人教B版（2022）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.1.1　空間向量及其運算word含答案

第一章空間向量與立體幾何空間向量及其運算空間向量及其運算課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達標(biāo)練1.下列命題中為真命題的是()A.向量AB與B.將空間中所有的單位向量移到同一個起點,則它們的終點構(gòu)成一個圓C.空間向量就是空間中的一條有向線段D.不相等的兩個空間向量的模必不相等答案A2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列選項中化簡后為零向量的是()A.ABB.ABC.ABD.AC答案A3.已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,則實數(shù)k的值為() 解析由題意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故選B.答案B4.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E,F分別是BC,AD的中點,則AE·AF的值為( 114 解析AE=12(AB=14=14a×a×12+a×a×12=1答案C5.(多選)已知四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD連接AC,BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中,數(shù)量積為零的是()A.PCB.DAC.PDD.PA解析PC·BD=(PA+AB+=PA·BA+AB·BA+BC·BA+PA·因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,即PA·CD又因為AD⊥AB,AD⊥PA,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,所以DA·PB=0,同理PD·AB=0,因此B,C,D中的數(shù)量積均為0答案BCD6.化簡:(AB-CD)-(AC-BD)答案07.化簡:12(a+2b-3c)+523a-12b+23c-3(答案56a+92b-8.如圖,平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,則AC'的長為.

解析|AC'|2=|AB+=AB2+BC2+CC'2+=12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,則|AC'|=11答案119.在四面體ABCD中,E,F分別為棱AC,BD的中點,求證:AB+CB+AD證明左邊=(AB+AD)+(=2AF+2CF=2(AF+CF)=4EF=右邊,10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是C1D1,D1D的中點,正方體的棱長為1.(1)求<CE,AF>(2)求證:BD(1)解AF=因為AB·AD=0,AB·AA所以CE·AF=AA1-又|AF|=|CE|=52,所以cos<CE,AF(2)證明BD1=所以BD1·EF=能力提升練1.設(shè)點M是BC的中點,點A在直線BC外,BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,則| 解析由|AB+AC|=|AB-AC|=|CB又M為BC的中點,所以|AM|=12|AB答案C2.設(shè)平面上有四個互異的點A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,則△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.鈍角三角形 D.銳角三角形解析因為DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(AB+AC)·(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=0,答案B3.如圖,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則PC等于()2 解析因為PC=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2PA·AB+2PA·BC+2答案C4.給出下列幾個命題:①方向相反的兩個向量是相反向量;②若|a|=|b|,則a=b或a=-b;③對于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中正確命題的序號為.

解析對于①,長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量,故①錯誤;對于②,若|a|=|b|,則a與b的長度相等,但方向沒有任何聯(lián)系,故不正確;只有③正確.答案③5.等邊△ABC中,P在線段AB上,且AP=λAB,若CP·AB=PA·PB,解析設(shè)|AB|=a(a>0),由題知,0<λ<1.如圖,CP=-AC=-AC+λAB,故CP·AB=(λAB-=λ|AB|2-|AB||AC|cosA=a2λ-12a2PA·PB=(-λAB)·(1-λ=λ(λ-1)|AB|2=λ(λ-1)a2,則a2λ-12a2=λ(λ-1)a2解得λ=1-22λ=1+22答案1-26.如圖,平面α⊥平面β,AC⊥AB,BD⊥AB,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB,AC,BD表示CD=,|CD解析∵CD=∴CD2=(AB-=AB2+AC2+BD2-2AB·AC+2AB·BD∴|CD|=229.答案AB-AC+7.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面體,AA'的中點為E,點F為D'C'上一點,且D'F=23D'C'(1)化簡:12(2)設(shè)M是底面ABCD的中心,N是側(cè)面BCC'B'對角線BC'上的34分點,設(shè)MN=αAB+βAD+γAA',試求α,β,γ解(1)由AA'的中點為E,得12又BC=A'D'因此23從而12(2)MN=MB+BN=12DB+34BC'=12(DA+AB)+34(BC+CC'8.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點,且BM=2A1M,C1N=2B1N.設(shè)AB=a,AC=b,AA1=(1)試用a,b,c表示向量MN;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的長.解(1)MN=1=13(c-a)+a+13(=13a+13b+1(2)因為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12所以|a+b+c|=5,所以|MN|=13|a+b+c|=53,即MN=素養(yǎng)培優(yōu)練1.如圖所示,已知線段AB在平面α內(nèi),線段AC⊥α,線段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,線段BD與α所成的角為30°,求CD的長.解由AC⊥α,可知AC⊥AB,過點D作DD1⊥α,D1為垂足,連接BD1,則∠DBD1為BD與α所成的角,即∠DBD1=30°,所以∠BDD1=60°,因為AC⊥α,DD1⊥α,所以AC∥DD1,所以<CA,DB>=60°,所以<CA,BD又CD=所以|CD|2=(CA+AB=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2CA·BD因為BD⊥AB,AC⊥AB,所以BD·AB=0,AC·故|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA=242+72+242+2×24×24×cos120°=625,所以|CD|=25,即CD的長是25.2.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(點P位于平面ABCD的上方),則邊BC上是否存在點Q,使PQ⊥解假設(shè)存在點Q(點Q在邊BC上),使PQ⊥連接AQ,因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.又PQ=所以PQ·QD=又PA·QD=0,所以AQ·QD=即點Q在以邊