福建專版春八年級數(shù)學(xué)下冊第十八章平行四邊形特殊平行四邊形正方形知能演練提升新版新人教版

18.2.3正方形知能操練提高

能力提高1.四個角相等,四條邊也相等的四邊形必定是()A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四邊形

2.如圖,正方形ABCD的邊長為8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一動點,則DN+MN的最小值為()A.8B.10C.217D.82

3.小明在學(xué)習(xí)了正方形以后,給同桌小文出了道題.從以下四個條件①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中選兩個作為增補條件,使?ABCD成為正方形,如圖,現(xiàn)有以下四種選法,你以為此中錯誤的選項是()A.①②B.②③C.①③D.②④4.矩形各內(nèi)角均分線若能圍成一個四邊形,則這個四邊形必定是.

★5.以邊長為2的正方形的對角線的交點O為端點,引兩條互相垂直的射線,分別與正方形的邊交于A,B兩點,則線段AB的最小值是.

6.如圖,在正方形ABCD中,對角線AC,BD訂交于點O,E,F分別在OD,OC上,且DE=CF,連結(jié)DF,AE,AE的延伸線交DF于點M.求證:AM⊥DF.

7.如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD交于點O,E是BD延伸線上的點,且△ACE是等邊三角形.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若∠AED=2∠EAD,求證:四邊形ABCD是正方形.

創(chuàng)新應(yīng)用

★8.如圖,在邊長為5的正方形ABCD中,點E,F分別是BC,DC邊上的點,且AE⊥EF,BE=2.(1)延伸EF交正方形外角均分線CP于點P(如圖),試判斷AE與EP的大小關(guān)系,并說明原因;(2)在AB邊上能否存在一點M,使得四邊形DMEP是平行四邊形?若存在,請賜予證明;若不存在,請說明原因.

參照答案

能力提高1.A四個角相等的四邊形是矩形,四條邊相等的四邊形是菱形,既是菱形又是矩形的四邊形必定是正方形,應(yīng)選A.2.B連結(jié)BM交AC于點N(圖略),此時DN+MN有最小值,且DN+MN=BM=BC2+3.B4.正方形5.2如圖,∵四邊形CDEF是正方形,

∴∠OCD=∠ODB=45°,∠COD=90°,OC=OD.∵AO⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠COA+∠AOD=90°,∠AOD+∠DOB=90°,∴∠COA=∠DOB.∵在△COA和△DOB中,∠∴△COA≌△DOB,∴OA=OB.∵∠AOB=90°,∴△AOB是等腰直角三角形,由勾股定理,得AB=OA2+OB2=2OA,要使AB最小,只需OA取最小值即可,依據(jù)∵O是正方形CDEF的對角線的交點,且正方形邊長為2,∴OA=12CD=1,即AB=26.證明在正方形ABCD中,AO=DO=OC,AC⊥BD,∴∠AOE=∠DOF=90°,∠OAE+∠AEO=90°.又DE=CF,∴OE=OF,∴△AOE≌△DOF.∴∠AEO=∠DFO,∠OAE+∠DFO=90°.∴∠AMF=90°,∴AM⊥DF.7.證明(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=CO.又△ACE是等邊三角形,∴EO⊥AC,即DB⊥AC.∴?ABCD是菱形.(2)∵△ACE是等邊三角形,∴∠AEC=60°.∵EO⊥AC,∴∠AEO=12∠AEC=30°∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°.∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°.∵四邊形ABCD是菱形,又∠ADC=2∠ADO=90°.∴四邊形ABCD是正方形.創(chuàng)新應(yīng)用

8.解(1)AE=EP.原因:在AB上取一點G,使BG=BE,連結(jié)GE,∵AB=BC,∴AG=EC.∵AE⊥EF,∴∠2+∠3=90°.∵四邊形ABCD為正方形,∴∠B=∠BCD=90°.∴∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2.又∠AGE=∠ECP=135°,∴△AGE≌△ECP.∴AE=EP.(2)在AB邊上存在一點M,使四邊形DMEP是平行四邊形.

證明過程以下:在AB邊上取一點M,使AM=BE,連結(jié)ME,MD,DP.在正方形ABCD中,AD=BA,∠DAM=∠ABE=90°,∴Rt△DAM≌