由一道高考試題引發(fā)的思考-絕對值不等式的解法探究 教學設計

PAGEPAGE1本文屬于廣東省教育科學規(guī)劃課題《高中數(shù)學探究式學習模式的實驗研究》（課題批準號為2013YQJK093)階段性成果。由一道高考試題引發(fā)的思考絕對值不等式的解法探究廣州增城區(qū)增城中學高中部（511300）肖海英問題再現(xiàn)(2014年高考廣東卷第9小題)不等式的解集是。地位分析不等式的解法是高中數(shù)學人教版選修4-5的一個重要內(nèi)容，隨著近幾年廣東省高考考綱對不等式的要求由原來的選做題變?yōu)楸乜純?nèi)容，不等式的地位也隨著提高，筆者查閱了近5年的廣東高考理科數(shù)學試卷，不等式每年至少必考一題，其分數(shù)分布如下：2010201120122013201426分10分10分5分5分而絕對值不等式作為一種重要的不等式類型在高考考查中頻頻出現(xiàn)，其中2011年（不等式的解集是）、2012年（不等式的解集為______）、2014年(不等式的解集是)都是第9題，作為填空題的第一道題，命題的本意屬于送分題，是學生必須快速、準確的拿下的一道題，它起到穩(wěn)定學生情緒的積極作用，對提高學生后部分答題的自信心有很大幫助,最優(yōu)的方法將節(jié)省很多時間。其余省份高考也有很多考查絕對值不等式的解法，如2014年湖南高考數(shù)學理科卷第11題。其中2010年絕對值不等式出現(xiàn)在第21題，作為壓軸題考查。因此作為一線教師，隨著課標對不等式解法要求的提高，對絕對值不等式的解法進行探究非常必要，以下筆者將從幾種典型的絕對值不等式類型出發(fā)，從不同的數(shù)學思想與方法多方面去探究絕對值不等式的解法。筆者希望通過此文拋磚引玉，能引起廣大師生對絕對值不等式解法的關注與重視。（三）深入探究絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的不等式稱為絕對值不等式。解絕對值不等式的關鍵在于去掉絕對值符號，化成普通的不等式，而其主要的依據(jù)是絕對值的幾何意義。含有絕對值的不等式有以下兩種基本的類型：第一種類型：設為正數(shù)，不等式的解集是，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離小于的點的集合，如圖1-1所示。圖1-1第二種類型：設為正數(shù)。不等式的解集是，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離大于的點的集合，如圖1-2所示。圖1-2如果給定的不等式符合以上基本類型，就可以直接利用它的結果來解。但實際考試中考查的不等式大多是變形后的一些絕對值不等式，高中階段的要求一般不超過帶兩個絕對值的不等式，筆者通過探究歸納出了變形后的幾種主要類型。探究一、和型不等式的解法問題1、解下列不等式：（1）（2)解（1）方法1：直接用公式原不等式可化為：，解之得，所以原不等式的解集為。方法2：利用幾何意義原不等式可化為：，不等式的解即為數(shù)軸上到坐標為的點的距離不超過的點的集合，由圖1-3可得不等式的解集為。圖1-3解（2）方法1：直接用公式原不等式可化為：，解之得，所以原不等式的解集為。方法2：利用幾何意義原不等式可化為：，不等式的解即為數(shù)軸上到坐標為的點的距離大于的點的集合，由圖1-4可得不等式的解集為。圖1-4方法剖析：在和型不等式的解法中，方法一是直接利用公式求解，屬于通性通法；法二是利用絕對值的幾何意義，運用數(shù)形結合的思想由圖象直接求解，此法非常適合快速解答選擇題與填空題。變式探究：解不等式解方法1：直接用公式原不等式可化為：，即，解之得，所以原不等式的解集為。方法2：函數(shù)與方程分別做出函數(shù)的圖象，不等式的解即為函數(shù)的圖象落在函數(shù)圖象下方部分時的的取值構成的集合，只需通過方程組與分別解出函數(shù)與函數(shù)的圖象交點的橫坐標為、，如圖1-5所示，由圖可得不等式的解集為。圖1-5方法剖析：和型不等式可推廣到和型不等式，方法一仍然適用，關鍵是整體意識；方法二是運用數(shù)形結合的思想、函數(shù)與方程的思想，利用圖象直接求解。本題中由圖1-5也可以快速得出不等式的解集為。探究二、和型不等式的解法問題2：(2014年高考廣東卷第9小題)不等式的解集是。解方法1：絕對值的幾何意義這是個含2個絕對值的比較復雜的不等式，從絕對值的幾何意義上來分析該不等式的解集就是數(shù)軸上到坐標分別為的點的距離之和不小于的點的坐標構成的集合，如圖1-6所示，由圖可得不等式的解集為。圖1-6方法2：零點分割法當時，原不等式可以化為，解得，即不等式組的解集是。當時，原不等式可以化為，即，矛盾。所以不等式組的解集是。當時，原不等式可以化為，解得，即不等式組的解集是。綜上所述，原不等式的解集是。方法3：構造函數(shù)原不等式可化為，構造函數(shù)，即作出函數(shù)圖象如圖1-7所示，由圖可得函數(shù)的零點是。由圖可知，當時，有即，原不等式的解集是。方法剖析：圖1-7方法一利用了絕對值的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，優(yōu)點是直觀簡潔，適合快速解答選擇、填空題。缺點是只適應于兩絕對值中系數(shù)可化為1的和型不等式的解，如不等式，此法就不適用。方法二利用的解（零點），將數(shù)軸分為三個區(qū)間，然后在此三個區(qū)間上將原不等式轉化為不含絕對值的不等式而解之。體現(xiàn)了分類討論思想，屬于通性通法，適合絕對值不等式的普遍類型。方法三通過構造函數(shù)，利用圖象直觀求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合的思想。此法不僅適合絕對值不等式的解，也可推廣到其余類型的不等式，屬于通性通法。探究三、帶參數(shù)的絕對值不等式問題問題3、（2014年高考湖南卷11）若不等式的解集為，則=．解：方法1：直接用公式原不等式可化為，即，當時，可化為，所以，無解。當時，顯然不合題意。當時，可化為，所以，解之得。方法2：函數(shù)與方程思想不等式的解集為，所以為不等式對應的方程的解，令，解之得。方法剖析：這是一個含參問題，方法一利用公式直接求解，但需要分類討論。方法二利用函數(shù)、方程、不等式之間的關系（不等式的解的端點為對應方程的根），直接將解的端點代入方程求解，避免了分類討論，快速而簡潔，特別適合選擇、填空題的快速解答。（四）教學反思筆者在該內(nèi)容的教學實踐中，通過課堂上引導學生對絕對值不等式的解法進行深