控系統(tǒng)的輸入為（為反饋增益矩陣，），將上式代入彈簧活塞系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，得到彈簧活塞狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，其中．當(dāng)令時，有，．驗證矩陣是否滿秩.利用MATLAB程序[附錄1]，判斷系統(tǒng)的能控性，經(jīng)過運行程序得，，顯然為滿秩的，說明該線性系統(tǒng)是完全可控的．5.2動態(tài)系統(tǒng)的Simulink仿真在完成彈簧活塞系統(tǒng)的Simulink模型基礎(chǔ)上，經(jīng)過多次調(diào)試，在狀態(tài)反饋控制器的作用下，系統(tǒng)不斷地對位置誤差進(jìn)行控制修正，最終使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài).根據(jù)線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制律，狀態(tài)反饋下受控系統(tǒng)的輸入為．經(jīng)過多次調(diào)試后[附錄2]，當(dāng)令時，系統(tǒng)得到穩(wěn)定，如圖：驗證：利用特征值法證明，求特征值的MATLAB程序，則的特征值沒有正實部,根據(jù)李雅普諾夫第一法的穩(wěn)定性定理，故彈簧活塞控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的.6結(jié)束語彈簧活塞系統(tǒng)控制問題，使用Simulink對其進(jìn)行建模與仿真.結(jié)論表明：彈簧活塞系統(tǒng)作為動力學(xué)系統(tǒng)，往往表現(xiàn)出強(qiáng)非線性、模型不精確或模型未知等復(fù)雜特征，其控制也因此而變得非常困難，當(dāng)給定輸入函數(shù)（控制函數(shù)）時，彈簧活塞系統(tǒng)穩(wěn)定性變化隨著物體的質(zhì)量、彈簧個數(shù)、活塞的個數(shù)增加的改變而改變.本文中彈簧活塞系統(tǒng)控制問題是一個簡單的線性系統(tǒng)模型，這避免不了與實際情況有一些差異.當(dāng)然原問題的基礎(chǔ)上，再加兩個彈簧，我們也可以建立相關(guān)的彈簧活塞系統(tǒng)模型.要想得到更接近實際的結(jié)果，我們需要考慮多方面的因素建立控制模型，當(dāng)然求解和仿真也是比較復(fù)雜.這需要我今后更加努力學(xué)習(xí)、不斷改進(jìn)模型，并能夠進(jìn)行動態(tài)模擬仿真.參考文獻(xiàn)[1]鄭大鐘編著，線性系統(tǒng)理論（第2版），清華大學(xué)出版社2002.10．[2]龔樂年編著，現(xiàn)代控制理論題解分析與指導(dǎo)，東南大學(xué)出版社2005.9．[3]方水良編著，現(xiàn)代控制理論及其MATLAB實踐，浙江大學(xué)出版社2005.6．[4]姚俊馬松輝編著，Simulink建模與仿真，西安電子科技大學(xué)出版社2002.8．[5]王正林等編著，MATLAB/Simulink與控制系統(tǒng)仿真，電子工業(yè)出版社2005.7．附錄附錄1>>formatrat;%改變輸出格式為分?jǐn)?shù)顯示A=[0010;0001;-10-22;001-2.5];B=[0;0;0;0.5];M=ctrb(A,B);Sc=[B,A*B,A^2*B,A^3*B]%得到可控性矩陣r=rank(M)if(r<4),disp('uncontrolable!')endSc=001-9/201/2