高量7-密度矩陣

高量7-密度矩陣第一頁(yè)，共52頁(yè)。注意：我們過(guò)去所討論的是某一物理量的取值概率。2.混合態(tài)：如果量子系統(tǒng)所處的狀態(tài)，由于統(tǒng)計(jì)物理的原因或量子力學(xué)本身的原因無(wú)法用一個(gè)態(tài)矢量來(lái)描寫，系統(tǒng)并不處在一個(gè)確定的態(tài)中，而是有可能處在這種狀態(tài)沒(méi)法用態(tài)矢量來(lái)表示，稱為混合態(tài)。2第二頁(yè)，共52頁(yè)。比如，一個(gè)系統(tǒng)處在態(tài)的概率為，處于態(tài)的概率為。系統(tǒng)的這個(gè)態(tài)目前還無(wú)法作簡(jiǎn)單的描寫，只能用下面的寫法來(lái)描述這個(gè)態(tài)二、物理量A在純態(tài)和混合態(tài)中的平均值通過(guò)研究這個(gè)問(wèn)題看純態(tài)與混合態(tài)的區(qū)別。對(duì)于純態(tài)3第三頁(yè)，共52頁(yè)。假設(shè)則在上述純態(tài)中，物理量A取值的概率是而在混合態(tài)中，若系統(tǒng)處在態(tài)，則A取的概率幅是。若系統(tǒng)處在態(tài)，則為。系統(tǒng)既然以概率處于態(tài)，以概率處在態(tài)，那么A取的概率為這與上式顯然不同。4第四頁(yè)，共52頁(yè)。具體到X表象，若純態(tài)的態(tài)函數(shù)為則混合態(tài)的態(tài)函數(shù)可寫成粒子處于點(diǎn)的概率在純態(tài)中為而在混合態(tài)中為5第五頁(yè)，共52頁(yè)。前者是概率幅的相加而后者則是概率本身的相加。我們說(shuō)微觀粒子表現(xiàn)波動(dòng)性，正是指相干疊加而言。由此可以看出，在純態(tài)中兩個(gè)態(tài)和發(fā)生干涉現(xiàn)象，而混合態(tài)則不發(fā)生干涉，各自表現(xiàn)出自己的位置概率。所以兩個(gè)態(tài)形成純態(tài)是相干疊加，而形成混合態(tài)是不相干疊加。而在純態(tài)中，兩態(tài)疊加已形成一個(gè)新態(tài)，它原則上已不再原封不動(dòng)具有原來(lái)兩個(gè)態(tài)的性質(zhì)了。在混合態(tài)中，系統(tǒng)有一定的概率處于態(tài)。當(dāng)它處于此態(tài)時(shí),它具有態(tài)所有的全部性質(zhì).對(duì)于態(tài)也是一樣。6第六頁(yè)，共52頁(yè)。三、兩點(diǎn)說(shuō)明有時(shí)會(huì)看到一種解釋，說(shuō)在所表現(xiàn)的純態(tài)中，“是系統(tǒng)處于態(tài)的概率，是處于態(tài)的概率”，這種說(shuō)法是不對(duì)的。若把分別換成，這倒是對(duì)混合態(tài)的正確理解。純態(tài)是一個(gè)全新的態(tài)，處于純態(tài)的系統(tǒng)，不再有可能處于態(tài)或態(tài)。7第七頁(yè)，共52頁(yè)。2.如果在中，都是某算符A的本征態(tài)，本征值分別為，則在純態(tài)中物理量A取值的概率確是。但物理量取或的概率并不等于系統(tǒng)處于態(tài)和態(tài)的概率。系統(tǒng)處于態(tài)中，不見得取值。比如算符B仍有取值的概率。對(duì)于純態(tài)來(lái)講，系統(tǒng)就是處于態(tài)，不存在“系統(tǒng)處在某態(tài)的概率”這一概念。就看測(cè)哪一個(gè)力學(xué)量。8第八頁(yè)，共52頁(yè)。從統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的角度看，由純態(tài)描寫的統(tǒng)計(jì)系綜稱為純粹系綜，而由混合態(tài)描寫的統(tǒng)計(jì)系綜稱為混合系綜。下面看如何用一個(gè)單一的數(shù)學(xué)量來(lái)描述混合態(tài)。§14.2密度算符與密度矩陣一.密度算符1.定義①純態(tài)中的定義設(shè)是Hilbert空間中的一個(gè)歸一化的矢量，用其來(lái)描寫狀態(tài)，則A在態(tài)中平均值可寫為系綜（ensemble）：在一定的宏觀條件下，大量性質(zhì)和結(jié)構(gòu)完全相同的、處于各種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的、各自獨(dú)立的系統(tǒng)的集合。9第九頁(yè)，共52頁(yè)。密度算符與概率的關(guān)系取一組基矢，利用其完全性關(guān)系有這是一個(gè)新算符，稱為密度算符。它由態(tài)矢量完全確定。注意構(gòu)造密度算符時(shí)必須注意使用歸一化的態(tài)矢量。我們?cè)賮?lái)看物理量A在態(tài)中取值的概率這個(gè)概率是密度算符在本征態(tài)中的平均值。定義此時(shí)10第十頁(yè)，共52頁(yè)。由以上兩式可知，對(duì)于純態(tài)，凡是能用態(tài)矢給出的信息，都可以同樣用密度算符給出。因此是可以完全代替態(tài)矢量來(lái)描寫純態(tài)的另一種數(shù)學(xué)量。②混合態(tài)中的定義取如下一般的混合態(tài)先求物理量A在此混合態(tài)中的平均值。11第十一頁(yè)，共52頁(yè)。在混合態(tài)中，一個(gè)物理量求平均值要通過(guò)兩次平均手續(xù)：

（2）統(tǒng)計(jì)物理平均求出各量子平均以不同的概率出現(xiàn)時(shí)的平均，即

（1）量子力學(xué)平均求出A在每一個(gè)中的平均值；同樣利用一組基的完全性關(guān)系，有12第十二頁(yè)，共52頁(yè)。如果令稱為混合態(tài)的密度算符或統(tǒng)計(jì)算符。同樣，在混合態(tài)中物理量A取值的概率應(yīng)為量子力學(xué)的概率與統(tǒng)計(jì)物理的概率乘積之和，即則13第十三頁(yè)，共52頁(yè)。在混合態(tài)中測(cè)A的平均值在混合態(tài)中測(cè)A得概率上式連同式與純態(tài)情況下的形式一樣，只不過(guò)混合態(tài)的密度算符是參與混合的那些純態(tài)的密度算符的加權(quán)平均。14第十四頁(yè)，共52頁(yè)。來(lái)表示混合態(tài)方便多了。同時(shí)可以看到，純態(tài)是混合態(tài)的一個(gè)特殊情況。﹟至此，我們找到了密度算符這個(gè)量取描述混合態(tài)，是Hilbert空間中的一個(gè)算符，這比用下式15第十五頁(yè)，共52頁(yè)。①方程的推導(dǎo)2.Liouville方程在HP空間中，態(tài)矢量不含時(shí)，因此密度算符是一個(gè)不隨時(shí)間而變的算符在SP空間中，密度算符則是一個(gè)含時(shí)算符利用薛定諤方程對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)，可得密度算符隨時(shí)間變化的規(guī)律16第十六頁(yè)，共52頁(yè)。這就是密度算符的運(yùn)動(dòng)方程，稱為L(zhǎng)iouville方程。注意此式的形式與HP中描述物理量算符的運(yùn)動(dòng)方程有所不同。17第十七頁(yè)，共52頁(yè)。注意到跡的運(yùn)算：②方程的應(yīng)用舉例可以利用Liouville方程計(jì)算一個(gè)不顯含時(shí)間的物理量在混合態(tài)中的平均值隨時(shí)間的變化tr{[A,B]C}=tr(ABC-BAC)=tr(BCA-BAC)=tr[B(CA-AC)]=tr{B[C,A]}這正是初量中所學(xué)的公式—力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化。則有18第十八頁(yè)，共52頁(yè)。3.密度算符的性質(zhì)對(duì)一個(gè)一般的混合態(tài)其中是參與構(gòu)成混合態(tài)的那些態(tài)，是相應(yīng)的權(quán)重。通常是系統(tǒng)哈密頓的各個(gè)本征態(tài)，因此構(gòu)成一組基矢。但當(dāng)哈密頓有簡(jiǎn)并本征值時(shí),未必是互相正交的,所以在下面混合態(tài)性質(zhì)的討論和證明中，盡可能不用互相正交的條件，也不要求它們一定線性相關(guān)，只要求它們是歸一化的。對(duì)于純態(tài)19第十九頁(yè)，共52頁(yè)。①密度算符的跡有[證明]取一組基,利用完全性關(guān)系有20第二十頁(yè)，共52頁(yè)。不重疊

因?yàn)楫?dāng)時(shí)又所以對(duì)于21第二十一頁(yè)，共52頁(yè)。而當(dāng)時(shí)，這是個(gè)純態(tài)，顯然從另一方面講，若是個(gè)純態(tài)，并用表示，則那么顯然上述證明不論是否兩兩正交都是成立的。22第二十二頁(yè)，共52頁(yè)。②密度算符的厄米性若K表象的基矢為，則密度算符的矩陣元（后面還要介紹）可寫為所以密度算符是厄米算符。由此引出第三個(gè)性質(zhì)：23第二十三頁(yè)，共52頁(yè)。③厄米算符本征矢量的混合態(tài)的性質(zhì)1)若混合態(tài)是由一系列相互正交態(tài)構(gòu)成，即對(duì)一切i,j成立，則密度算符的本征矢量就是參與構(gòu)成此混合態(tài)的那些態(tài)，而相應(yīng)的本征值就是權(quán)重，即[證明]對(duì)于不是兩兩正交的情況，這一性質(zhì)不成立。但在這種情況下，密度算符仍是厄米算符，因而肯定有一系列本征矢,并設(shè)為,相應(yīng)的本征值為，即24第二十四頁(yè)，共52頁(yè)。則密度算符肯定可以寫成而作為厄米算符的本征矢，肯定彼此正交。2)由前面的討論可知，當(dāng)參與構(gòu)成混合態(tài)的各態(tài)（參與態(tài)）不全正交時(shí)，我們還可以用另外一套正交的參與態(tài)構(gòu)成一個(gè)相同的密度算符。問(wèn)題：這兩組混合態(tài)是否相同的態(tài)？?jī)煞N看法：1°從實(shí)驗(yàn)角度看，與兩式所表示的是分別由兩套不同的參與態(tài)構(gòu)成的混合態(tài)，當(dāng)然是不同的態(tài)；25第二十五頁(yè)，共52頁(yè)。從理論角度看，對(duì)于這兩個(gè)混合態(tài)，量子力學(xué)所能得到的信息又是完全一樣的。從密度算符上完全無(wú)法判別它們的不同，因此又可以認(rèn)為是同一個(gè)混合態(tài)。我們采用后一種看法。3°一個(gè)密度算符為的混合態(tài)，可以用不同參與態(tài)以不同權(quán)重構(gòu)成,但若要求參與態(tài)彼此正交,則只有一種構(gòu)成方式，這時(shí)參與態(tài)就是本征態(tài)。這樣很自然地產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題：能否只用一組基矢作為參與態(tài)，把系統(tǒng)所有的混合態(tài)表現(xiàn)出來(lái)？從混合態(tài)中能得到什么量子力學(xué)信息？如某一力學(xué)量在其中取某個(gè)本征值的概率。26第二十六頁(yè)，共52頁(yè)。用完全性關(guān)系作用于的左右兩邊，有我們?cè)囈幌拢杭幢仨殱M足兩個(gè)必要條件，即令這樣則27第二十七頁(yè)，共52頁(yè)。由以上三式可見，用一組正交基表現(xiàn)一個(gè)系統(tǒng)的全部混合態(tài)是可能的。一個(gè)系統(tǒng)的任何混合態(tài)都可以用任何一組正交基表示成如下形式28第二十八頁(yè)，共52頁(yè)。這個(gè)形式的密度算符可以認(rèn)為是形式的推廣。這時(shí)不一定是混合態(tài)的參與態(tài)。當(dāng)是參與態(tài)時(shí),,(14.27)恢復(fù)為上式。當(dāng)系統(tǒng)的混合態(tài)的參與態(tài)不是,而是其它正交基或是不完全正交的一組態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的混合態(tài)就要用(14.27)表示。式中的可以看成是的推廣。其實(shí)就是以為基的密度矩陣。﹟29第二十九頁(yè)，共52頁(yè)。二.約化密度矩陣1.定義密度算符在一個(gè)具體表象中的矩陣表示稱為密度矩陣。在SP表象中，密度矩陣是含時(shí)的，而在HP表象中則是不含時(shí)的。設(shè)K表象的基矢為，則K表象中的密度矩陣為30第三十頁(yè)，共52頁(yè)。常常用到位置表象中的密度矩陣。這時(shí)密度矩陣是以連續(xù)編號(hào)的連續(xù)矩陣：其跡為如果參與構(gòu)成混合態(tài)的都是物理量K的本征態(tài)，則這個(gè)混合態(tài)在K表象中的密度矩陣是對(duì)角矩陣，其對(duì)角元是相應(yīng)的本征值。31第三十一頁(yè)，共52頁(yè)。2.約化密度矩陣常常有這樣的情況，有一個(gè)大系統(tǒng)，而希望求平均值的那個(gè)物理量只與系統(tǒng)的一部分有關(guān)。例如在粒子1,2構(gòu)成的系統(tǒng)中，希望求粒子1的某一物理量F(1)的平均值。這時(shí)上述所有的內(nèi)容仍舊適用。不過(guò)可以做一些簡(jiǎn)化。對(duì)上述提到的雙粒子系統(tǒng)，設(shè)粒子1和2各有一組基矢。則在1,2兩粒子空間的直積空間中，系統(tǒng)態(tài)矢的一般形式為為使歸一化，系數(shù)應(yīng)滿足32第三十二頁(yè)，共52頁(yè)。處于純態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的密度算符是則密度矩陣元是現(xiàn)在求粒子1的某物理量F(1)的平均值：比較式33第三十三頁(yè)，共52頁(yè)。即令的意思是只對(duì)粒子2取跡，取跡后的仍是粒子1空間的算符，稱為描寫粒子1的約化密度算符；它在粒子1的某一表象（例如以為基矢的表象）中的矩陣，稱為粒子1的約化密度矩陣。34第三十四頁(yè)，共52頁(yè)。這一表示完全與粒子2無(wú)關(guān)，是一個(gè)只在粒子1空間中的關(guān)系。即由上式可知，在一個(gè)雙粒子系統(tǒng)中，只討論一個(gè)粒子的物理量的平均值，其關(guān)系與粒子1處于一個(gè)單粒子狀態(tài)時(shí)的一樣。這樣F(1)的平均值成為35第三十五頁(yè)，共52頁(yè)。這是一與式相同類型的密度算符。﹟可知由式36第三十六頁(yè)，共52頁(yè)。

§14.3例題關(guān)于自旋態(tài)的例子例1設(shè)是自旋的本征態(tài)，分別對(duì)應(yīng)于本征值，比較下列的純態(tài)和混合態(tài)純態(tài):混合態(tài):解:我們?nèi)”硐?，設(shè)37第三十七頁(yè)，共52頁(yè)。（1）純態(tài):利用可以算出38第三十八頁(yè)，共52頁(yè)。注意：與通常方法所算出的平均值一樣。同理可得（2）混合態(tài):由此算出39第三十九頁(yè)，共52頁(yè)。（3）討論

①由所得結(jié)果可明顯看出，混合態(tài)確是兩個(gè)態(tài)的不相干疊加：在混合態(tài)中保存了原有兩態(tài)的特點(diǎn)，如在態(tài)中，的平均值均為零，即在這兩個(gè)態(tài)的混合態(tài)中，平均值仍保持為零，而的平均值為原兩態(tài)的加權(quán)平均，即40第四十頁(yè)，共52頁(yè)。所以可以說(shuō)，處于混合態(tài)中的粒子，以權(quán)重處于態(tài)中，以權(quán)重處于態(tài)中。41第四十一頁(yè)，共52頁(yè)。因此不能說(shuō)，處于純態(tài)中的粒子“部分地處于態(tài)，部分地處于態(tài)”?？梢姰?dāng)討論兩個(gè)態(tài)疊加成一個(gè)純態(tài)時(shí)，僅僅用一個(gè)算符（如）的本征態(tài)為例來(lái)說(shuō)明是不夠的。只有用一個(gè)算符（如）的兩個(gè)非本征態(tài)才能明顯看出純態(tài)與同權(quán)重的混合態(tài)的不同。而純態(tài)則不相同.本例的純態(tài)有意選擇，的平均值與混合態(tài)相同。但兩個(gè)態(tài)疊加后出現(xiàn)了原態(tài)中都沒(méi)有的性質(zhì):疊加態(tài)中平均值不再為零。42第四十二頁(yè)，共52頁(yè)。②把表象基矢稍微改變一下，給換一相因子，取在則純態(tài)的密度矩陣發(fā)生很大變化：由此得出43第四十三頁(yè)，共52頁(yè)。平均值也發(fā)生了很大變化，顯然已經(jīng)不是原來(lái)那個(gè)純態(tài)了。此時(shí)混合態(tài)的密度矩陣為可見并沒(méi)有發(fā)生變化。這就是說(shuō)，在相干疊加構(gòu)成純態(tài)時(shí)，兩個(gè)態(tài)的相因子非常重要。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，本例開頭問(wèn)題的提法是不完全的，因?yàn)橹唤o出了，而沒(méi)有給出其相對(duì)相位。選擇基矢時(shí)必須連同相位一起選定。﹟44第四十四頁(yè)，共52頁(yè)。是密度算符，其本征矢量與本征值很容易算出為解：這個(gè)態(tài)的密度矩陣是可以算出例2