中考求陰影部分面積

.z.-.-.可修編-中考求陰影部分面積【知識(shí)概述】計(jì)算平面圖形的面積問(wèn)題是常見(jiàn)題型，求平面陰影部分的面積是這類問(wèn)題的難點(diǎn)。不規(guī)則陰影面積常常由三角形、四邊形、弓形、扇形和圓、圓弧等基本圖形組合而成的，在解此類問(wèn)題時(shí)，要注意觀察和分析圖形，會(huì)分解和組合圖形?，F(xiàn)介紹幾種常用的方法。一、轉(zhuǎn)化法此法就是通過(guò)等積變換、平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等方法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成面積相等的規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的面積公式，計(jì)算出所求的不規(guī)則圖形的面積。例1.如圖1，點(diǎn)C、D是以AB為直徑的半圓O上的三等分點(diǎn)，AB=12，則圖中由弦AC、AD和圍成的陰影部分圖形的面積為_(kāi)________。分析：連結(jié)CD、OC、OD，如圖2。易證AB//CD，則的面積相等，所以圖中陰影部分的面積就等于扇形OCD的面積。易得，故。例2、如圖，A是半徑為1的⊙O外的一點(diǎn)，OA=2，AB是⊙O的切線，B是切點(diǎn)，弦BC∥OA，連結(jié)AC，則陰影部分的面積等于_______．分析：一個(gè)圖形的面積不易或難以求出時(shí)，可改求與其面積相等的圖形面積，便可以使原來(lái)不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。解：連結(jié)OB、OC．∵BC∥OA，∴S△ABC=S△OBC，∴S陰影=S扇形OBC．∵AB是⊙O的切線，∴∠BOA=90°，∵OB=1，OA=2，∴∠OBC=∠BOA=60°，∴∠BOC=，∴扇形OBC是圓的．∴S陰影=S扇形OBC=二、和差法有一些圖形結(jié)構(gòu)復(fù)雜，通過(guò)觀察，分析出不規(guī)則圖形的面積是由哪些規(guī)則圖形組合而成的，再利用這些規(guī)則圖形的面積的和或差來(lái)求，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。例3.如圖3是一個(gè)商標(biāo)的設(shè)計(jì)圖案，AB=2BC=8，為圓，求陰影部分面積。分析：經(jīng)觀察圖3可以分解出以下規(guī)則圖形：矩形ABCD、扇形ADE、。所以，。三、重疊法就是把所求陰影部分的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可求面積的規(guī)則圖形的重疊部分的方法。這類題陰影一般是由幾個(gè)圖形疊加而成。要準(zhǔn)確認(rèn)清其結(jié)構(gòu)，理順圖形間的大小關(guān)系。例4.如圖4，正方形的邊長(zhǎng)為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)作半圓，求所圍成陰影部分圖形的面積。解：因?yàn)?個(gè)半圓覆蓋了正方形，而且陰影部分重疊了兩次，所以陰影部分的面積等于4個(gè)半圓的面積和與正方形面積的差。故。代數(shù)法:析解:設(shè)每片葉形面積為*,每個(gè)空白部分的面積為y,由面積關(guān)系列出方程組:得，所以四、補(bǔ)形法將不規(guī)則圖形補(bǔ)成特殊圖形，利用特殊圖形的面積求出原不規(guī)則圖形的面積。例5.如圖5，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，，求四邊形ABCD所在陰影部分的面積。圖2圖2解：延長(zhǎng)BC、AD，交于點(diǎn)E，因?yàn)椋?，又，易求得，所以。?.(**市)如圖2，PA切圓O于A，OP交圓O于B，且PB=1，PA=，則陰影部分的面積S=____________．析解:將圖中陰影部分補(bǔ)上扇形OAB,得由勾股定理可得,解可得,所以五、拼接法例6.如圖6，在一塊長(zhǎng)為a、寬為b的矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬都是c個(gè)單位），求陰影部分草地的面積。解：（1）將"小路”沿著左右兩個(gè)邊界"剪去”；（2）將左側(cè)的草地向右平移c個(gè)單位；（3）得到一個(gè)新的矩形（如圖7）。由于新矩形的縱向?qū)捜匀粸閎，水平方向的長(zhǎng)變成了，所以草地的面積為。六、特殊位置法例7.如圖8，已知兩個(gè)半圓中長(zhǎng)為4的弦AB與直徑CD平行，且與小半圓相切，則圖中陰影部分的面積等于_______。分析：在大半圓中，任意移動(dòng)小半圓的位置，陰影部分面積都保持不變，所以可將小半圓移動(dòng)至兩個(gè)半圓同圓心位置（如圖9）。解：移動(dòng)小半圓至兩半圓同圓心位置，如圖9。設(shè)切點(diǎn)為H，連結(jié)OH、OB，由垂徑定理，知。又AB切小半圓于點(diǎn)H，故，故七、代數(shù)法將圖形按形狀、大小分類，并設(shè)其面積為未知數(shù)，通過(guò)建立方程或方程組來(lái)解出陰影部分面積的方法。例8.如圖10，正方形的邊長(zhǎng)為a，分別以兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心、以a為半徑畫弧，求圖中陰影部分的面積。解：設(shè)陰影部分的面積為*，剩下的兩塊形狀、大小相同的每塊面積為y，則圖中正方形的面積是，而是以半徑為a的圓面積的。故有，。解得。即陰影部分的面積是。需要說(shuō)明的是，在求陰影部分圖形的面積問(wèn)題時(shí)，要具體問(wèn)題具體分析，從而選取一種合理、簡(jiǎn)捷的方法。八、整體求解法例9:(****市)如右圖12，，，，相互外離，它們的半徑都是，順次連結(jié)四個(gè)圓心得到四邊形，則圖中四個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和等于_____．（結(jié)果保留）析解:如果想將圖中四個(gè)扇形的面積分別求出,顯然是不可能的,因此應(yīng)考慮將四個(gè)扇形的面積整體求解,因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為,從而可知所求陰影部分的面積可以組成一個(gè)圓的面積,所以陰影部分面積練習(xí)1、如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H在DC邊上，且GH=DC．若AB=10，BC=12,則圖中陰影部分面積為．（（第1題）2、如圖，正方形ABCD的面積為1，M是AB的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是．3、如圖，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P與OA、OB分別相切于點(diǎn)F、E，并且與弧AB切于點(diǎn)C，則扇形OAB的面積與⊙P的面積比是．4、如圖，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)B、C在以點(diǎn)O為圓心的上，若OA=1，∠1=∠2，則扇形OEF的面積為．5、如下圖，AC是汽車擋風(fēng)玻璃前的刮雨刷．如果AO=65cm，CO=15cm，當(dāng)AC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，則刮雨刷AC掃過(guò)的面積為_(kāi)________cm2．6、如圖，AB是⊙O1的直徑，AO1是⊙O2的直徑，弦MN∥AB，且MN與⊙O2相切于C點(diǎn)，若⊙O1的半徑為2，則O1B、eq\o\ac(BN,\s\up5(⌒))、NC與eq\o\ac(CO1,\s\up5(⌒))所圍成的陰影部分的面積是．O1O2O1O2第7題圖7、將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，重疊部分（陰影）的量角器圓弧（）對(duì)應(yīng)的中心角（∠AOB）為120o，AO的長(zhǎng)為4cm，則圖中陰影部分的面積為（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm28、如圖，直徑為6的半徑，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)到了點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）（A）（B）（C）（D）（第8題圖）（第8題圖）第9題圖第9題圖ABC9、如圖，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是（） A． B． C． D．10、如圖3，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，直徑MN∥AD，則陰影面積占圓面積：（）A．B．C．D．CACAB12題圖11、如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，以BC為直徑的半圓O交對(duì)角線BD于E．則直線CD與⊙O的位置關(guān)系是，陰影部分面積為．(結(jié)果保留π)12、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）13、如圖．矩形ABCD中,AB=1，AD=.以AD的長(zhǎng)為半徑的⊙A交BC邊于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為.13題14.如圖，在半徑為，圓心角等于450的扇形AOB內(nèi)部作一個(gè)正方形CDEF，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D、E在OB上，點(diǎn)F在上，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留）.15、如下圖，等腰Rt△ABC的直角邊長(zhǎng)為4，以A為圓心，直角邊AB為半徑作弧BC1，交斜邊AC于點(diǎn)C1，于點(diǎn)B1，設(shè)弧BC1，，B1B圍成的陰影部分的面積為S1，然后以A為圓心，AB1為半徑作弧B1C2，交斜邊AC于點(diǎn)C2，于點(diǎn)B2，設(shè)弧B1C2，，B2B1圍成的陰影部分的面積為S2，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到的陰影部分的面積S3=.16、如上圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB。（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）17、如下圖，△ABC是直角邊長(zhǎng)為a的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O1的直徑，半圓O2過(guò)C點(diǎn)且與半圓O1相切，則圖中陰影部分的面積是A．B．C．D．O2O2O1APBC18、如圖，從一個(gè)直徑為2的圓形鐵皮中剪下一個(gè)圓心角為60°的扇形ABC，將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面圓半徑為（）A.B.C.D.19、小剛用一*半徑為24cm的扇形紙板做一個(gè)如圖所示的圓錐形小丑帽子側(cè)面(接縫忽略不計(jì))，如果做成的圓錐形小丑帽子的底面半徑為10cm，則這*扇形紙板的面積是.24cm(第19題)24cm(第19題)2\設(shè)AC與DM的交點(diǎn)為G,

∵△AMG和△CDG相似，AM=CD、2

∴S△AMG=1/12

∵S陰影=S△ADM+S△ACM-2S△AMG

∴S陰影=1/4+1/4-2/12=1/3

因此圖中的陰影部分的面積是1/33解：設(shè)圓P的半徑為r,連OC,PE

則OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且OC平分∠AOB,

所以在等腰直角三角形OPE中，PE=r,OP=√2r,

所以圓O的半徑為OP+PC=√2r+r

所以扇形OAB的面積=π(√2r+r)^2/4=(3+2√2)πr^2/4

圓P的面積=πr^2

所以扇形OAB的面積與○P的面積比

=(3+2√2)πr^2/4：πr^2

=(3+2√2)/44\連接OB∵OB為半徑∴OB=OC=BC=1∴∠OCB=∠A=60°∴∠COA=120°又∵∠1=∠2∴∠EOF=∠COA=120°S扇形OEF=1/3π5\三角形AOC與三角形A′OC′全等，故刮雨刷AC掃過(guò)的面積等于扇形AOA′的面積-扇形COC′的面積．

∵OA=OA′，OC=OC′，AC=AC′

∴△AOC≌△A′OC′

刮雨刷AC掃過(guò)的面積=大扇形AOA′的面積-小扇形COC′的面積刮雨刷AC掃過(guò)的面積=90π×(65^2-15