新521三角函數(shù)的概念(一)課件

三角函數(shù)的概念(一)必備知識·自主學(xué)習三角函數(shù)的定義(單位圓法)(1)定義：在平面直角坐標系中，設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與_______相交于點P(x，y)，那么：

__=sinα；__=cosα；___=tanα(x≠0).單位圓yx(2)本質(zhì)：用單位圓法定義三角函數(shù)，是把角與點的坐標有機結(jié)合，簡單易行，便于記憶，方便運算.(3)應(yīng)用：適用于求任意角的三角函數(shù)值，特別是弧度制條件下角的三角函數(shù)值.【思考】終邊在坐標軸的角α的三角函數(shù)值分別是什么？提示：α終邊在x軸非負半軸時，sinα=0，cosα=1，tanα=0；α終邊在y軸非負半軸時，sinα=1，cosα=0，tanα不存在；α終邊在x軸非正半軸時，sinα=0，cosα=-1，tanα=0；α終邊在y軸非正半軸時，sinα=-1，cosα=0，tanα不存在.【根底小測】1.辨析記憶(對的打“√〞，錯的打“×〞)(1)sinα表示sin與α的乘積. ()(2)如以下圖，sinα=y. ()

(3)終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值為0. ()提示：(1)×.sinα表示角α的正弦值，是一個“整體〞.(2)×.圖中的圓不是單位圓.(3)×.終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值不存在.2.(教材二次開發(fā)：例題改編)角α的終邊上一點P(5，-12)，那么sinα= ()

【解析】選B.因為角α的終邊上一點P(5，-12)，那么sinα=3.角α的終邊經(jīng)過點，那么sinα=_______，cosα=_______，tanα=_______.

【解析】因為=1，所以點在單位圓上，由三角函數(shù)的定義知sinα=-，cosα=-，tanα=.答案：--關(guān)鍵能力·合作學(xué)習類型一單位圓法求三角函數(shù)值(直觀想象，數(shù)學(xué)運算)【題組訓(xùn)練】1.(2021·瀘州高一檢測)在平面直角坐標系xOy中，角θ的頂點與原點O重合，它的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊OP交單位圓O于點P，那么tanθ的值為 ()A.- B.

2.α=，那么sinα·tanα= ()3.設(shè)m<0，角α的終邊與單位圓的交點為P(-3m，4m)，那么sinα+2cosα的值等于 ()【解析】1.選C.因為平面直角坐標系xOy中，角θ的頂點與原點O重合，它的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊OP交單位圓O于點P，所以tanθ=2.選B.在平面直角坐標系中，作出α=∠AOB=(如以下圖)，

易知OB與單位圓相交于點P那么sinα=，tanα=-，所以sinα·tanα=-.3.選A.因為點P在單位圓上，所以|OP|=1.即=1，解得m=±.因為m<0，所以m=-.所以點P的坐標為所以sinα=-，cosα=.所以sinα+2cosα=-+2×=.【解題策略】單位圓法求三角函數(shù)的定義時的注意點(1)找點：確定角α的終邊與單位圓的交點P(x，y).(2)下結(jié)論：根據(jù)三角函數(shù)的定義得sinα=y；cosα=x；tanα=(x≠0).【補償訓(xùn)練】角α的終邊與單位圓的交點為(y<0)，那么sinαtanα=_______.

【解析】因為α的終邊與單位圓的交點為，所以+y2=1，即y2=.又因為y<0，所以y=-.所以sinα=-，cosα=-，tanα=，所以sinαtanα=-答案：-類型二坐標法求三角函數(shù)值(數(shù)學(xué)運算)【典例】角α的終邊過點P(-3a，4a)(a≠0)，求2sinα+cosα的值.【解題策略】角α的終邊上一點P(x，y)求三角函數(shù)值時，先求r=|OP|(O為原點)，再根據(jù)定義sinα=，cosα=，tanα=確定三角函數(shù)值.假設(shè)條件中含有參數(shù)，要注意對參數(shù)進行分類討論.【跟蹤訓(xùn)練】(2021·聊城高一檢測)角α的終邊上一點(1，m)，且sinα=，那么m= ()A.± B.C.- D.【解析】選B.由角α的終邊上一點(1，m)，知r=所以sinα=所以m>0，解得m=.類型三三角函數(shù)概念的綜合應(yīng)用(直觀想象，數(shù)學(xué)運算)角度1三角函數(shù)概念的理解

【典例】(2021·上海高一檢測)如以下圖，在平面直角坐標系xOy中，動點P，Q從點A(1，0)出發(fā)在單位圓上運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，那么P，Q兩點在第2019次相遇時，點P的坐標是 ()A.(0，0) B.(0，1)C.(-1，0) D.(0，-1)【思路導(dǎo)引】1秒鐘兩點轉(zhuǎn)的角度之和恰好為2π，所以兩點每1秒相遇一次，第2019次相遇時，用了2019秒.【解析】選B.因為點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，兩點相遇1次的路程是單位圓的周長即2π，所以兩點相遇一次用了1秒，因此當兩點相遇2019次時，共用了2019秒，所以此時點P所轉(zhuǎn)過的角度為+336π.由終邊相同的角的概念可知，角與角的終邊相同，因為角的終邊在y軸的非負半軸上，y軸的非負半軸與單位圓的交點為(0，1)，所以點P的坐標為(0，1).【變式探究】本例中，假設(shè)條件不變，求P，Q兩點在第2021次相遇時點P的坐標.【解析】根據(jù)典例知，P，Q兩點相遇2021次時，共用了2021秒，所以此時點P轉(zhuǎn)過的角度為=336π+，所以角與角終邊相同.易知角的終邊與單位圓的交點為即此時點P的坐標為角度2三角函數(shù)概念的綜合應(yīng)用

【典例】角α的終邊在直線y=-3x上，求10sinα+的值.【思路導(dǎo)引】角α的終邊在一條直線上，需要先討論角的終邊在直線的哪一局部，然后在射線上任取異于原點的一點，最后根據(jù)三角函數(shù)的概念求解.【解析】由題意知，cosα≠0.設(shè)角α的終邊上任一點為P(k，-3k)(k≠0)，那么x=k，y=-3k，r=(1)當k>0時，r=k，α是第四象限角，sinα=

所以10sinα+(2)當k<0時，r=-k，α是第二象限角，sinα=

所以10sinα+

綜上所述，10sinα+=0.【解題策略】分類討論的應(yīng)用當角的終邊在過原點的某一條直線上時，因為角的終邊應(yīng)該是過原點的一條射線，所以要注意將直線從原點處分為兩條射線進行討論.【題組訓(xùn)練】1.(2021·沈陽高一檢測)角α的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在射線y=-2x(x≥0)上，那么sinα= ()

【解析】選D.角α的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在射線y=-2x(x≥0)上，在α的終邊上任意取一點(1，-2)，那么sinα=2.(2021·株洲高一檢測)圓周運動是一種常見的周期性變化現(xiàn)象，可表述為：質(zhì)點在以某點為圓心，半徑為r的圓周上的運動叫“圓周運動〞.如圖所示，圓O上的點以點A為起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到點P，假設(shè)連接OA，OP，形成一個角α，當角α=時，那么cosα= ()【解析】選A.因為角與角終邊相同，三角函數(shù)值相等，所以cosα=cos=cos=.3.角α的終邊在直線y=x上，求sinα，cosα，tanα的值.【解析】因為角α的終邊在直線y=x上，所以可設(shè)P(a，a)(a≠0)為角α終邊上任意一點，那么r==2|a|(a≠0).假設(shè)a>0，那么α為第一象限角，r=2a，所以sinα=cosα=假設(shè)a<0，那么α為第三象限角，r=-2a，所以sinα=【補償訓(xùn)練】角θ的終邊經(jīng)過點P(4，m)，且sinθ=，那么m=_______.

【解析】角θ的終邊經(jīng)過點P(4，m)，那么r=又sinθ=，解得m=3(負值舍去).答案：3課堂檢測·素養(yǎng)達標1.點A(x，y)是60°角的終邊與單位圓的交點，那么的值為 ()

【解析】選A.因為tan60°=，所以=.2.角α的終邊經(jīng)過點(-4，3)，那么cosα等于 ()

【解析】選D.由題意可知x=-4，y=3，r==5，所以cosα=3.(教材二次開發(fā)：練習改編)某點從(1，0)出發(fā)，沿單位圓x2+y2=1按逆時針方向運動弧長到達Q點，那么Q點的坐標為 ()【解析】選D.根據(jù)三角函數(shù)的概念知點又因為4.代數(shù)式sin120°cos210°的值為