三角函數(shù)周期性

三角函數(shù)周期性第一頁，共十七頁，2022年，8月28日今天是3月5號，星期一

觀察摩天輪的轉動世界上有許多事物都呈現(xiàn)“周而復始”的變化規(guī)律，如年有四季更替，月有陰晴圓缺.這種現(xiàn)象在數(shù)學上稱為周期性，在函數(shù)領域里，周期性是函數(shù)的一個重要性質.第二頁，共十七頁，2022年，8月28日第三頁，共十七頁，2022年，8月28日誘導公式sin(x+2π)=sinx,的幾何意義．xoy4π12π6π8π2π10π第四頁，共十七頁，2022年，8月28日定義：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T

，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x)＝f(x+T)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。一、周期函數(shù)的定義注意：1.T必須是常數(shù)，且不為零2.對周期函數(shù)來說f(x+T)=f(x)必須對定義域內的任意x都成立第五頁，共十七頁，2022年，8月28日2、周期函數(shù)的周期是否惟一？1．等式sin(+)=sin是否成立？如果成立，能否說明是正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的一個周期？為什么？3、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期有哪些？周期函數(shù)的周期不止一個，若T是周期，則kT(k∈Z且k≠0)一定也是周期。第六頁，共十七頁，2022年，8月28日正弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復地出現(xiàn)的xoy6π12πoyx4π8π第七頁，共十七頁，2022年，8月28日

對于一個周期函數(shù)f(x),如果在它的所有正周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)是它們的周期，最小正周期是2π.說明：我們現(xiàn)在談到三角函數(shù)周期時，如果不加特別說明，一般都是指的最小正周期。第八頁，共十七頁，2022年，8月28日求下列函數(shù)的周期：(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)y=2sin[(1/2)x-(π/6)],x∈R.是以2π為周期的周期函數(shù).(2)是以π為周期的周期函數(shù).例題解析解:(1)∵對任意實數(shù)x有

f(x)＝3sinx＝3sin(x＋2)＝f(x＋2)第九頁，共十七頁，2022年，8月28日(3)是以４π為周期的周期函數(shù)．第十頁，共十七頁，2022年，8月28日你能從上面的解答過程中歸納一下這些函數(shù)的周期與解析式中的哪些量有關系嗎？T=4πT=π

T=2π周期

函數(shù)y=二、函數(shù)周期性的概念的推廣第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日

一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函數(shù)y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期為當ω<0周期為第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日問題1：函數(shù)f(x)=sinx,x∈R+是不周期函數(shù)？２π是不是它的周期？－２π呢？oyx２π４πx＋（－２π）f（x＋T）無意義xf（x＋T）有意義x＋２π問題2：函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù)),x∈R，問函數(shù)f(x)是不周期函數(shù)，若是，有無最小正周期？第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日1.求下列函數(shù)的周期：隨堂練習(5)(4)(3)(1)(2)函數(shù)，且時，求和的值。2.設函數(shù)是以２為最小正周期的周期第十四頁，共十七頁，2022年，8月28日1、一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)Ｔ，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x)＝f(x+T)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．2、周期函數(shù)的周期與函數(shù)的定義域有關，周期函數(shù)不一定存在最小正周期.3、函數(shù)y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函數(shù)y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ為常數(shù)，且A≠0,ω>0)的周期T=2π/ω.回顧小結第十五頁，共十七頁，2022年，8月2